中考數(shù)學(xué)規(guī)律題的類型與功能

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(海門中學(xué)初中部 江蘇南通 226100)

中考數(shù)學(xué)規(guī)律題的類型與功能

●湯文卿

(海門中學(xué)初中部 江蘇南通 226100)

新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)頒布以來，中考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行了大幅度改革，探索數(shù)學(xué)對(duì)象所蘊(yùn)含的變化規(guī)律的試題頻頻出現(xiàn)在各地試卷中，異彩紛呈，成為熱點(diǎn)、創(chuàng)新題型之一.這類試題總的特征是：知識(shí)面廣、立意新、方法活；考知識(shí)、查能力、顯潛能.本文以中考試題為例，就其求解策略、常見類型與教育功能作一闡述.

1 求解策略

探索規(guī)律型問題，一般根據(jù)題目給出的數(shù)字、算式、表格、圖形(像)等信息，從簡(jiǎn)單、局部、特殊情形入手，隨著對(duì)象數(shù)目的增加，觀察、分析、比較后一個(gè)對(duì)象與前一個(gè)對(duì)象在數(shù)量、位置等方面的變化情況，經(jīng)類比、猜想、提煉得出規(guī)律，然后經(jīng)歸納、驗(yàn)證得出一般性結(jié)論并加以應(yīng)用．

2 類型

2.1 數(shù)字規(guī)律

這類試題一般探求數(shù)字排列規(guī)律，并運(yùn)用規(guī)律解決問題.

例1如圖1所示，數(shù)表由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成解答：

(1)表中第8行的最后一個(gè)數(shù)是______，它是自然數(shù)______的平方，第8行共有______個(gè)數(shù)；

(2)用含n的代數(shù)式表示：第n行的第一個(gè)數(shù)是______，最后一個(gè)數(shù)是______，第n行共有______個(gè)數(shù)；

(3)第n行各數(shù)之和______．

(2011年廣東省中山市數(shù)學(xué)中考試題)

圖1：自然數(shù)表

分析觀察數(shù)表知：每行數(shù)的個(gè)數(shù)是1，3，5，…(均為奇數(shù))，第n行最后一個(gè)數(shù)是n2，共有(2n-1)個(gè)數(shù)，第一個(gè)數(shù)為(n-1)2+1.故第(1)小題依次填：64，8，15；第(2)小題依次填：(n-1)2+1,n2,(2n-1).

(3)第n行所有連續(xù)自然數(shù)之和為

(n2-n+1)(2n-1)．

例2一本有1 000頁(yè)的書中，從第1頁(yè)開始，逐頁(yè)依順序在第1頁(yè)寫1，第2頁(yè)寫2，3，第3頁(yè)寫3，4，5，…，依此規(guī)則，即第n頁(yè)從n開始，寫n個(gè)連續(xù)正整數(shù)．則第一次寫出數(shù)字1 000是在第( )頁(yè).

A.500 B．501 C．999 D．1 000

(2011年臺(tái)灣省第二次數(shù)學(xué)中考試題)

分析第1頁(yè)寫1，共1個(gè)數(shù)；第2頁(yè)寫2，3，共2個(gè)數(shù)；第3頁(yè)寫3，4，5，共3個(gè)數(shù)；第4頁(yè)寫4，5，6，7，共4個(gè)數(shù)；…,第n頁(yè)寫n，n+1，n+2，…,n+(n-1)，共n個(gè)數(shù).

當(dāng)n=500時(shí)，從500寫到500+(500-1)=999,

當(dāng)n=501時(shí)，從501寫到501+(501-1)=1 001,

從而數(shù)字1 000在第501頁(yè)第一次出現(xiàn).故選B．

2.2 式子規(guī)律

這類試題一般探求代數(shù)式的變化規(guī)律，并運(yùn)用規(guī)律計(jì)算、求值等.

(2011年四川省成都市數(shù)學(xué)中考試題)

得

(2011年廣西省桂林市數(shù)學(xué)中考試題)

分析用m表示ai(i=1,2,3,…)并找出它的變化規(guī)律即可求出a2 011的值.由題意

…

由此可見ai(i=1,2,3,…)的值以3為周期循環(huán)變化，而2 011除以3的余數(shù)為1，從而

2.3 圖形(像)規(guī)律

這類試題一般探求圖形(像)變化規(guī)律，并運(yùn)用規(guī)律解決實(shí)際問題.

例5圖2-①是一瓷磚的圖案，用這種瓷磚鋪設(shè)地面.圖2-②鋪成了一個(gè)2×2的近似正方形，其中完整菱形共有5個(gè)；若鋪成3×3的近似正方形圖案(如圖2-③所示)，其中完整的菱形有13個(gè)；鋪成4×4的近似正方形(如圖2-④所示)，其中完整的菱形有25個(gè)；如此下去，可鋪成一個(gè)n×n的近似正方形圖案．當(dāng)?shù)玫酵暾牧庑喂?81個(gè)時(shí)，n的值為

( )

A．7 B．8 C．9 D．10

(2011年湖北省荊門市數(shù)學(xué)中考試題)

分析觀察圖2，知各圖菱形數(shù)目依次為：

圖2-①中菱形個(gè)數(shù)：1=12+(1-1)2；

圖2-②中菱形個(gè)數(shù)：5=22+(2-1)2；

圖2-③中菱形個(gè)數(shù)：13=32+(3-1)2；

圖2-④中菱形個(gè)數(shù)：25=42+(4-1)2；

…

由此規(guī)律可得鋪成一個(gè)n×n的近似正方形圖案其中菱形個(gè)數(shù)為n2+(n-1)2.由

n2+(n-1)2=181，

解得

n=10,n=-9(不符合題意，舍去).

故選D．

圖2 圖3

例6如圖3，觀察由棱長(zhǎng)為1的小立方體擺成的圖形，尋找規(guī)律：圖3-①中：共有1個(gè)小立方體，其中1個(gè)看得見，0個(gè)看不見；圖3-②中：共有8個(gè)小立方體，其中7個(gè)看得見，1個(gè)看不見；圖3-③中：共有27個(gè)小立方體，其中19個(gè)看得見，8個(gè)看不見；…，則第⑥個(gè)圖中，看得見的小立方體有________個(gè)．

(2011年山東省東營(yíng)市數(shù)學(xué)中考試題)

分析觀察圖形和數(shù)據(jù)可得規(guī)律見表1：

表1 小立方體的個(gè)數(shù)

當(dāng)n=6時(shí)，共有小立方體63=216個(gè)，看不見的小立方體有(6-1)3=125個(gè)，看得見的小立方體的個(gè)數(shù)為216-125=91個(gè).

2.4 面積規(guī)律

這類試題一般探求面積變化規(guī)律，并運(yùn)用規(guī)律解決問題.

(2011年湖南省恩施市數(shù)學(xué)中考試題)

圖4

分析令第i個(gè)陰影正方形的邊長(zhǎng)、面積分別為ai，Si(i=1，2，…，n).根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)、函數(shù)知識(shí)求出S1，再由所有陰影正方形相似的性質(zhì)求出S2，S3，…，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可得Sn．

令B1N1=a，則

從而

B1(2a，2a).

從而

同理令B2N2=b，則

A2B2=2b，A2N2=b，

從而

B2(2a+2b，2b).

故

從而

由此得所有陰影正方形都是相似的，且后一個(gè)與前一個(gè)的相似比都是2 ∶3，即

2.5 坐標(biāo)規(guī)律

這類試題一般探求點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，并運(yùn)用規(guī)律求出特殊點(diǎn).

例8對(duì)點(diǎn)(x，y)的一次操作變換記為P1(x，y)，定義其變換法則為：

P1(x，y)=(x+y，x-y)；

且規(guī)定

Pn(x，y)=P1(Pn-1(x，y))

(n為大于1的整數(shù))．如:

P1(1，2)=(3，-1)，

P2(1，2)=P1(P1(1，2))=P1(3，-1)=(2，4)，

P3(1，2)=P1(P2(1，2))=P1(2，4)=(6，-2).

則P2 011(1，-1)=

( )

A．(0，21 005) B．(0，-21 005)

C.(0，-21 006) D.(0，21 006)

(2011年湖南省永州市數(shù)學(xué)中考試題)

分析根據(jù)定義的變換法則，找到坐標(biāo)的變化規(guī)律即可得P2 011(1，-1)的值．

由題意得

P1(1，-1)=(0，2)，P2(1，-1)=(2，-2)，

P3(1，-1)=(0，4)，P4(1，-1)=(4，-4)，

P5(1，-1)=(0，8)，P6(1，-1)=(8，-8)，

…

由此發(fā)現(xiàn)：

從而

P2 011(1，-1)=(0，21 006).

故選D．

(特別說明：本題的坐標(biāo)總體上沒有規(guī)律，但按奇、偶分類后規(guī)律才顯現(xiàn).)

例9在平面直角坐標(biāo)系中，一螞蟻從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1個(gè)單位．其行走路線如圖5所示．

圖5

(1)寫出點(diǎn)A1，A3，A12的坐標(biāo)；

(2)寫出點(diǎn)An的坐標(biāo)(n是正整數(shù))；

(3)指出螞蟻從點(diǎn)A100到A101的移動(dòng)方向．

(2011年安徽省初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試題)

分析(1)A1(0，1)，A3(1，0)，A12(6，0).

(2)本題的坐標(biāo)總體上沒有規(guī)律，但連續(xù)4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)有規(guī)律.

(3)由第(2)小題的結(jié)論得A100(50，0)，A101(50，1)，故螞蟻從點(diǎn)A100到A101的移動(dòng)方向是從下往上．

3 教育功能

規(guī)律問題是新課程標(biāo)準(zhǔn)理念下出現(xiàn)的新題型，它對(duì)學(xué)生提高開放性思維能力、觀察發(fā)現(xiàn)能力、探索創(chuàng)新能力、推理猜想能力、科學(xué)歸納能力具有十分獨(dú)到的作用.規(guī)律問題一般體現(xiàn)如下功能：

3.1 教學(xué)導(dǎo)向功能

規(guī)律問題內(nèi)容廣泛、信息多樣、情境鮮活，有的信息學(xué)生平時(shí)未能涉及，有的素材取自課本之外，題目有規(guī)律可循但解法沒規(guī)律可言.要應(yīng)對(duì)規(guī)律問題，單靠課本知識(shí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，因此規(guī)律題的出現(xiàn)對(duì)教學(xué)有著一定的導(dǎo)向作用，它引導(dǎo)教師認(rèn)真研究和執(zhí)行新的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，拓寬知識(shí)領(lǐng)域，豐富教學(xué)內(nèi)容，改變教學(xué)方式(變教師傳授型為學(xué)生自我探索型，變知識(shí)型為能力型)，授人以漁，實(shí)施以“知識(shí)、方法、能力、素質(zhì)、創(chuàng)新”為要素的多維教學(xué)模式.

3.2 能力提升功能

規(guī)律問題有別于傳統(tǒng)的考題，無模式、無套路、無現(xiàn)成結(jié)論可用，蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，以考生獨(dú)立性、自主性、開放性、研究性為基礎(chǔ)，需要學(xué)生觀察、思維、分析、探索、發(fā)現(xiàn)、猜想、推理、歸納、驗(yàn)證、應(yīng)用，這無一不體現(xiàn)著學(xué)生的智能.規(guī)律問題可讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化、拓寬數(shù)學(xué)視野、提升數(shù)學(xué)修養(yǎng)，規(guī)律問題的解題過程就是探索、研究、發(fā)現(xiàn)、應(yīng)用的過程，因此，規(guī)律問題具有極強(qiáng)的提升能力的功能.

3.3 人才選拔功能

傳統(tǒng)的考題只是知識(shí)記憶、解題套路的再運(yùn)用，很難體現(xiàn)考生素質(zhì)和能力高低.規(guī)律問題沒有現(xiàn)成的模式可套用，真正體現(xiàn)學(xué)生的思維深度、數(shù)學(xué)思想方法的掌握和發(fā)現(xiàn)能力、歸納能力、概括能力、應(yīng)用能力的高低，檢測(cè)學(xué)生潛在的學(xué)習(xí)能力，容易體現(xiàn)區(qū)分度，有利于高級(jí)中學(xué)選拔智能高、潛能強(qiáng)的人才.

總之，隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，規(guī)律型問題將引領(lǐng)命題新潮流，成為中考命題的熱點(diǎn)和亮點(diǎn).