無(wú)窮格子系統(tǒng)的新型周期行波解＊

花 杰， 沈自飛

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華 321004)

無(wú)窮格子系統(tǒng)的新型周期行波解＊

花 杰， 沈自飛

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華 321004)

研究了無(wú)窮格子系統(tǒng)

周期行波解的存在性.其中：q(n)=q(n，t)是第n個(gè)質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的坐標(biāo);f表示質(zhì)點(diǎn)的位勢(shì)函數(shù);V表示相鄰2個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用函數(shù).應(yīng)用山路定理和環(huán)繞定理，獲得了該系統(tǒng)新型周期行波解的存在性定理.

無(wú)窮維哈密頓系統(tǒng);行波;周期運(yùn)動(dòng);山路定理;環(huán)繞定理

0 引言

考慮一維格子系統(tǒng)

式(1)中：q(n)=q(n，t)是第n個(gè)質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的坐標(biāo);f表示質(zhì)點(diǎn)的位勢(shì)函數(shù);V表示相鄰2個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用函數(shù)，且 f，V∈C1(R).當(dāng) f≡0時(shí)，方程(1)即為著名的 Fermi-Pasta-Ulam(FPU)格子;當(dāng)f(x)=K(1－cos x)時(shí)，方程(1)又稱為Frenkel-Kontorova模型.

方程(1)是一個(gè)無(wú)窮維哈密頓系統(tǒng)，其哈密頓函數(shù)為

Fermi等［1］首先對(duì)格子系統(tǒng)進(jìn)行了研究，他們通過(guò)數(shù)值模擬的方法研究了有限維格子系統(tǒng)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng).運(yùn)用臨界點(diǎn)理論研究格子系統(tǒng)已成為當(dāng)今的主流研究方法，第1個(gè)非常有意義的結(jié)果來(lái)自于Friesecke等［2］，他們?cè)贔PU格子系統(tǒng)上通過(guò)極小化動(dòng)能的方法，證明了行波解的全局存在性.Smets等［3］運(yùn)用一種不同于文獻(xiàn)［2］的方法獲得了速度確定的行波解.

FPU格子系統(tǒng)還包括振蕩鏈，這方面的主要結(jié)果見(jiàn)文獻(xiàn)［4-6］.格子系統(tǒng)的最新研究結(jié)果來(lái)自于Percy［7］，他通過(guò)臨界點(diǎn)理論證明了無(wú)窮格子系統(tǒng)非常值周期行波解的存在性，并得到了調(diào)和行波解的存在性.本文的目的是在與文獻(xiàn)［7］相類似的條件下，分別應(yīng)用山路定理和環(huán)繞定理獲得格子系統(tǒng)(1)新型周期行波解的存在性定理;優(yōu)化了文獻(xiàn)［7］中所得的周期行波解，使得行波解是非負(fù)的;且在參數(shù)ω＞0的情況下，同樣能得到非常值的周期行波解.

方程(1)行波解的形式為

式(2)中，c表示行波的速度.

引入算子A，定義為

將式(2)代入式(1)得到2階常微分方程

由變分理論知，方程(3)的解即為其對(duì)應(yīng)變分泛函在相應(yīng)空間的臨界點(diǎn).而方程(3)對(duì)應(yīng)的變分泛函為

其中，κ?R.當(dāng)J滿足Palais-Smale緊性條件(即PS條件)時(shí)，通過(guò)山路定理或環(huán)繞定理可找到J的臨界點(diǎn).

本文假設(shè)位勢(shì)函數(shù)f，V滿足以下條件：

且非二次部分h∈{g，w}滿足：

(A.1)h∈C1(R)，h(0)=h'(0)=0 且當(dāng) x→0 時(shí)，有 h(x)=o(x2);

(A.2)存在 x0＞0，θ＞2，使得當(dāng) h(x0) ＞0，x≥|x0|時(shí)，有0≤θh(x)≤xh'(x).

化簡(jiǎn)條件(A.2)可知，存在 a0，a1＞0，θ＞2，有

(A.3)h(x)≥a0|x|θ－a1，x∈R.

現(xiàn)考慮

顯然，要使 δ(ω，α)非空，則需 ω≥0.令 δ0：R ×［0，∞)→［0，∞)，δ0(ω，α)：=inf δ(ω，α).

本文的主要結(jié)果是以下2個(gè)定理：

定理1在空間上，如果條件(A.0)，(A.1)，(A.2)成立，那么對(duì)任意的 T ＞0，c＞c0，方程(3)存在一個(gè)非負(fù)的周期行波解.

定理2在空間上，如果條件(A.0)，(A.1)，(A.3)成立，那么對(duì)任意的 T ＞0，c＞c0，方程(3)存在一個(gè)非常值的周期行波解.

1 預(yù)備知識(shí)

引理1［7］算子A為線性有界算子，將映射到∩，且滿足

式(4)中，

［η］代表η的整數(shù)部分.

引理2［3］算子 A：H1→L∞∩L2是線性有界算子，且

令I(lǐng)是一個(gè)緊區(qū)間，由Sobolev嵌入定理知，存在一個(gè)正常數(shù)c，使得

且H1(I)?C(I)，H1(I)?L2(I)是緊嵌入.為了證明定理1，需要下面的山路定理：

定理3［8］(山路定理) 設(shè)X是一Banach空間，φ是一C1泛函且滿足PS條件，假設(shè)存在e∈X，r＞0，使得‖e‖ ＞r且

令

其中

則b是φ的一個(gè)臨界點(diǎn)，且 b≥β.

山路定理的一種變形為：

定理4［9］在定理3的條件下，令P：X→X為一個(gè)連續(xù)映射，使得

還需要下面命題：

命題1［7］設(shè)h∈C1(R)，I是一個(gè)緊區(qū)間，定義泛函：H1(R) →R= ∫h(u)du，則∈C1且I其微分為(u)ξ=〈h'(u)，ξ〉L2(I)，?u，ξ∈H1(R).

命題 2［7］若 V，f滿足定理 1 的條件，則 J∈C1(，R)，且對(duì)所有的 u，ξ∈，有

且JT的臨界點(diǎn)即為方程(3)的經(jīng)典解.

為了方便，將JT寫成

其中：BT(u，v)=容易驗(yàn)證，在空間上，BT是雙線性的對(duì)稱有界泛函，因此u|→BT(u，u)是C1(事實(shí)上是C∞)的.注意到算子A在上是線性有界的，于是根據(jù)命題1，有GT，∈C1(，R).

注1通過(guò) Fourier分析可知，當(dāng) α∈R，ω ＞0，c＞c0時(shí)，存在正常數(shù) υ0，υ1(依賴于 α，ω，c)，使得

事實(shí)上，υ0和υ1是下述函數(shù)的下確界和上確界：

引理3在定理1的條件下，存在δ＞0，ρ＞0，當(dāng)=ρ時(shí)，有 JT(u) ＞ δ.此外，存在 eT∈，使得＞ρ且JT(eT)≤0.

證明 由條件(A.1)知，對(duì)給定的 ε ＞0，存在 ρ＞0，使得|h(x)|≤εx2，|x|≤ρ.若≤ρ，則由式(4)得‖Au‖L∞≤ρ，且

選擇足夠小的ε，即知引理3的前半部分成立.

為了構(gòu)造函數(shù)eT，首先選擇v∈PH1T，使得在［0，T］中v(t)不恒等于零，則由條件(A.3)得

由θ＞2知，當(dāng)η→+∞ 時(shí)，有JT(ηv)→－∞.于是令eT=η0v，滿足JT(eT)≤0，便有＞ρ.引理3證畢.

引理4假設(shè)條件(A.0)，(A.1)，(A.2)成立，則當(dāng)c＞c0時(shí)，泛函JT滿足PS條件.

證明 首先驗(yàn)證JT的PS序列有界，然后證明此PS序列的緊性.

設(shè) un∈是 JT的一個(gè) PS序列，即存在 M ＞0，n0＞0，當(dāng) n≥n0時(shí)，有

由條件(A.2)和式(5)有

因此，υ0(θ－2)≤2θM.由于θ＞2，所以序列{un}在空間上是有界的.

由PS序列{un}的有界性知，在空間上存在一子序列，仍記為{un}，使得un?u，則由引理1知，在空間∩上有Aun?Au，且由Sobolev嵌入定理有

2 定理的證明

于是

又由條件(A.3)知位勢(shì)函數(shù)g(x)，V(x)在R上是不減的，因此

由定理4知，JT有一個(gè)非平凡的臨界點(diǎn)uT∈.事實(shí)上，uT是方程(3)的非負(fù)周期行波解.定理1證畢.

注2定理1所得的解有可能是常值函數(shù)，如果令ω=0，類似文獻(xiàn)［7］中所用的方法，在相似的條件下，就可以得到不是常值函數(shù)的非負(fù)解.

定理2的證明 下面運(yùn)用環(huán)繞定理完成定理2的證明，即驗(yàn)證泛函JT(u)具有環(huán)繞幾何性質(zhì)，且滿足PS條件.

首先定義一個(gè)環(huán)繞結(jié)構(gòu)，令

其中：

令 r＞ ρ＞0，z∈E⊥，使得‖z‖= ρ，定義

則

用QT表示泛函JT的二次部分，有

易知

于是

由定理2的條件和引理3知，對(duì)?u∈S和足夠小的ρ＞0，有JT(u)≥δ＞0.

下面證明在?M上有JT(u)≤0.事實(shí)上，當(dāng)u∈?M時(shí)，如果‖u‖=r，λ≥0，那么由條件(A.3)和

式(5)知

因?yàn)閞2=‖y+λz‖=‖y‖+ λ2ρ2，所以 λ2≤而在有限維空間上，所有范數(shù)都是等價(jià)的，因此存在常數(shù) c0＞ 0，使得 ‖y+ λz‖Lθ≥ c0‖y+ λz‖=c0r.于是存在常數(shù)c1＞0，使得

由于θ＞2，所以當(dāng)r充分大時(shí)，式(6)的右邊部分是負(fù)的，即JT(y+λz)≤0.當(dāng) u∈?M時(shí)，若‖u‖≤r，λ =0，則 u=y∈E，從而

由于θ＞2，選取適當(dāng)大的ζ，有JT(u)≤0，所以泛函 JT具有環(huán)繞幾何性質(zhì).由引理4知，泛函JT滿足PS條件.令

其中

由環(huán)繞定理知，b是泛函JT的一個(gè)臨界值，且相對(duì)應(yīng)的臨界點(diǎn)u∈M，于是當(dāng)λ＞0時(shí)，即可得到非常值的周期行波解.定理2證畢.

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New type periodic travelling wave solutions of the infinite lattice systems

HUA Jie，SHE Zifei

(College of Mathematics，Physics and Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua Zhejiang 321004，China)

It was focused on the infinite lattice systems

where q(n)=q(n，t)denoted the coordinate of n-th particle at time t，f a potential function and V the potential of interaction between n-th and(n－1)-th particles.The existence of new type periodic travelling wave solutions was established by mountain pass theorem and link theorem.

infinite dimensional Hamiltonian systems;travelling waves;periodic motion;mountain pass theorem;link theorem

O241.5

A

2012-03-25

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10971194)

花 杰(1985－)，男，江蘇淮安人，碩士研究生.研究方向：非線性泛函分析.

1001-5051(2012)03-0246-06

(責(zé)任編輯 陶立方)