由一道中考壓軸題引發的教學思考

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寧海中學分校 江蘇南京 210036)

由一道中考壓軸題引發的教學思考

●卜以樓

寧海中學分校 江蘇南京 210036)

1 問題提出

1．1 問題

2009年北京市數學中考試卷的最后一道壓軸題為：

(1)求點D的坐標.

(2)作點C關于直線DE的對稱點F,分別聯結DF，EF.若過點B的直線y=kx+b將四邊形CDFE分成周長相等的2個四邊形，確定此直線的解析式.

(3)設G為y軸上一點，點P從直線y=kx+b與y軸的交點出發，先沿y軸到達點G，再沿GA到達點A，若點P在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定點G的位置，使點P按照上述要求到達點A所用的時間最短(要求：簡述確定點G位置的方法，但不要求證明).

圖1 圖2

1．2 參考答案

本題評分時，提供的參考答案如下(如圖2所示)：

△DMC∽△AOC.

又

從而

得

故

FT=CS.

因為

FE=CD，

所以

TE=FE-FT=CD-CS=SD.

又因為

EC=DF，

所以TE+EC+CS+ST=SD+DF+FT+TS,

∠BAH=30°.

在Rt△OAG中，

筆者對第(1)和第(2)小題的參考答案沒有疑異，對于第(3)小題的參考答案認為有“太平淡”之感.雖說題目要求是“簡述確定點G位置的方法，不要求證明”,但是提供的確定點G位置的方法有“從天而降”、“丈二和尚摸不著頭”、“意猶未盡”之感.學生作出點G的方法有相當大的偶然性和較大的投機成分,影響考題的信度和效度.

但是要確定點G的位置不是一件容易的事，在初中階段是一道難題！筆者就如何確定點G的位置問題，對參考答案作如下補充，以求同行批評指正．

2 補充解答

由題意,可判定在y軸上的線段OM以外的點不符合條件，則點G必在線段OM上，因此確定點G的位置不外乎有以下2種方法.

圖3 圖4

2．1 以數定點

再設點G在MG上和GA上所用的時間分別為t1，t2，在GA上運動的速度為v，則點G在MG上運動的速度為2v，因此點G在MG和GA上運動的總時間為

因為

所以

整理，得

因為m為實數，所以

從而

解得

解得

則

∠GAO=30°．

2．2 以形定點

由2.1的解答過程可知點G在MG和GA上運動的總時間為

由于v是一個常量，原問題即求MG+2GA的最小值．聯結GA，GB,由于△MAB為正三角形,GA=GB，因此問題就轉化為求MG+GA+GB的最小值．將△AGB繞點A按順時針旋轉60°至△AG′B′位置時，顯然有G′B′=GB，G′A=GA,∠GAG′=60°，則△AGG′為正三角形，GG′=GA，即

MG+GA+GB=MG+GG′+G′B′.

根據兩點之間線段最短，當M，G，G′，B′這4個點共線時，MG+GG′+G′B′最短．此時在正△AGG′中，

又在正△MAB中,過點A作AH⊥BM于點H，則AH與y軸的交點即為所求的點G．

3 教學啟示

探討本題的解法，給我們的教學帶來的啟示主要有以下幾點：

3．1 要適度堅持教“所以然”

新課程下的數學教學內容較多地采用“學生‘做’—在‘做’中感受和體驗—主動獲取數學知識”的呈現方式，在學生通過“做”獲得感受的基礎上，揭示具體“事例”的數學本質，然后再明晰有關知識，以此來加大用合情推理的方式探索圖形性質的時空，為初中數學教學提供了嶄新的視野和清新的氣息，并在教學實踐中獲得了豐碩的成果．但是，在教學過程中要處理好合情推理與演繹推理的關系，要防止過度倡導合情推理、過分削弱演繹推理等極端局面的發生，矯枉不能過正，顧此不可失彼．

在引導學生通過“做”感受數學、探索知識和獲得結論的同時，還要注意適度引導學生思考“為什么”——不僅讓學生“知其然”，更要讓學生“知其所以然”．因為“為什么”比“是什么”更重要，更具有思辨性，更具有教育價值．在教學過程中，要注意經常進行“小題大作”(多問幾個“為什么”)，以此來打通各知識間的通道，放大各知識間的節點，凸顯知識的來龍去脈．

3．2 讓“雙基”教學與“思想方法”教學同行

一方面，要繼續保持“雙基”的優勢．“雙基”教學是我國數學教學的特色之一，我們理應取其內核，繼續發揚，對數學知識結構中的“基本模塊”應該在“雙基”中進一步貫徹與落實，編織功能齊備的“雙基鏈”，以形成厚實的數學基礎．

另一方面，要繼續重視數學思想方法的教學．初中數學應用題教學的思想方法主要是數學建模，建模的基本方法是數學抽象，即“符號化”，也就是將實際問題中的“文字語言”轉化為數學中的“符號語言”，即用數學中的“符號語言”去表示事物的狀態和特征．

從上述2.1的解答過程看，主要利用了勾股定理，行程問題中的路程、速度、時間的三者關系，一元二次方程，一元二次方程根的判別式等“雙基鏈”求出最少時間，使問題獲得了解決．整個過程體現了較多的數學思想方法和技巧，對于解答中考壓軸題來說是必要的，也是必不可少的．

圖4 圖5

從2.2的解答過程看，其“雙基鏈”主要有：

雙基鏈1如圖4所示，已知點M，N在直線AB的異側，在AB上找一點P，使點P到M，N的距離和最小．

只要根據“兩點之間線段最短”，將PM，PN這2條線段組合到一條直線上，即聯結點M，N，交直線AB于點P，則點P就是要求的點．

雙基鏈2如圖5所示，已知點M，N在直線AB的同側，在AB上找一點P，使點P到M，N的距離和最小．

只要將點M，N在AB的同側轉化成在AB的異側即可．因此，可先找出M，N中的某一點關于直線AB的對稱點，聯結對稱點與另一點交直線AB于點P，則點P就是要求的點．

從“雙基鏈1”、“雙基鏈2”，提升到本文要討論的問題本質：

即把線段MG，GA，GB首尾聯接在同一條直線上，根據“兩點之間線段最短”來確定點G的位置．將△AGB繞點A按順時針旋轉60°至△AG′B′的位置，則MG+GA+GB=MG+GG′+G′B′，當點M，G，G′，B′共線時，MG+GG′+G′B′最短．

將本文要討論的問題作一般化處理，便可得到下列一個有趣的問題(可稱為“雙基鏈3”)：

雙基鏈3在三角形所在的平面里求一點，使該點到三角形3個頂點的距離之和最小，人們稱這個點為“費馬點”．

2.2的解答過程中反映的數學思想方法主要是“轉化與化歸”：將“雙基鏈1”通過軸對稱變換轉化為“雙基鏈2”；將“雙基鏈1”通過中心對稱變換轉化為“本文要討論的問題”．

綜上所述，“雙基”教學與“思想方法”教學同行的核心方法就是：一方面，把“大題”分解成“小題”，使“大題小作”；另一方面，讓“小題”組合成“大題”，使“小題大作”．

3．3 適度避免“大題小作”

本題只要求確定點G位置的方法，但不要求說理證明，這樣有于提高得分率．因為有相當一部分學生是憑借直覺思維與合情推理來完成解答的．在正△MAB中，只有一個點是特殊點，那就是△ABM的重心，有部分學生靠運氣而得分．因此，本題考查的信度和效度還有待提高，有“大題小作”之嫌．

“大題小作”對于培養學生的直覺思維以及合情推理能力有較大的益處，但也應該承認直覺有時具有偶然性，這對培養學生思維的縝密性具有負面效應，特別是在解決中考壓軸題時．對于本題，確定點G的位置，學生是靠運氣、直覺判定來完成解答，還是靠合理的邏輯推理來完成，從解題要求和參考答案來看是無法界定的，很難達到選拔、區分的目的．事實上，要確定點G的位置，需要大量的思維過程和思維總量，對于初中階段的學生來說，筆者認為不是一件容易的事！因此，我們要適度避免“大題小作”．

[1] 王潤中．對一道中考壓軸題“遺留”問題的探討[J]．中小學數學，2010(Z1)：65-66．