基于投影矩陣法的陣列天線波束形成方法

劉肖萌 高文軍 鄧云凱 王 樂② 焦軍軍

①(中國科學院電子學研究所航天微波遙感系統部 北京 100190)

②(中國科學院研究生院 北京 100049)

1 引言

現代通信、廣播和雷達系統要求天線具有波束掃描或波束重構能力，實時實現方向圖賦形的要求，滿足通信分集、優化信息交換和擴展雷達系統功能的需求。通過調整陣列天線單元的激勵系數來實現天線的特定輻射方向圖。目前常用方法有泰勒綜合法等[1]，共軛匹配法[2]，最小二乘法，投影矩陣法[3]，遺傳算法[4]，粒子群算法[5]等。其中泰勒綜合法只能優化幅度激勵系數。共軛匹配法和最小二乘法只能優化復數激勵系數，不能添加僅相位或僅幅度控制約束。遺傳算法是一種進化算法，粒子群算法與其類似，都需要建立種群，根據一定的策略迭代尋優，但是由于種群的規模與自變量個數近似成正比，所以自變量個數不能過大。對于陣列天線的激勵系數優化問題，自變量個數的限制約束了陣列中單元的個數，若陣列規模較大(由成百上千個單元組成)，則使用遺傳算法或粒子群算法優化激勵系數的計算時間代價較大。而投影矩陣法具有快速、高效的特點，對陣列規模并沒有限制，可以方便地實現多約束條件，不要求各單元具有相同輻射方向圖，適用于一般性陣列天線的波束綜合。

投影矩陣法是一種線性代數方法，對于由線性方程表示的系統，可以得到最優解。這種方法已經被應用于信號處理領域和其它的工程領域[6]。然而不加修改的將投影矩陣法應用于陣列的綜合問題上，會存在穩定性和收斂性問題。Bhattacharyya A K研究了這些問題，并且給出必要的修正，成功地應用到波束綜合問題上[3]。考慮一般性陣列，即各單元具有不同的輻射方向圖。運用正交矢量空間的概念，定義與陣列綜合相關的投影矩陣。通過合理地定義遠場抽樣空間，保證矩陣具有較好的條件數，可得到一致收斂的解。

本文首先介紹復系數投影矩陣法和僅相位投影矩陣法，并對其目標函數進行改進，強調了目標波束的形狀、副瓣電平分布等細節。傳統的投影矩陣法在更新誤差方向圖，使用的是增益方向圖，需要根據經驗，較準確地估計期望方向圖的增益值，若估計值不準確，則對方向圖形狀的約束效果會變差。因此，本文采用歸一化的期望方向圖，強調了方向圖形狀的一致性，加強了對波束形狀的約束。另外，由于一般僅對副瓣電平的峰值要求限制，而不關心副瓣區域的方向圖形狀細節。因此，采用上、下界掩模表示方向圖的期望取值區域，而不是使用一個取值固定的期望方向圖曲線，在一定程度上加快了算法迭代收斂速度。本文將投影矩陣法推廣應用，形成僅幅度控制技術，并進一步對多目標波束同時綜合優化，包括僅相位控制下，陣列天線的多波束同時綜合；以及陣列天線多個子孔徑波束與全孔徑波束同時綜合。算例表明，該類方法均可快速得到收斂解。

本文的第2節介紹投影矩陣法的理論和收斂條件，第3節闡述了在僅相位控制約束或僅幅度控制約束下，應用于陣列天線單波束綜合的改進投影矩陣法，第4節介紹了應用于陣列天線多波束同時綜合的改進投影矩陣法，第5節給出了仿真算例，第6節為結論。

2 投影矩陣法

2.1 投影矩陣法的理論基礎

在已知陣列天線的幾何結構及目標方向圖指標參數的情況下，投影矩陣法可用于優化陣列天線的單元激勵系數，實現指定的波束。假定陣列天線的單元個數為N,Fd(u,v)是期望得到的遠場增益方向圖。目的是找到一個激勵集合An(n=1,2,…,N)，滿足如下方程式：

其中u=sinθcosφ,v=sinθs inφ,k是自由空間的波數，(θ,φ)是遠場觀察點的球坐標分量。An,(xn,yn),En(u,v)分別是第n個單元的復數激勵系數、位置坐標和輻射方向圖。在式(1)中忽略了隨距離變化的項exp(?jkr)/r和時間變化因子exp(jω t),r為觀察點與陣列天線相位中心之間的距離。

第n個單元的輻射方向圖可以近似為是單元口徑場分布的傅里葉變換。

其中en(x,y)是在局部坐標系下的第n個單元的激勵分布。常數K可以根據近似增益值表示為

其中λ是波長。

為了求解出An，選取M個遠場點，得到M個約束方程，其矩陣形式如下：

其中Fdm是的縮寫，的是第m個觀察點的直角坐標分量。Fd,T,A分別是期望方向圖、陣中各單元方向圖、激勵系數的矩陣形式。

在最小二乘的意義下，當誤差矢量與T矩陣的列向量空間正交時，可以得到最優解，如圖1所示(圖中假設陣列由兩個單元組成，N=2,M=3,T1和T2是T矩陣的第1列和第2列)。即激勵矢量滿足如下法方程：

其中大括號內部的矢量是誤差矢量。式(5)可用于求解激勵矢量A

圖1 陣列綜合問題的矢量空間圖

定義矩陣P為P=T(THT)－1TH，即為投影矩陣，當它作用于一個矢量時，得到該矢量在T列向量空間的投影矢量[6]。且原方程的最優解是矩陣方程PFd=TA的準確解。

2.2 投影矩陣法的流程

由于一般只給定期望方向圖的幅度分布，為了得到遠場的相位分布，采用一種迭代方法。首先假定一個歸一化于輸入功率的試探激勵矢量A(1)。用A(1)代替式(4)右邊的A，得到相應的遠場矢量F(1)。很明顯，在大多數遠場點上，F(1)的單元不同于Fd。計算誤差方向圖

其中Fm(1)是F(1)的第m個分量，ΔFm是ΔF的第m個分量，Fdm是Fd的第m個分量。

但使用式(7)來更新誤差方向圖，需要較準確的估計期望方向圖的增益值，若估計不準確，則對方向圖形狀的約束效果會變差。因此，本文采用歸一化的期望方向圖，強調了方向圖形狀的一致性，加強了對波束形狀的約束。另外，一般僅對副瓣電平的峰值要求限制，而不關心副瓣區域的方向圖形狀細節，因此，采用上、下界掩模表示方向圖的期望取值區域，促進算法迭代收斂速度。計算誤差方向圖為

其中Fmax是方向圖中最大值，Fn是歸一化方向圖，PM{|nF|}是由掩模定義的投影算子，PM算子將歸一化方向圖投影到由掩模定義的區域內。MU是期望方向圖的上界掩模，ML是期望方向圖的下界掩模。

根據投影矩陣法，可求解出增量激勵系數，即

得到增量激勵系數矢量后，可更新復數激勵矢量為

其中A(i)和A(i+1)分別為迭代第i步、第(i+1)步的激勵系數，C1是步長。歸一化新的激勵矢量后，重復整個過程，直至得到令人滿意的遠場方向圖或達到最大迭代次數。

2.3 收斂條件

上文描述的算法涉及到矩陣τ=THT逆矩陣的求解。若此矩陣具有較大的條件數，用數值方法求解該矩陣的逆就會存在不穩定的問題。

T矩陣的元素主要由陣列單元的位置和遠場觀察點決定。通過合理選擇觀察點角度取值范圍和角度間隔能夠保證算法的收斂性。根據單元大小和陣列長度來決定取樣范圍和取樣間隔。觀察角度范圍必須大于各單元的波束寬度，u(v)空間抽樣區域的范圍應大于2/dπ，其中d為單元間距。角度間隔必須小于相控陣全口徑均勻分布的波束寬度，即u(v)空間的抽樣間隔應小于2/()Ndπ,Nd可由陣列長度代替。從而保證τ具有較小的條件數，從而使得求解過程具有收斂性。

3 應用于陣列天線單波束形成的投影矩陣法

采用基本的投影矩陣法，可實現陣列天線單波束綜合，但優化的激勵系數為復數形式，并不能單獨優化相位激勵系數(保持幅度激勵系數不變)，或單獨優化幅度激勵系數(保持相位激勵系數不變)。為了在僅相位控制或僅幅度控制下，完成陣列天線方向圖的綜合，在投影矩陣法的迭代過程中，需改變激勵系數矢量的更新方式。

3.1 僅相位投影矩陣法

采用只改變饋電相位分布的僅相位加權方法可使其不改變原有功率分配饋電網絡和不增加新設備的情況下，利用計算機控制移相器值的改變實現波束賦形，是非常經濟而且可行的方法。Bhattacharyya A K在文獻[3]中使用僅相位控制方法，實現了反射面天線的面賦形。使用類似的激勵系數更新方式，實現僅相位控制下的單波束綜合。

在僅相位控制的約束下，在投影矩陣法的迭代中，只更新激勵系數的相位分布[3,7,8]，即

其中C2為步長，A(i)和A(i+1)分別為迭代第i步、第(i+1)步的激勵系數，Atemp為臨時變量。

3.2 僅幅度投影矩陣法

使用陣列天線產生極低副瓣的方向圖或產生非常接近于選定形狀的方向圖，也可以通過只調整陣列幅度激勵系數的方式。目前有很多經典地求解陣列幅度激勵系數的方法，包括傅里葉變化法、Woodward綜合技術、切比雪夫綜合法、泰勒綜合法等[1]。

采用投影矩陣法來實現僅幅度控制下的波束綜合，也可有效地降低副瓣電平。在迭代中，只更新激勵系數的幅度分布，保持相位激勵系數不變[9]，即

其中C3為步長，A(i)和A(i+1)分別為迭代第i步、第(i+1)步的激勵系數。

4 應用于陣列天線多目標波束同時綜合的投影矩陣法

對于陣列天線的多目標波束綜合問題，需改變陣列激勵系數滿足的約束方程形式，用以滿足多波束同時優化的要求。

4.1 僅相位控制下，陣列天線多波束綜合

對于陣列天線的多波束(假設波束個數Q)綜合問題，采用共用幅度分布和單獨相位分布同時優化來實現波束綜合，既能夠保證僅相位控制，又能夠提高多波束的性能。

基于投影矩陣法，構造多波束優化算法[10]，在每一步迭代中包含兩個子步驟，分別實現共用幅度激勵系數的迭代更新和多組相位激勵系數的迭代更新。根據優化結果進行陣列幅度分布加權，然后通過改變激勵系數相位分布來實現多波束切換。

在共用幅度激勵系數的更新子步驟中，激勵系數應滿足的約束方程為

在相位激勵系數的更新子步驟中，激勵系數應滿足的約束方程為

其中Tangle為包含幅度激勵信息的T矩陣。A1,A2,…,AQ是相位激勵系數，可以拆分成Q個約束方程組，即

在相位激勵系數更新子步驟中，相位激勵系數的更新方式與式(12)相同。

4.2 僅幅度控制下，多子孔徑及全孔徑陣列天線多波束形成

在SAR系統中，采用方位向多相位中心多波束技術，改善方位向分辨率和測繪帶寬之間的矛盾。這種SAR天線在方位向采用多子孔徑技術，每一個子孔徑都單獨地接收回波。為了降低天線全孔徑方向圖和各子孔方向圖的副瓣電平，要求采用僅幅度控制技術，實現這種帶有子孔徑結構的陣列天線的多波束綜合[9]。采用僅幅度投影矩陣法，并構造多目標優化矩陣，能夠有效的實現該種天線的多波束綜合。

假定陣列天線單元個數為N，每個子孔徑中的單元個數為N1，子孔徑個數為N2，待綜合的多波束個數為Q1(Q1=N2+1)。激勵系數應滿足的約束方程為

其中Twhole為全孔徑工作時包含相位激勵信息的各陣列單元的方向圖，Tsub1,Tsub2,…,TsubN2元的為包含相位激勵信息的子孔徑中各陣列單元的方向圖，Aamp為幅度激勵系數，Fdwhole為全孔徑工作時的期望方向圖，為各子孔徑單獨工作時的期望方向圖。在這一問題中，幅度激勵系數的更新方式與式(13)相同。

5 仿真實例

5.1 僅相位投影矩陣法應用于單波束綜合

線陣天線由64個單元組成，單元間距0.66λ，線陣在x軸上對稱放置，在僅相位控制下，幅度激勵保持均勻分布，綜合出一個相對于法向掃描-3°的波束，波束寬度為 1.2°，且要求在角度范圍[-10°,-7°]內副瓣電平低于-35 dB，在角度范圍[-41°,-35.8°]內副瓣電平低于-50 dB。使用 6位數字移相器控制各單元的相位。

通過本文的論述，對不同氧化程度氧化石墨烯制備及濕敏性能通過實驗的手段進行了相關研究，文中對樣品的制備手段有詳細的描述，同時通過圖表的形式對樣品測試結果進行展示，通過這樣的方式得出實驗結果，希望能為未來氧化石墨烯作為濕敏元件的發展做出一定貢獻。

在2000步迭代過程中，增量激勵系數的最大值收斂曲線如圖2所示。從圖中可以看出，隨著迭代的繼續，增量激勵系數的最大值越來越小，并趨于一個極小的值，表明算法逐漸收斂。

在 2.3節中，討論了投影矩陣法的收斂條件，其中觀察角度范圍必須大于各單元的波束寬度，即49.2509°，角度間隔必須小于相控陣全口徑均勻分布的波束寬度，即1.3566°。當矩陣τ的條件數較小時，算法收斂。分別研究了觀察角度范圍和角度間隔對矩陣τ=THT條件數的影響，如表1所示。表1中u空間抽樣區域的范圍是[-umax,umax],u空間的抽樣間隔為Δu。

圖2 增量激勵系數的最大值變化曲線

表1 矩陣τ條件數隨著角度范圍和角度間隔的變化情況

采用僅相位投影矩陣法得到的相位激勵分布和方向圖如圖3所示。圖3(b)和圖3(c)中包括綜合出的歸一化方向圖，上界掩模和下界掩模。線陣的增益為24.93dB，中心指向-3°。

5.2 僅幅度投影矩陣法應用于單波束綜合

放置在xoy坐標面內的面陣天線，單元排列在矩形柵格上，x向由32個單元組成，單元間距0.9λ;y向由24單元組成，單元間距0.9λ。單元方向圖采用其口徑分布的傅里葉變換來近似。在僅幅度控制下，相位激勵均為0°，期望綜合出橢圓形波束，xoz面內的波束寬度為2.19°，副瓣電平低于-25 dB;yoz面內的波束寬度為2.9°，副瓣電平低于-25 dB。采用僅幅度投影矩陣法得到的幅度激勵分布和歸一化方向圖如圖4所示，增益為37.83 dB。圖4(a)為面陣的幅度激勵分布；圖4(b)為綜合出的3維等高線方向圖，其中u=sinθc o s?,v=sinθs in?，單位為度；圖4(c)和圖4(d)顯示了xoz面和yoz面內的方向圖，可見副瓣電平和波束寬度均滿足了設計要求。

5.3 僅相位控制下，陣列天線的多波束綜合

給出一個機載SAR陣列天線的例子，天線的法向視角為65°，波束1,波束2,波束3分別照射視角范圍是[76.29°,80.38°],[66.5°,72.65°],[34.99°,52.43°]的3個測繪帶。為了得到最高的信噪比，同時綜合3個余割平方形狀的波束，得到共同的幅度激勵系數和3組不同的相位激勵系數，如圖5所示。對應的3組方向圖如圖6所示。圖6中，曲線s1 對應激勵幅度分布為固定的泰勒加權(-30 dB副瓣電平)，在僅相位控制下，分別綜合3個單波束的情況；曲線s2為多波束同時綜合的結果，可以看出，后者性能較佳。

5.4 僅幅度控制下，多子孔徑及全孔徑的陣列天線多波束形成

圖3 展寬波束的相位激勵分布和方向圖

圖4 波束的幅度激勵分布和方向圖

圖5 三波束的幅度激勵分布和相位激勵分布

圖6 三波束的方向圖

陣列天線的單元個數是40，單元間距為0.8λ，由5個子孔徑組成，每個子孔徑包含8個相鄰單元。全孔徑工作時產生的窄波束和5個子孔徑分別產生的寬波束被同時綜合，得到的幅度激勵分布和方向圖如圖7所示。其中“whole”表明是全孔徑工作時得到的方向圖，“B-SA1”,“B-SA2”,“B-SA3”,“B-SA4”,“B-SA5”分別表示5個子孔徑分別工作時得到的方向圖。全孔徑的增益為24.54 dB， 各子孔徑的增益約為17.85 dB。綜合出的方向圖副瓣電平均低于-17 dB，在僅幅度控制下，可有效地降低多波束的副瓣電平。

圖7 多波束的幅度激勵分布和方向圖

6 結論

本文介紹了投影矩陣法的基本方法及其改進，可以滿足僅相位控制或僅幅度控制約束，采用改進的投影矩陣法完成了陣列天線的波束綜合，可根據多種不同的應用需求，采用不同的改進策略，實現陣列天線的單波束綜合和多波束綜合。算例仿真結果表明改進的投影矩陣法可靈活高效地實現陣列天線的波束綜合。改進的投影矩陣法也可用于陣列饋電反射面天線的波束形成。