一次、二次方程與不等式競賽題賞析

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(臺州初級中學 浙江臨海 317000)

一次、二次方程與不等式競賽題賞析

●王飛兵

(臺州初級中學 浙江臨海 317000)

方程與不等式是數學學科的重要基礎，它們內容豐富、形式靈活，具有很強的應用性.因此，以方程與不等式為載體的試題常常成為各種數學競賽試題的考查熱點之一.這些試題不僅考查了學生應該掌握的數學知識與解題技巧，更滲透了重要的數學思想，展示了學生的數學品質與素養.縱觀近幾年的各類數學競賽題，方程與不等式類試題的考查重點已從知識點本身向知識點的應用方向發展.

1 一次方程或不等式(組)

1.1 一次方程(組)

例1母親節到了，小紅、小莉、小瑩到花店買花送給自己的母親.小紅買了3枝玫瑰，7枝康乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉買了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小瑩買了上面3種花各2枝，則她應付______元．

(2010年全國初中數學聯賽天津賽區初賽試題)

分析設玫瑰、康乃馨、百合花的單價分別為x元，y元，z元，根據已知條件，列出方程組

x+y+z=10,

因此小瑩應付20元．

說明這是一個典型的一次不定方程應用題，消元與整體思想是解題的關鍵.

( )

A.1 B.2 C.3 D.4

(2007年《數學周報》杯全國初中數學聯賽試題)

說明對于含絕對值的二元一次方程(組)，依據絕對值的意義進行分類討論是關鍵.

1.2 一次不等式(組)

例3已知關于x的不等式組

(1)

(2)

其整數解為1,2,3, 則整數對(a,b)的組數是

( )

A.32 B.35 C.40 D.48

(第21屆希望杯全國數學邀請賽初中試題)

即

從而

0

得

a=1，2，3，4，5，6，7，b=16，17，18，19，20.

故整數對(a，b)可能的取值有35組．

說明本題求解的關鍵是對不等式組的整數解僅為1，2，3的全面理解，要熟練掌握不等式的基本性質，利用數軸研究不等式組的解會更直觀.

1.3 一次方程與不等式(組)結合

例42位八年級同學和m位九年級同學一起參加象棋比賽，比賽為單循環，即所有參賽者彼此恰好比賽一場．記分規則是：每場比賽勝者得3分，負者得0分,平局各得1分.比賽結束后，所有同學的得分總和為130分，而且平局數不超過比賽局數的一半，則m的值為______.

(2012年全國初中數學聯賽試題)

分析設平局數為a，勝(負)局數為b，可得

2a+3b=130，

2a+2b=(m+1)(m+2),

于是

0≤b=130-(m+1)(m+2)≤43，

即

87≤(m+1)(m+2)≤130,

由此得

m=8或m=9.

說明本題整合了一次方程與不等式知識，具有一定的綜合性與探究性.

( )．

(2009年《數學周報》杯全國初中數學聯賽試題)

分析當2a-b=0時，方程組無解；當2a-b≠0時，方程組的解為

由已知得

即

由a，b的實際意義為1，2，3，4，5，6，可得

共有5×2=10種情況；

或

共3種情況．

說明本題首先要理解二元一次方程組有無數多組解、無解、有唯一解的條件，再結合不等式組、概率相關知識解題.

2 二次方程

2.1 一元二次方程

例6已知x1,x2是關于x的一元二次方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的2個實數根，使得(3x1-x2)(x1-3x2)=-80成立，求其實數a的可能值.

(2011年全國初中數學聯賽四川賽區試題)

分析由條件知

Δ=(3a-1)2-4(2a2-1)=a2-6a+5≥0，

解得

a≥5或a≤1．

又由根與系數的關系知

x1+x2=-(3a-1)，x1x2=2a2-1，

于是

(3x1-x2)(x1-3x2)= 3(x1+x2)2-16x1x2=

-5a2-18a+19.

由-5a2-18a+19=-80,解得

說明根的判別式與韋達定理是實系數一元二次方程的重要基礎知識，也是解決有關方程根的性質、方程參變量的范圍及代數式的值等問題的重要工具.

例7已知實數x,y,z滿足x+y=4及xy=z2+4，求x+2y+3z的值.

(2009年全國初中數學聯賽預賽試題)

分析構造以x,y為根的一元二次方程t2-4t+z2+4=0，其中

Δ=16-4(z2+4)=-4z2≥0,

于是z=0，代入求得x=y=2，從而

x+2y+3z=6.

說明利用韋達定理構造以t為未知數的一元二次方程，再用判別式及解的意義求解.

例8邊長為整數的直角三角形，若其2條直角邊長是方程x2-(k+2)x+4k=0的2個根，求k的值并確定直角三角形3條邊之長．

(2010年全國初中數學聯賽江西賽區初賽試題)

分析設直角邊為a，b(a

a+b=k+2，ab=4k.

因方程的根為整數，故其判別式為平方數，設

(k+2)2-16k=n2,

即(k-6+n)(k-6-n)=1×32=2×16=4×8.

因為

k-6+n>k-6-n,

所以

當k=15時，

a+b=17,ab=60,

得

a=5,b=12,c=13；

當k=12時，

a+b=14,ab=48，

得

a=6,b=8,c=10.

說明本題實際上是一個含參系數的一元二次方程的正整數根問題，這類題一般可用因式分解法將問題轉化為二元一次方程組或二元一次不定方程求解，但要注意Δ為完全平方式.

2.2 可化為一元二次方程的問題

例9若方程x2-3x-1=0的2個根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，則a+b-2c的值為

( )

A．-13 B．-9 C．6 D．0.

(2010年全國初中數學聯賽試題)

分析設m是方程x2-3x-1=0的一個根，則

m2-3m-1=0，

即

m2=3m+1.

由題意，m也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，因此

m4+am2+bm+c=0，

把m2=3m+1代入此式，整理得

(9+a)m2+(6+b)m+c+1=0,

從而方程x2-3x-1=0的2個根也是方程

(9+a)x2+(6+b)m+c+1=0

的根.這2個方程實質上應該是同一個一元二次方程，從而

(9+a)x2+(6+b)x+c+1=k(x2-3x-1)，

其中k為常數，故

即

b=-3a-33,c=-a-10,

因此

a+b-2c=-13.

說明本題通過降次將高次方程轉化為一元二次方程，再根據同解方程根的意義解題.

例10整數a使得關于x，y的方程組

對于每一個實數b總有實數解，求整數a的值.

(2008年全國初中數學聯賽武漢市CASI杯選拔賽試題)

分析消去x,得關于y的方程

2y2+(3a-b)y-(b2-2a2+3b+4)=0.

根據題意得Δ≥0，即

(3b-a+4)2-(8a2-8a-16)≥0，

則

8a2-8a-16≤0，

即

8(a-2)(a+1)≤0，

得

-1≤a≤2，

從而整數a的值為-1，0，1，2.

說明本題通過消元將二元方程組轉化為一元二次方程，再用方程根的判別式及不等式知識解題.

方程與不等式為解決數學問題(包括實際問題)提供了重要思想與方法，除了本文所討論的常見試題類型外，還有分式方程、無理方程、應用題等其他類型的試題.方程與不等式類試題的解法沒有固定的模式，需在熟練掌握各知識要點的基礎上，根據試題本身的特點，靈活運用加以解決.