基于Zernike 模式的隨機(jī)并行梯度下降算法的收斂速率

王衛(wèi)兵，趙 帥，郭 勁* ，王挺峰

(1.中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所激光與物質(zhì)相互作用國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林 長(zhǎng)春130033;2.中國(guó)科學(xué)院 研究生院，北京100049)

1 引 言

波前畸變降低了激光光束質(zhì)量，限制了激光的應(yīng)用范圍，但通過優(yōu)化算法控制變形鏡進(jìn)行波前整形可改善光束質(zhì)量。優(yōu)化算法包括爬山算法、遺傳算法、模擬退火算法和隨機(jī)并行梯度下降( SPGD) 算法等［1］，其中利用SPGD 算法進(jìn)行波前整形是目前研究的熱點(diǎn)之一。SPGD 算法利用性能指標(biāo)測(cè)量值的變化量和控制參數(shù)的變化量進(jìn)行控制參數(shù)的梯度估計(jì)，以迭代方式在梯度下降方向上進(jìn)行優(yōu)化控制參數(shù)搜索［2］。

1997 年，M. A. Vorontsov 等人將SPGD 算法成功應(yīng)用在波前整形系統(tǒng)中［3］，國(guó)內(nèi)成都光電所姜文漢和李新陽(yáng)課題組與國(guó)防科技大學(xué)劉澤金和梁永輝課題組在這方面也做了大量研究。在模擬仿真方面，文獻(xiàn)［4］提到將Zernike 多項(xiàng)式用變形鏡面形影響函數(shù)表示可得到最大的SPGD 算法收斂速率，但并未給出詳細(xì)的結(jié)果; 文獻(xiàn)［5］對(duì)隨機(jī)并行梯度下降算法進(jìn)行了較為詳細(xì)的模擬仿真研究，獲得了很好的理論結(jié)果，而且文獻(xiàn)［5，6］均認(rèn)為算法收斂速率在很大程度上依賴于參數(shù)的選取;文獻(xiàn)［7］對(duì)基于Zernike 模式的SPGD 算法從描述波前的Zernike 階數(shù)方面來(lái)研究算法的收斂速率和整形效果，提出了模式法和區(qū)域法結(jié)合的組合優(yōu)化思想，但文獻(xiàn)［2］指出仿真過程中性能指標(biāo)測(cè)量模塊的計(jì)算量是很耗時(shí)間的步驟; 文獻(xiàn)［8］也指出由于采用迭代法導(dǎo)致收斂速率較慢的缺點(diǎn)還未得到解決，這限制了系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)環(huán)境中的應(yīng)用。

為了進(jìn)一步提高隨機(jī)并行梯度下降算法的收斂速率，本文在SPGD 算法基礎(chǔ)上進(jìn)行理論分析，采用斯特列爾比作為系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)函數(shù)，將波前和變形鏡面形影響函數(shù)用同樣的Zernike 多項(xiàng)式表示，從算法的形式上研究了算法的收斂速率和整形效果。利用Zernike 多項(xiàng)式的單位圓正交基性質(zhì)，得到了兩個(gè)常數(shù)矩陣，簡(jiǎn)化了算法的運(yùn)算過程，加快了算法的運(yùn)行時(shí)間;同時(shí)對(duì)算法的整形效果進(jìn)行模擬仿真，獲得了很好的結(jié)果，為實(shí)際的激光波前整形應(yīng)用提供了理論指導(dǎo)。

2 仿真模型

圖1 波前整形系統(tǒng)Fig.1 Wave-front shaping system

如圖1 所 示［2，5，7］，波 前 整 形 系 統(tǒng) 工 作 原 理為:性能指標(biāo)分析器根據(jù)CCD 采集到的數(shù)據(jù)計(jì)算性能指標(biāo)J及其變化量ΔJ，隨機(jī)并行優(yōu)化算法根據(jù)變化量ΔJ得出32 單元變形鏡控制電壓矩陣V={v1，v2，……v32}，并控制變形鏡各驅(qū)動(dòng)器來(lái)改變變形鏡面形分布，然后由性能指標(biāo)分析器計(jì)算校正相位后殘余波前的性能指標(biāo)J及其變化量ΔJ，以此循環(huán)迭代進(jìn)行，直到滿足算法停止條件為止。迭代過程的本質(zhì)是: 在參數(shù)空間中尋找最佳變形鏡控制電壓矩陣Vbest={v1，v2，……v32}，使得變形鏡面形w(x，y) 生成一個(gè)趨于原始波前-φ(x，y) ，從而使殘余波前φ(x，y) 最小，系統(tǒng)性能指標(biāo)J趨于最優(yōu)。

32 單元連續(xù)面型變形鏡如圖2 所示［5］，面形函數(shù)為:

圖2 32 單元變形鏡Fig.2 32-unit deformable mirror

3 波前整形原理

3.1 性能指標(biāo)

斯特列爾比(SR) 是一個(gè)通用的評(píng)價(jià)指標(biāo)，是指實(shí)際畸變波遠(yuǎn)場(chǎng)光斑中心光強(qiáng)與理想平面波遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)之比。根據(jù)物理光學(xué)，針對(duì)殘余波前，可得到性能指標(biāo):

從式(3) 中可看出，波前相位方差σ2φ越大，或是波面起伏程度越大，SR越小，光束質(zhì)量越差。所以，如果想得到接近理想的光波，那么就要減小波前相位方差σ2φ。

3．2 基于Zernike 模式的波前整形原理

文獻(xiàn)［9］中前兩項(xiàng)Zernike 像差分別為傾斜像差，可利用傾斜鏡單獨(dú)校正，所以選擇第3 -14階Zernike 多項(xiàng)式來(lái)表示初始靜態(tài)畸變波前:

式中Zj(x，y) 表示第i項(xiàng)Zernike 多項(xiàng)式，a0i為相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，ε 為擬合殘差，可忽略不計(jì)。

為了具有代表性并進(jìn)行推廣，將殘余波前φ(x，y) 表示為:

式中:M表示Zernike 多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)目，N表示變形鏡驅(qū)動(dòng)單元數(shù)目，表示前一次整形過程中的殘余波前( 為后面處理方便，此處也用Zernike 多項(xiàng)式表示) ，此處的角標(biāo)i從1 開始，只是形式上的需要，不影響表達(dá)意義。

對(duì)變形鏡面形影響函數(shù)而言，可使用相同項(xiàng)數(shù)的Zernike 多項(xiàng)式進(jìn)行擬合:

式中:ε'為擬合殘差，可忽略不計(jì)，bij是變形鏡面形影響函數(shù)Sj(x，y) 和Zernike 多項(xiàng)式Zi(x，y) 的常耦合系數(shù)，這是由于Sj(x，y) 和Zi(x，y) 都是提前確定的，所以可以構(gòu)成一個(gè)常數(shù)耦合矩陣BM×N。

利用Zernike 多項(xiàng)式的單位正交性，采用矩陣形式，則式(3) 可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為:

式(9) 中各矩陣表示為:

對(duì)靜態(tài)畸變波前而言，式( 9) 中只有電壓V變化，A、B、C 都是常數(shù)矩陣，因此積分計(jì)算便轉(zhuǎn)化成了關(guān)于N個(gè)點(diǎn)的代數(shù)計(jì)算，從而迅速提升了算法的模擬運(yùn)行時(shí)間。在上述模型中M=12，N=32。

3.3 隨機(jī)并行梯度下降算法

SPGD 算法利用性能指標(biāo)測(cè)量值的變化量和控制參數(shù)的變化量進(jìn)行控制參數(shù)的梯度估計(jì)，以迭代方式在梯度下降方向上進(jìn)行優(yōu)化控制參數(shù)搜索［2］。雙邊SPGD 算法步驟［1］為:

(5) 得到第k+1 次序列電壓值為:

式中γ 為增益系數(shù)，可選擇固定值，也可選擇自動(dòng)變化值，如［10］:

(6) 連續(xù)執(zhí)行(2) ～(5) 步驟，直到滿足算法停止條件為止，可以選擇迭代次數(shù)或性能指標(biāo)值作為停止條件，以下選擇性能指標(biāo)值作為停止條件。

4 仿真結(jié)果

隨機(jī)產(chǎn)生的初始畸變波前分布如4.2 節(jié)的圖3( a) 所示，性能指標(biāo)為J=0.024 8，歸一化衍射光強(qiáng)分布如圖4( a) 和( e) 所示。利用圖1 的波前系統(tǒng)，在處理器“Pentium ( R) Dual-Core CPU E5300@2.60GHz 2.62 GHz”和操作系統(tǒng)為32 位的計(jì)算機(jī)中通過Matlab7.8.0 對(duì)上述模型進(jìn)行模擬，分別對(duì)6 種SPGD 算法的收斂速率做了對(duì)比，并對(duì)間接固定雙邊SPGD 算法的整形效果進(jìn)行了模擬仿真。

4．1 6 種SPGD 算法比較

選擇固定增益γ =0.15，算法停止條件J≤0.3，連續(xù)運(yùn)行20 次，n代表運(yùn)行試驗(yàn)次數(shù)，i、J、t分別代表校正到一定程度時(shí)的迭代次數(shù)、性能評(píng)價(jià)指標(biāo)、算法運(yùn)行時(shí)間和迭代頻率代表相應(yīng)的平均值，表示平均迭代頻率。下面6 種SPGD 算法中( 可以組合出8 種SPGD 算法) 間接算法指式( 9) 中簡(jiǎn)化的代數(shù)點(diǎn)運(yùn)算，直接算法指未簡(jiǎn)化的積分運(yùn)算; 固定增益算法指采用固定增益系數(shù)，自動(dòng)增益算法指采用自動(dòng)變化增益系數(shù);雙邊算法指同時(shí)采用V(k)+和V(k)-，單邊算法指只采用V(k)+或V(k)-。

4.1.1 固定增益雙邊SPGD 直接與間接算法比較

(1) 間接算法

連續(xù)運(yùn)行20 次結(jié)果如表1 所示，相應(yīng)的平均值為:

(2) 直接算法

連續(xù)運(yùn)行20 次結(jié)果如表2 所示，相應(yīng)的平均值為:

表1 連續(xù)運(yùn)行20 次間接算法得到的結(jié)果Tab．1 Results of running indirect algorithm 20 times continuously

表2 連續(xù)運(yùn)行20 次直接算法得到的結(jié)果Tab．2 Results of running direct algorithm 20 times continuously

(3) 結(jié)果分析

同樣條件下，從迭代次數(shù)上看，間接算法要比直接算法快近乎17 倍，從運(yùn)行時(shí)間上看，間接算法要比直接算法快近乎5 507 倍，從迭代頻率上看，間接算法要比直接算法快300 倍。所以不論用什么來(lái)評(píng)價(jià)，間接算法都要優(yōu)于直接算法。

4.1.2 間接雙邊SPGD 固定增益與自動(dòng)增益算法比較

固定增益系數(shù)選擇γ = 0.15，自動(dòng)增益系數(shù)［10］選擇:

還有其它表達(dá)式［5］，可看出這是個(gè)隨J變大而減小的減函數(shù)，令c=0.001，J(0)=0.024 8 為初始畸變波前的SR，則γ0= γ(0)(c+J(k)) =0.003 9。

與上面類似，選擇算法停止條件J≤0.3，連續(xù)運(yùn)行20 次求平均值。

(1) 固定增益算法

同表1 結(jié)果相同，為:

(2) 自動(dòng)增益算法

連續(xù)運(yùn)行20 次結(jié)果如表3 所示，相應(yīng)的平均值為:

(3) 結(jié)果分析

同樣條件下，雖然從迭代頻率上看，自動(dòng)增益算法要比固定增益算法快1.2 倍，但是從迭代次數(shù)上看，固定增益算法要比自動(dòng)增益算法快近乎7 倍，從運(yùn)行時(shí)間上看，固定增益算法也要比自動(dòng)增益算法快近乎6 倍。采用迭代次數(shù)來(lái)衡量，固定增益算法也要好于自動(dòng)增益算法。另外，由式(13) 可看出，對(duì)增益系數(shù)的改變將影響到擾動(dòng)電壓幅度值，所以可不考慮擾動(dòng)電壓幅度的影響。

4.1.3 間接固定增益SPGD 雙邊與單邊算法比較

選擇固定增益γ =0.15，算法停止條件J≤0.3，連續(xù)運(yùn)行20 次求平均值。

(1) 雙邊算法

同表1 情況相同，為:

(2) 單邊算法

連續(xù)運(yùn)行20 次結(jié)果如表4 所示，相應(yīng)的平均值為:

表3 連續(xù)運(yùn)行20 次自動(dòng)增益算法得到的結(jié)果Tab．3 Results of running automatic gain algorithm 20 times continuously

表4 連續(xù)運(yùn)行20 次單邊算法得到的結(jié)果Tab．4 Results of running unilateral algorithm 20 times continuously

(3) 結(jié)果分析

同樣條件下，雖然從迭代頻率上看，自動(dòng)增益算法要比固定增益算法快1.5 倍，但是從迭代次數(shù)上看，雙邊算法要比單邊算法快近乎20 倍，而且從運(yùn)行時(shí)間上看，雙邊算法也要比單邊算法快1.2 倍。采用迭代次數(shù)來(lái)衡量，雙邊算法要優(yōu)于單邊算法。這與文獻(xiàn)［2］中的結(jié)論一致。但在實(shí)際波前整形系統(tǒng)中，一次迭代單邊和雙邊SPGD算法分別需2 次和3 次測(cè)量性能指標(biāo)［2］，由于數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的時(shí)間消耗，雙邊SPGD 算法可能不及單邊SPGD 算法實(shí)時(shí)性好。

綜合上面3 對(duì)模擬結(jié)果，為了加快SPGD 算法收斂速率，在性能指標(biāo)要求不高時(shí)，最佳算法為間接固定雙邊SPGD 算法; 在性能指標(biāo)要求較高時(shí)，最佳算法為間接自動(dòng)雙邊算法，這與文獻(xiàn)［5］得到的結(jié)果相符。此外，上述的每組對(duì)比的運(yùn)行條件只選擇J≤0.3，若選擇J≤0.8，那么對(duì)比效果就更明顯了。近年來(lái)，為了進(jìn)一步加快SPGD算法的收斂速率，文獻(xiàn)［11-13］研制了基于硬件處理器的SPGD 控制器，并取得了良好的效果。

4．2 間接固定雙邊SPGD 算法的整形效果

上面只是將SPGD 算法進(jìn)行到了J=0.3，為了進(jìn)一步研究間接固定雙邊SPGD 算法的整體效果，選擇運(yùn)行條件為J≤0.8，同時(shí)為了加快收斂速率，此時(shí)取固定增益系數(shù)γ =6，其他條件不變，連續(xù)仿真50 次后結(jié)果為:平均完成一次靜態(tài)波前畸變校正后，需要迭代次數(shù)i=660，校正時(shí)間t=0.015 4 s，性能評(píng)價(jià)指標(biāo)J從0.024 8 提高到0.800 6，同時(shí)可求得迭代頻率i=42 825 Hz。此時(shí)得到的波前分布和歸一化衍射光強(qiáng)分布分別如圖3、圖4 所示。從圖3 可看出，算法將初始畸變波前的PV =0.807 3λ，RMS =0.157 2λ 整形到PV=0.625 3λ，RMS =0.071 1λ，接近理想平面波前;從圖4 可看出，整形后的光強(qiáng)分布向平面波前的光強(qiáng)分布( 服從貝塞爾函數(shù)分布形式) 逼近。以上結(jié)果表明間接固定雙邊SPGD 算法達(dá)到了波前整形的目的。

圖3 利用間接固定雙邊SPGD 算法仿真的波前分布圖Fig.3 Simulation of wave-front distribution using indirect-fixed-bilateral SPGD algorithm

圖4 利用間接固定雙邊SPGD 算法仿真的歸一化衍射光強(qiáng)分布圖Fig.4 Simulation of normalized diffraction intensity distribution using indirect-fixed-bilateral SPGD algorithm

5 結(jié) 論

本文對(duì)SPGD 算法進(jìn)行波前整形的原理做了理論分析，基于Zernike 多項(xiàng)式的單位正交性質(zhì)，利用同樣的Zernike 多項(xiàng)式來(lái)擬合表示波前和變形鏡面形影響函數(shù)，得到了兩種常數(shù)矩陣B 和C，這種間接算法大大簡(jiǎn)化了算法的運(yùn)算過程。這種處理過程也可應(yīng)用在模擬退火算法和遺傳算法中。對(duì)間接、直接、雙邊、單邊、固定增益和自動(dòng)增益組合的6 種SPGD 算法進(jìn)行了3 組對(duì)比，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)性能指標(biāo)要求不高時(shí)，可使用間接固定雙邊SPGD 算法來(lái)提高算法的收斂速率; 當(dāng)性能指標(biāo)要求較高時(shí)，應(yīng)當(dāng)使用間接自動(dòng)雙邊SPGD 算法。對(duì)間接固定雙邊SPGD 算法的收斂速率和整形效果進(jìn)行了仿真，收斂速率結(jié)果為:迭代660 次后可使波前的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)J從0.024 8 達(dá)到0.800 6;整形結(jié)果表明SPGD 算法可以達(dá)到波前整形目的，這些為激光整形提供了理論指導(dǎo)。

由于基于硬件處理器的SPGD 控制器［12-13］可實(shí)現(xiàn)高速波前相位控制，下一步的工作將重點(diǎn)圍繞這種SPGD 控制器進(jìn)行研究，并進(jìn)行相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

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