解析幾何競賽題的解題方法

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(杭州高級中學 浙江杭州 310003 )

解析幾何競賽題的解題方法

●周順鈿

(杭州高級中學 浙江杭州 310003 )

解析幾何的本質是用代數方法研究幾何問題，其核心思想是數形結合.解決解析幾何問題的根本方法是坐標法：建立恰當的坐標系，設點的坐標，設曲線的方程，列出關系式，再進一步找聯系、找轉化點，實現問題的解答，最后加以驗證.把這樣的解題思維鏈優化為“建、設、列、解、驗”五字訣，其中“設、列、解”是常用的解題方法.

通過坐標方法將幾何問題轉化為代數問題，其解題過程中的關鍵是減少運算量.

有關直線與圓的問題，利用圓和直線的幾何性質就可降低運算量；有關圓錐曲線的問題，采用圓錐曲線的定義、設而不求的方法和一元二次方程的韋達定理是解題的通性通法；選擇曲線的參數方程、極坐標方程也能簡化解題過程.

1 利用平面幾何性質

例1已知直線L:x+y-9=0和圓M:2x2+2y2-8x-8y-1=0，點A在直線L上，B，C為圓M上的2個點.在△ABC中，∠BAC=45°，AB過圓心M，則點A橫坐標的取值范圍為______．

(2009年全國高中數學聯賽試題)

(2006年全國高中數學聯賽試題)

又由圓冪定理得

代入式(1)，式(2)得

評注靈活運用平面幾何性質，是減少解幾運算量的有效途徑.

2 利用圓錐曲線的定義

( )

解設PI延長線交x軸于點Q，則

于是

故選A．

例4設雙曲線x2-y2=1的左、右焦點分別為F1，F2，若△PF1F2的頂點P在第一象限的雙曲線上移動, 求△PF1F2的內切圓的圓心軌跡以及該內切圓在邊PF2上的切點軌跡.

(2005年浙江省高中數學競賽試題)

圖1

解如圖1，記雙曲線在x軸上的2個頂點為A(1, 0)，B(-1, 0)，G為△PF1F2的內切圓在邊F1F2上的切點，H為△PF1F2的內切圓在邊PF2上的切點，K為△PF1F2的內切圓在邊PF1上的切點,則

|GF1|-|GF2|=|KF1|-|HF2|=

(|KF1|+|KP|)-(|HF2|+|HP|)=

|PF1|-|PF2|.

因為P(x,y)是在x2-y2=1第一象限的曲線上移動，當PF2沿雙曲線趨于無窮時，與x軸正向交角θ的正切的極限是

從而

故點H的軌跡方程為

也可以用直角坐標形式.由于點G與A(1, 0)重合，是定點，故該內切圓圓心的軌跡是直線段，方程為x=1(0

評注充分利用圓錐曲線的定義，抓住本質.

3 利用韋達定理

例5如圖2，P是拋物線y2=2x上的動點，點B,C在y軸上，圓(x-1)2+y2=1內切于△PBC，求△PBC面積的最小值．

(2008年全國高中數學聯賽試題)

圖2

解設P(x0,y0)，B(0,b),C(0,c),不妨設b>c,則直線PB的方程

整理得

(y0-b)x-x0y+x0b=0.

又圓心(1,0)到PB的距離為1，從而

易知x0>0，上式化簡得

(x0-2)b2+2y0b-x0=0,

同理有

(x0-2)c2+2y0c-x0=0,

從而

于是

評注本題視b,c為方程的2個根，利用韋達定理減少了運算量.

4 利用參數方程

(1)求a,b之值；

(2)設點A坐標為(6, 0)，B為橢圓C上的動點，以A為直角頂點，作等腰直角△ABP(其中A，B，P按順時針方向排列)，求點P的軌跡方程.

(2008年浙江省高中數學競賽試題)

解(1)設c為橢圓的焦半徑，則

于是

a=5，b=3.

(2)設B(x1,y1),，P(x,y),|AB|=r,則以A為圓心，r為半徑的圓的參數方程為

設AB與x軸正方向夾角為θ，點B的參數表示為

點P的參數表示為

即

又由于點B在橢圓上，可得

此即為點P的軌跡方程.

5 利用坐標方法

解設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則過點A的橢圓E的切線方程為lA:

過點B的動圓C的切線方程為lB:

x2x+y2y=R2.

因為直線lA,lB重合，所以

代入橢圓方程，得

又OB⊥AB，有

OA2=AB2+R2，

a2+b2-2ab,

(2006年全國高中數學聯賽試題)

證明因為y2=nx-1與y=x的交點為

顯然有

nkm-km-1(m≥2) .

(8)

由于k1=n是整數，得

解析幾何綜合題是全國高中數學聯賽一試的必考題.從上述例題可以看出，解析幾何題難度大、要求高、思維活，但只要我們遵循考綱、夯實基礎、拓寬思路、溝通知識間的縱橫聯系，熟練掌握數形結合、化歸轉化等思想方法，必能適應數學競賽的要求，解答好解析幾何競賽題.