淺談學生數學思維能力的培養

白洪濤

（寧夏民族職業技術學院，寧夏吳忠 751100）

在數學教學中，思維能力的培養依賴于對數學問題的解決，而中學階段的數學問題一般表現為習題的形式，解題思路的探索過程，不僅是幫助學生理解、掌握和鞏固所學知識的手段，而且是培養學生思維能力的重要途徑。心理學家布魯鈉說：“探索是教學的生命線”，作為教師必須引導學生探索解決問題的途徑。

1 探索多種解法，發展學生的求異思維，培養發散思維能力

數學老師在教學中應鼓勵、引導學生善于從不同的角度、不同的側面進行探索，把各種知識，各種解法聯系起來，形成解決問題的信息網絡，從中選擇最簡單的解決問題的方法。這樣，既有利于課堂教學的順利開展，也有利于學生發散思維能力的培養。

例如：如圖1，設AD、BE是由⊙O的直徑AB兩端所引的切線，DE是過⊙O上任一點F的切線，此切線與AD、BE相交與D、E（AD＞BE）.求證：⊙O的直徑是AD和BE的比例中項。［1］

圖1

啟發學生此題考慮多種證明方法根本思路是觀察圖形的性質，然后與求證結論相結合，要證明線段的等積式，圖形中有切線，則考慮構成直角三角形。由學生完成以下證法：（1）用直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角 形與原來三角形相似性質可以證明，即連結OD、OE、OF，證∠DOE＝90°，可得Rt△DOE，OF是直角三角形斜邊上的高，可證得OF2＝DF.DE再由切線長定理即可得證。（2）應用多個三角形相似可證。連OD、OE，證△AOD∽△BOE即可。（3）利用三角函數的定義進行如下證明：連 OD、OE，先證∠DOE＝90°，在Rt△DOA與△BOE中，tanα＝且α＝90°－β，知tanα＝cotβ，可得結果。（4）此題還可拓展圖形利用平行線構造相似三角形來做。如圖2，連OF，延長DE、AB交于P，證△EBP∽△OFP，△OFP∽△DAP可得比例式，再用切割線定理也可得出結論。

圖2

上例的一題多解可以發展學生的求異思維，因此學生在老師的引導下大膽、積極的思考，在尋求多種解法的過程中，必然會考慮問題的方方面面，開闊學生的視野。

2 剖析習題結構，激發學生的探索興趣，培養深刻性思維能力

無論習題難易，教師要引導學生分析習題結構，探索解題思路，鼓勵和激發學生的探索動機。

例如：如圖3，四邊形ABCD內接于⊙O，AB為⊙O的直徑。過C點作⊙O的切線CF，過A作CF的垂線交CF于F點，交BC的延長線于E點，若∠ABC＋∠DAB＝135°，DC＝cm，求 AE的長。［2］

圖3

對于此題應引導學生進行觀察、分析。

（1）觀察：要求學生觀察圖形中的條件，找出內在規律，①AB是圓的直徑，可得∠BCA＝90°；②CF是切線，知OCCF；③CFAE，OC∥AE，可知OC是△ABE的中位線，可得AE＝AB。

（2）分析：根據題目的特點，尋找解題的捷徑，提高解題的速度。由∠ABC＋∠DAB＝135°，則∠CAH＝45°。作輔助線，延長BE和AD，交于點H，找特點，即構成等腰直角三角形ACH后可知。又由四邊形ABCD內接于⊙O可得，∠CDH＝∠ABH，即∽，即：＝，即＝。

（3）綜合以上觀察、分析，可以求出AE的長。

上例通過引導學生觀察、聯想，層層分析矛盾，把問題逐步引向深入，使學生的點滴思維處于活躍狀態、激發了學生的探索興趣。

3 抓住問題本質，挖掘習題的隱含條件，培養嚴密性思維性能力

學生在解題時，往往抓不住問題的實質，對問題的某些隱含條件挖掘不出來，思維僅處于較淺層次，從而造成解題錯誤。為使學生養成良好的學習習慣，教師引導學生揭露問題實質，注意隱含條件。

對此題的探索，應引導學生怎樣把含有無理式的代數式轉化為有理式。學生馬上意識到兩邊平方，利用條件a＋＝6，然后兩邊直接開平方得出：－ ＝ ±2，學生的思維到此為止了，沒有注意條件0＜a＜1有什么作用，因此就會錯誤的得出題目有兩個答案。

4 克服思維定勢，注重學生的逆向探求，培養敏捷性思維能力

在探索習題解法過程中，首先教學生總結題目的常規解法，做到解決問題有“法”可循，“路”可走，但同時還要引導學生靈活應用所學知識，發散思維。

例如：在講完冪運算性質后，可配如下習題，計算①250×0.552，②（）100×950時按常規解法則計算繁難。但如果老師提示了冪運算的逆向運用，就可起到事半功倍的效果。

逆向思維的訓練，使使學生的思維敏捷，方法靈活，簡潔，準確。

5 結 語

總之，作為一名數學教師，在數學教學中應站在一定的高度認真研究習題，發現習題功能，充分體現以教師為主導，學生為主體，重視解題思路的探索，變教為誘，變學為思，以誘達思，從而達到提高教學效果的目的。

1 祝朝富.培養學生探索能力的淺見［J］.數學通訊，2003，（3）

2 田亞薇.一題多解的關鍵——聯想能力［J］.中學數學，1995，（4）