從課本例(習)題到高考題的若干命題途徑

●

(余杭高級中學 浙江杭州 311199)

從課本例(習)題到高考題的若干命題途徑

●曹鳳山

(余杭高級中學 浙江杭州 311199)

高考試題一直注重在課本中選材，對中學數學的教與學發揮了積極的導向作用.如何利用好課本、充分發揮課本的作用一直為大家所關注，其中很現實的一個問題是：如何利用課本素材，編制出高質量的試題.本文選取了課本中的一道例題，分析課本例(習)題到高考題的若干命題途徑，從中可以看到高考試題與課本例(習)題的聯系，從而啟發我們的課堂教學、試題編撰等.

題目斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于點A,B，求線段AB的長.

(人教版數學選修2-1第69頁習題)

該題涉及拋物線概念、焦點、準線、直線的斜率等核心概念，焦點弦長度的求解方法，重點滲透數形結合思想、方程思想等解析幾何基本思想方法.詳細求解從略.該題出現在近十年的高考中，2010年數學高考共37份試卷中有22題(不包含文、理相同試題)與該題相關，主要途徑有：

1 直接利用，考查核心概念的理解

例1以拋物線y2=4x的焦點為圓心,且過坐標原點的圓的方程為

( )

A.x2+y2+2x=0 B.x2+y2+x=0

C.x2+y2-x=0 D.x2+y2-2x=0

(2010年福建省數學高考理科試題)

簡析該圓的圓心即為拋物線的焦點F(1，0)，又圓過原點，因此所求圓的方程為(x-1)2+y2=1.故選D.

例2已知拋物線y2=2px(p>0)的準線與圓x2+y2-6x-7=0相切，則p的值為

( )

(2010年陜西省數學高考理科試題)

( )

A．9 B．6 C．4 D．3

(2007年全國數學高考理科試題)

(xA+1)+(xB+1)+(xC+1)=6.

故選B.

2 變換條件，考查基本數學思想方法

(2010年重慶市數學高考理科試題)

圖1

例5已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，點P1(x1,y1)，P2(x2,y2),P3(x3,y3)在拋物線上，且2x2=x1+x3，則

( )

A．|FP1|+|FP2|=|FP3|

B．|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2

C．2|FP2|=|FP1|+|FP3|

D．|FP2|2=|FP1|·|FP3|

(2007年寧夏回族自治區數學高考理科試題)

簡析與原題相比，例5數據一般化，但方法沒有變化.由題意得

|FP1|+|FP3|=x1+x3+p=2x2+p，

2|FP2|=2x2+p，

即

2|FP2|=|FP1|+|FP3|.

故選C.

3 逆向命題，考查通性通法

例6過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于點A,B.若線段AB的長為8，則p=________.

(2009年福建省數學高考理科試題)

又|AB|=x1+x2+p=4p=8，故p=2.

例7過拋物線y2=4x的焦點作一條直線與拋物線相交于點A,B，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線

( )

A．有且僅有1條 B．有且僅有2條

C．有無窮多條 D．不存在

(2005年上海市數學高考理科試題)

簡析由題意，設過焦點的直線方程為y=k(x-1)，與y2=4x聯立有

k2x2-(2k2+4)x+k2=0，

由韋達定理得

從而

這樣的直線有且僅有2條.故選B.或者利用焦點弦端點橫坐標之和等于5，得到弦長為7，而通徑為4，從而得解.

4 變換設問，引導深入探究

例8已知F是拋物線C:y2=4x的焦點，過點F且斜率為1的直線交C于點A,B．設|FA|>|FB|，則|FA|與|FB|的比值等于________．

(2008年全國數學高考理科試題)

簡析例8把原題的設問更進一步，由求焦點弦長到求2個部分的線段之比.根據原題的解答，點A，B的橫坐標分別是

故

類似問題如：

(2008年全國數學高考理科試題)

例10已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2=8x相交于點A,B，點F為C的焦點.若|FA|=2|FB|,則k=________.

(2009年全國數學高考理科試題)

實際上，對原題進一步探究，有：

證明從略，例8至例10的解答就迎刃而解.

(2010年全國數學高考理科試題)

圖2

從而

|BM|=|BE|.

又因為M為拋物線的焦點，所以p=2.

(2010年湖南省數學高考理科試題)

x2-2px-2p2=0，

從而

x1+x2=2p,x1x2=-p2，

又p>0,故p=2.

5 變換素材，考查類比遷移能力

( )

(2010年全國數學高考文科試題)

(2010年全國數學高考理科試題)

(2011年浙江省數學高考理科試題)

圖3

由于圓錐曲線內在的統一性，其問題的解法、結論也具有較多的相似性.類比例8中的結論，可以得到：

以上試題的求解就易于反掌.

6 溝通聯系，考查綜合解題能力

例16已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點K(-1,0)的直線l與C相交于點A,B，點A關于x軸的對稱點為D.

(1)證明：點F在直線BD上；

(2010年全國數學高考理科試題)

簡析例16以原題中的拋物線為背景，主要考查拋物線的性質、直線與圓的位置關系、直線與拋物線的位置關系、圓的幾何性質與圓方程的求解、平面向量的數量積等知識,特別突出對拋物線對稱性的理解、運用.求解從略.

(1)若m=2，求拋物線C的方程；

(2)設直線l與拋物線C交于點A,B，△AA1F,△BB1F的重心分別為G,H，求證：對任意非零實數m,拋物線C的準線與x軸的交點在以線段GH為直徑的圓外.

(2010年浙江省數學高考文科試題)

圖4