幾類整函數(shù)中函數(shù)的唯一性

王玉華

（臨滄師范高等?？茖W(xué)校數(shù)理系，云南臨滄 677000）

幾類整函數(shù)中函數(shù)的唯一性

王玉華

（臨滄師范高等專科學(xué)校數(shù)理系，云南臨滄 677000）

利用值分布理論中的展布關(guān)系對(duì)滋長(zhǎng)級(jí)小于1的整函數(shù)的唯一性進(jìn)行了研究，得到了一些結(jié)果。

整函數(shù)；值分布論；展布關(guān)系;分擔(dān)值

1 引言和主要結(jié)論

定義1［1］（分擔(dān)值的定義）設(shè)（fz）與g（z）均為開(kāi)平面上的非常數(shù)亞純函數(shù)，a為任意確定的復(fù)數(shù)（可為∞）。如果方程（fz）=a與g（z）=a在C上有相同的根，則稱a為（fz）與g（z）的分擔(dān)值。若計(jì)較根的重?cái)?shù)，則稱a為（fz）與g（z）的CM分擔(dān)值；若不計(jì)較根的重?cái)?shù)，則稱a為（fz）與g（z）的IM分擔(dān)值。

定義2［2］設(shè)函數(shù)（fz）是開(kāi)平面C上的非常數(shù)亞純函數(shù)，下級(jí)μf＜+∞，一個(gè)正數(shù)序列 ｛rj｝∞j=1稱為（fz）的μf級(jí)polya峰序列（簡(jiǎn)稱為polya峰），若相應(yīng)地有三個(gè)正數(shù)列｛r′j｝∞j=1，｛r″j｝∞j=1，｛εj｝∞j=1適合條件

并且當(dāng)r′j≤t≤r″（jj充分大）時(shí)有

定義3［2］設(shè)函數(shù)（fz）于開(kāi)平面C上的不恒為零且下級(jí)有窮的亞純函數(shù)，｛rj｝∞j=1是（fz）的μf級(jí)polya峰。又設(shè)Λ（r）為一個(gè)定義在［0，+∞）上的正值函數(shù)，它滿足：

以及

以及

這里的下確界是對(duì)定義在R+上的所有滿足（*）的正值函數(shù)Λ（r）取的。σ（fa）稱為函數(shù)（fz）關(guān)于a的一個(gè)展布。

本文主要對(duì)滋長(zhǎng)級(jí)小于1的整函數(shù)的唯一性進(jìn)行了研究。所謂亞純函數(shù)唯一性理論是探究唯一確定一個(gè)亞純函數(shù)的非顯然的充分條件。在亞純函數(shù)唯一性理論中，涉及IM分擔(dān)值的整函數(shù)的唯一性問(wèn)題的研究成果非常豐富，在這方面，R.Nevanlinna所創(chuàng)立的值分布論也就自然的成為主要的研究工具，他本人也做了開(kāi)創(chuàng)性的工作，在1929年證明了下述定理。

定理A［1］（Nevanlinna五值定理）設(shè)（fz）和g（z）為兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，a（jj=1，2，3，4，5）為五個(gè)判別的復(fù)數(shù)。如果a（jj=1，2，3，4，5）為（fz）和g（z）的IM分擔(dān)值，則（fz）≡g（z）。

例1 整函數(shù)（fz）=ez與g（z）=e-z以0,-1,1及∞為IM分擔(dān)值，但（fz）不恒等于g（z）。

上述例子表明對(duì)于一般的非常數(shù)亞純函數(shù)，5個(gè)IM分擔(dān)值的條件不能減弱，但是對(duì)于有窮非正整數(shù)級(jí)的亞純函數(shù)來(lái)說(shuō)，條件是否可以再減弱呢？對(duì)于受一定的滋長(zhǎng)性限制的兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)是否可以由它們分擔(dān)4個(gè)，3個(gè)甚至2個(gè)IM分擔(dān)值而確保它們恒等呢？這就啟發(fā)我們討論有窮非正整數(shù)級(jí)的整函數(shù)的唯一性問(wèn)題,本文主要對(duì)滋長(zhǎng)級(jí)小于1的整函數(shù)的唯一性進(jìn)行了研究。

對(duì)于級(jí)小于1的非常數(shù)整函數(shù)的情形，李玉華于2000年得到了以下結(jié)論。

定理B［3］若兩個(gè)級(jí)小于1的非常數(shù)整函數(shù)（fz）與g（z）有2個(gè)有窮的IM分擔(dān)值a和b，且存在正常數(shù)G和r，使

則一定有（fz）≡g（z）。

定理B中的條件（**）能否去掉或用更簡(jiǎn)潔的條件來(lái)取代呢？對(duì)此，蔡翠于2005年得到了以下結(jié)論。

何萍于2008年，利用級(jí)小于1/2的非常數(shù)整函數(shù)的獨(dú)特性質(zhì)將定理C作了以下改進(jìn)。

在本文中，主要利用展布關(guān)系，證明了以下幾個(gè)結(jié)果。

定理1 設(shè)（fz）與g（z）是級(jí)小于1的非常數(shù)整函數(shù)，它們以判別有窮復(fù)數(shù)a，b為IM分擔(dān)值。如果存在正數(shù)d，ε0，r0，使得對(duì)?r≥r0有

則一定有（fz）≡g（z）。

定理2 設(shè)（fz）與g（z）是滋長(zhǎng)級(jí)小于1的非常數(shù)整函數(shù),它們以判別的有窮復(fù)數(shù)a，b為IM分擔(dān)值。如果存在正數(shù)d，ε0及r0，使得對(duì)于?r≥r0有

則一定有（fz）≡g（z）。

定理4 設(shè)（fz）為非常數(shù)整函數(shù)，n為正整數(shù)，p（z）為n次多項(xiàng)式。如果p（（fz））與f′（nz）具有兩個(gè)有窮的IM分擔(dān)值a和b，則（fz）的級(jí)ρf≥1。

2 幾個(gè)引理

引理2［2］（展布關(guān)系）設(shè)函數(shù)（fz）為開(kāi)平面C中的非常數(shù)亞純函數(shù)，其下級(jí)μf＜+∞。若復(fù)數(shù)a是（fz）的一個(gè)虧值，則

引理3［4］設(shè)（fz）與g（z）是級(jí)小于1的非常數(shù)整函數(shù)。如果

（i）0和1為（fz）與g（z）的IM分擔(dān)值;

則一定有（fz）≡g（z）。

引理4［2］設(shè)（fz）為非常數(shù)整函數(shù)。如果

則（fz）一定為多項(xiàng)式函數(shù)。

引理5［6］設(shè)（fz）為非常數(shù)整函數(shù)，且ρf＜1，則

引理7［2］設(shè)（fz）為開(kāi)平面上的超越亞純函數(shù)，則使Θ（a,f）＞0的值a至多是可數(shù)的，并且

3 定理1的證明

繼令

則φ（z）為級(jí)小于1的整函數(shù)。

下面分兩種情況進(jìn)行討論。

情形1 φ（z）為多項(xiàng)式。

這時(shí)，由引理3知F（z）≡G（z），從而有（fz）≡g（z），此即為欲證之結(jié)論。

情形2 φ（z）為超越整函數(shù)。

這時(shí)，注意到δ（∞，φ）=1，以及0≤μφ＜1，從而有

所以?δ0＞0，使

由此并結(jié)合引理2知存在φ（z）的μφ級(jí)polya峰 ｛rj｝∞j=1使得

茲對(duì)?充分大的j，令

則由（1）和（5）知對(duì)充分大的j有,

注意到，對(duì)充分大的j有

由于φ（z）為整函數(shù)，故由（6）和（7）知對(duì)充分大的j有，

由（8）和引理5得

因rj→+∞（j→∞），從而由（9）和引理4知φ（z）一定為多項(xiàng)式,矛盾。

定理1證畢。

4 定理2的證明

繼令

則φ（z）為整函數(shù)，且0≤μφ≤ρφ＜1。

類似于定理1證明過(guò)程中的討論，可導(dǎo)出所期望的結(jié)論。

定理2證畢。

5 定理3的證明

不失一般性，不妨設(shè)a=0，b=1，令

則φ（z）和ψ（z）都為級(jí)小于1的整函數(shù)，且

如果φ（z）或ψ（z）是多項(xiàng)式函數(shù)，則由引理3知（fz）=g（z）。

如果ψ（z）與φ（z）為超越整函數(shù)，對(duì)φ（z）應(yīng)用引理1知存在正數(shù)列｛r｝j∞j=1使，

且充分大的j，當(dāng)rj≤t≤min｛j，log r｝jrj時(shí)有

如果μψ=0，則定理結(jié)論成立。

如果1＞μψ＞0，由于ψ（z）是正規(guī)增長(zhǎng)的有窮級(jí)超越整函數(shù)，所以｛r｝j∞j=1亦為ψ（z）的μψ級(jí)polya峰，令

則由引理2知，?δ0＞0使對(duì)充分大的j有，

對(duì)于充分大的j，令

當(dāng)j充分大時(shí)，

對(duì)于充分大的j，繼令

又因?yàn)閷?duì)充分大的n有

據(jù)（18），（19）和引理5得

由此和引理4知ψ（z）或φ（z）是多項(xiàng)式函數(shù)，矛盾。

定理3證畢。

6 定理4的證明

假設(shè)ρf＜1，令

則φ（z）為級(jí)小于1的整函數(shù)，ρf=ρf′=ρf″＜1，由（20）和引理6知

從而有φ（z）=0，即

如果n=1，則?A，B∈C，且A≠0，使A（fz）+B=f′（z），從而存在非零常數(shù)c，使A（fz）+B=ceAz，由此知ρf= 1，矛盾。

由此可得Θ（b1，f）+Θ（b2，f）＞1，矛盾。

定理4證畢。

〔1〕儀洪勛，楊重駿.亞純函數(shù)唯一性理論〔M〕.北京:科學(xué)出版社，1995.

〔2〕楊樂(lè).值分布論及其新研究〔M〕.北京：科學(xué)出版社，1989.

〔3〕LiYuhua.Uniqueness theorems for meromorphic functions of order less than one〔J〕.Northeastern Mathematical Journal，2000，16（4）：411-416.

〔4〕蔡翠.一類整函數(shù)的唯一性〔D〕.昆明：云南師范大學(xué)，2005.

〔5〕何萍.具有特殊增長(zhǎng)級(jí)的整函數(shù)的唯一性〔D〕.昆明：云南師范大學(xué)，2008.

〔6〕顧永興,龐學(xué)誠(chéng),方明亮.正規(guī)族理論及其應(yīng)用〔M〕.北京：科學(xué)出版社，2007.

Uniqueness Theorems for Some Special Entire Functions

WANG Yuhua
（Department of Mathematics and Physics,Lincang Teachers College,Lincang,Yunnan 677000,China）

In this paper,we study the uniqueness of non-constant entire functions whose orders are less than 1 on the basis of the value distribution theory of meromorphic function and then get some findings in this aspect.

entire function;value distribution theory;spread relation;sharing value

O174.52［文獻(xiàn)標(biāo)志碼］A［文章編號(hào)］1672-2345（2012）04-0005-06

2011-11-14

王玉華，講師，主要從事復(fù)分析研究.

（責(zé)任編輯 袁 霞）