一道數學雙動形題編制后的反思

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(椒江區第二中學 浙江臺州 318000)

一道數學雙動形題編制后的反思

●金立榮

(椒江區第二中學 浙江臺州 318000)

動點、動線問題一直在中考占有相當大的比重,主要體現在綜合性問題中.就運動而言,可以分為3類:動點、動線、動形;就題型而言,包括計算題、證明題和應用題等.它的題型特點和考查功能決定了審題思考的復雜性和解題設計的多樣性.隨著現代教育技術的發展，命題者編制能力的提高,動態問題又有創新——雙動形問題，這將是今后中考的一道新風景.通過雙動形問題的探究，可以培養學生在運動變化中的空間想象能力,這類問題只要掌握“動中有靜,靜觀其變,動靜結合”的基本教學策略,就能以不變應多變.下面就一道初中數學雙動形試題的來源和編制談談筆者的一些粗淺看法,供交流、評點.

(2011年浙江省臺州市椒江區初中畢業生學業適應性考試數學試題)

圖1 圖2 圖3

1 試題的來源

例1參照了2006年浙江省中考數學的壓軸題，原題如下：

(1)寫出點C，F的坐標.

(2)如圖3所示，將等腰梯形ABCD沿x軸的負半軸平行移動，設移動后的OA=x,等腰梯形ABCD與等腰梯形OEFG重疊部分的面積為y，當點D移動到等腰梯形OEFG的內部時，求y與x之間的函數關系式.

(3)在直線CD上是否存在點P，使得△EFP為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

例2源自人教版數學8年級下冊第111頁中的觀察與猜想“平面直角坐標系中的特殊四邊形”.看似平常，但仔細分析，命題者加上平移、旋轉等動感元素,形成了集三角形、多邊形、相似形等初中平面幾何主要內容于一體的壓軸題.該題立意新、設計巧、解法活、內涵多，對考生的雙基知識、思維推理、創新能力等有一定要求，源于教材且高于教材.

2 試題的變化

2.1 變化1

受例1和例2的設計啟發,筆者原計劃將條件“等腰梯形”改為“平行四邊形或三角形”.考慮改變條件后試題的計算量過大，故僅將等腰梯形ABCD的位置從y軸右邊改為左邊，基本條件與例2吻合，將第(2)小題的提問增加“求出重疊部分的面積的最大值”.在學生找出y與x之間的函數關系式的基礎上，增添了運用配方法求最值的考查，加強了計算要求和綜合性應用.

例3等腰梯形ABCD沿x軸的正半軸平行移動，設移動后的BB′=x，等腰梯形ABCD與等腰梯形A′B′C′D′重疊部分的面積為y，求y與x之間的關系式，并求出重疊部分的面積的最大值.

分析先確定等腰梯形ABCD在運動中的各臨界點，然后分段討論分析.

圖4 圖5 圖6

綜上所述，當x=4時，重疊部分的面積y取得最大值，最大值為2.

考查內容動形問題最突出的特點就是圖形是運動的、變化的.學生在分析時要“以靜制動”,把動態問題變為靜態問題來解,抓住變化中的“不變量”,以不變應萬變,并從特殊位置著手確定自變量取值范圍,將每種運動變化情況單獨用圖形進行表示.這樣,學生可以將自己的思維過程體現出來，容易寫出y與x之間的關系式.

本環節先考查分類討論思想.很多學生知道這類問題的求解應該進行分類討論,但不知道分界點在哪,應如何去確定.因此,部分學生沒有寫清楚分類情況,要么不寫，要么亂寫;還有的學生是將其中的一類又細化再分類,浪費了很多時間.其次考查學生的計算能力，并通過配方法,結合自變量取值范圍,就可以求出重疊部分的面積最大值.

2.2 變化2

在例3單動形問題上拉開思維層次，增加雙動形問題如下：

圖7 圖8

圖9 圖10

例4若梯形ABCD與梯形A′B′C′D′同時從點O出發，分別沿x軸的正半軸、y軸的負半軸，以1米/秒的速度平行移動.設移動x秒后，梯形ABCD與梯形A′B′C′D′重疊部分的面積為y，寫出當2

當3≤x<4時,

如圖7～10所示，2個梯形在同時同速運動中出現4種情況.為減少計算量，例4僅對當2

考查內容本題主要考查函數知識.在圖形的運動過程中,自變量x取不同的值,重疊圖形形狀的變化導致了面積y的變化.在求y的過程中,考查了學生運用相似三角形、三角函數、解方程、二次函數面積割補等知識的能力.

2.3 變化3

在例4的基礎上，下面的例5對考生分析問題、解決問題的能力提出了更高的要求,有較高的區分度,能較好地反映數學試卷的選拔功能.

例5在2個梯形運動過程中，是否存在以D，C，D′為頂點的直角三角形？若存在，直接寫出x的值；若不存在，請說明理由.

圖11 圖12

分析存在.當x=4或x=6時,△DCD′為直角三角形.存在性問題的求解思路是:先對結論作出肯定的假設，然后由肯定出發，結合已知條件或挖掘出隱含條件，輔以方程、數形結合等思想，進行計算、推理，再對得出的結果進行分析檢驗，判斷是否與題設、公理、定理等吻合.若無矛盾，說明假設成立，由此得出符合條件的數學對象存在；否則，說明不存在.分析圖形的相對運動，可得出如圖11和圖12所示的2種情況.

考查內容在雙動形的基礎上，尋求新的知識交匯點，將直角三角形與動態問題、存在探索性問題結合起來，創設出新穎的題目表述形式，著重考查考生的理解、分析和判斷能力，實現了“以能力立意”的命題要求.注意到數學學業考試的目的和性質，這類考題精心設置在圖形相對運動中的存在性問題，綜合考查學生的各種數學能力，對學生分析、解決問題的能力提出了較高的要求，有較高的區分度，能較好地體現試卷的選拔功能.

3 反思

例1的命制，打破了過去單純從動點、動線角度切入的常規方法，從梯形ABCD的運動帶動梯形A′B′C′D′平移的運動產生重疊部分的面積切入，是集代數、幾何、課題學習于一體的綜合題．構思新穎，操作性較強，涉及到諸多初中基本圖形的性質、應用及多種數學方法、思想.該題從命題技術上采用“低起點、寬入口、坡度緩、步步高、窄出口”的分層考查手段，因此能完全得分并不容易，突出了試題的選拔功能.

從命題者命題的角度來說，課本為命題人員提供了大量的編制試題的素材，只要吃透教材，挖掘教材的例題、習題，提高試題編制技術，就能編制出高質量的試題.隨著現代教育技術的發展，命題者借助幾何畫板就可以清楚再現2個圖形在運動過程中構成了新的幾何圖形,由此產生諸多數學問題.由于此類問題的核心知識是函數——中學數學的一個重要內容,同時包括空間觀念、應用意識、推理能力等內容,不僅體現了運動觀點、方程函數、數形結合、化歸和分類討論等數學思想,還包含解方程、相似三角形、三角函數和整式運算等知識.因此,這類題目具有較高的區分度和較強的選拔功能.值得注意的是動形類問題的評價要有明確的針對性,不能設置過多干擾項,從而降低試卷效度.

從學生解題的角度來說，命題者和教師上課時可以借助多媒體使運動過程一目了然，但是考試時該怎么辦？如何“看清”圖形的變化情況，“吃準”其中的位置關系呢？我們應清楚雙動形問題要考查的核心內容,不要被錯綜繁雜的問題背景所干擾.在平日學習時，不要等教師將各運動環節分解好了，再逐一去解決，而要巧妙地借助自己身邊的實物(如硬幣、橡皮擦、四邊形、三角形)進行模擬運動，像電影一樣用若干張膠片來記錄、整合出運動過程，從而增強解題能力，取得事半功倍的效果.

從教師教學的角度來說，動態問題雖然圖形在變，但解決問題的思想是通用的，在平時教學與復習的過程中，要做個有心人，善于觀察、思考、改造例題、習題.如在雙動形問題的講解中可改變部分條件,可將等腰梯形換成特殊三角形、平行四邊形、矩形;也可以采用不同的圖形，如三角形與正方形、圓與正方形、直角梯形與正三角形等;從改變2個圖形的運動路線角度上可以采用45°,60°,120°,150°等利于計算的方向移動;在2個圖形的運動速度上可以采用一定的速度比(如1∶2)等進行移動;當然在拓展該類型的問題時還可采用2個圖形的旋轉,或者一個圖形按一定速度平移,另一個圖形按一定速度順(逆)時針旋轉等,這都可以使學生透徹地理解知識、掌握技能，做一題會一片，對培養學生的探索、創新能力有極大的幫助！

[1] 李景祿，滕曉莉.中考數學中動點類問題的思考——大連市2009年中考數學第24題分析[J].考試周刊，2009(33)：6.

[2] 任海寧.動態型的中考壓軸題[J].中小學數學(初中版)，2008(Z2)：38-40.

[3] 楊竹君.初中數學教師如何修煉備課功[J].云南教育(中學教師)，2009(11):24-25.