非線性滲流低滲氣藏壓裂井的產能方程

熊 健 于路均 郭 平

1.西南石油大學“油氣藏地質及開發工程”國家重點實驗室，四川 成都 610500 2.新疆油田公司采氣一廠，新疆 克拉瑪依 834007

0 前言

大量室內實驗結果表明，低滲透氣藏中氣體滲流時不僅具有啟動壓力梯度［1～2］，而且存在滑脫現象［3～4］，和應力敏感現象［5～6］。低滲透氣藏開發存在單井產量低的特征，需要進行壓裂增產改造才能有效提高氣藏的單井產量［7］。 汪永利、楊正明等人［8～13］研究了垂直裂縫井產能計算方法，但均未綜合考慮滑脫效應、啟動壓力梯度及應力敏感的共同影響。根據擾動橢圓概念和等價發展矩形的思想，基于穩態流理論，引入新的擬壓力形式，建立考慮啟動壓力梯度、滑脫效應、應力敏感共同影響下低滲氣藏壓裂井產能預測模型，分析了產能方程的影響因素敏感性。

1 產能方程推導

在推導壓裂井產能方程時，假設：壓裂裂縫為垂直裂縫，沿井眼對稱分布；裂縫剖面為與氣層厚度等高的矩形；裂縫為有限導流能力；氣藏及裂縫內均為單相流動，氣藏中氣體的流動符合達西非線性流動，裂縫中的氣體流動符合Forchheimer非達西流動方程；裂縫區域外為橢圓流，等勢線為橢圓，流線垂直橢圓族，形成兩個流動區域即裂縫內線性流區、地層內橢圓流動區；不考慮裂縫壁面污染。

1.1 地層橢圓流

氣井生產時在地層中形成等壓橢圓柱面，直角坐標和橢圓坐標的關系為：

式中x、y——直角坐標；

η、ζ——橢圓坐標；

a——橢圓的長半軸；

b——橢圓的短半軸；

xf——裂縫半長，cm。

根據穩態滲流理論，在橢圓坐標中考慮啟動壓力梯度［2］滲流方程有

式中p——壓力，MPa；

y——長度，m；

λ——啟動壓力梯度，MPa/m；

v——滲流速度，m/s；

K——滲透率，10-3μm2；

μ——氣體粘度，mPa·s。

由Klinkenberg L J得出的氣體滲透率K與絕對滲透率 Ki的關系式［4］為：

式中b——氣體滑脫因子，MPa；

p——氣藏平均壓力，MPa，氣藏遠井區的壓力壓降小，因此采用地層壓力進行推導。

對于低滲氣藏，應力敏感滲透率與有效應力呈指數變化規律［5］為：

式中ak——滲透率變化系數，MPa-1；

pe——原始地層壓力，MPa。

將式（3）變形為：

用橢圓坐標表示的滲流速度：

式中Qsc——氣井壓裂后產量，m3/s；

p——氣藏壓力，MPa；

h——氣藏厚度，m；

psc——標準狀態下壓力，MPa；

Z——氣體壓縮因子；

Zsc——標準狀態下壓縮因子；

T——氣藏溫度，K；

Tac——標準狀態下溫度，K。

根據擾動橢圓的概念，用發展矩形族來描述等壓橢圓族：

對式（6）、（7）變形有：

式（11）變形積分有：

式中 ζ0=0；

ζe=ln2re/xf；

Qsc—氣井壓裂后產量，m3/d。

1.2 裂縫線性流

Forchheimer通過實驗擬合出描述非達西流動壓降的二次方程，表達式為：

式中Kf——裂縫滲透率，10-3μm2；

βg——氣體紊流系數，m-1；

Wf——裂縫寬度，m；

Mair——空氣分子質量；

R——氣體常數；

γg——氣體相對密度；

ρg——氣體密度，kg/m3。

將式（14）代入式（13）中，且μ和Z的值按平均壓力處的值計算，并簡化：

式中rw——井筒半徑，m；

βg=b/，在不同支撐劑下，a、b 值［14］見表 1。

推導式（12）、（15），即為低滲透氣藏壓裂氣井的產能方程。將兩式聯立，利用牛頓迭代法求解，可解出Qsc等參數。

表1 裂縫中不同支撐劑條件下a、b值

2 影響因素分析

假設某壓裂氣井參數：裂縫半長200m，裂縫寬度0.008m，裂縫滲透率 60 000×10-3μm2，儲層有效滲透率為 0.75×10-3μm2，地下氣藏溫度為 364.87K，泄氣半徑為1 200m，原始氣藏壓力27MPa，氣藏有效厚度為7.7m，氣體粘度為0.021 8mPa·s，氣體壓縮因子為0.944。

不同啟動壓力梯度下氣井IPR曲線見圖1。從圖1可知，隨著啟動壓力梯度增加，氣井產量減小，說明啟動壓力梯度對于氣體滲流附加一種阻力。當啟動壓力梯度分別為0.002、0.004、0.006MPa/m時，對應氣井的無阻流量比不考慮啟動壓力梯度影響分別降低了4.47%、8.79%、13.12%。

不同滑脫因子下氣井IPR曲線見圖2。從圖2可知，隨著氣體滑脫因子的增大，在相同的井底流壓下，氣井產量增加，說明滑脫效應對氣體滲流附加一種滑脫動力。當滑脫因子分別為2、4、6MPa時，無阻流量比不考慮滑脫效應影響分別提高了7.03%、13.73%、20.09%。

圖1 不同啟動壓力梯度對氣井流入動態的影響

圖2 不同滑脫因子對氣井流入動態的影響

圖3 應力敏感對氣井流入動態的影響

圖4 不同壓裂導流能力對氣井產能的影響

不同應力敏感系數下氣井IPR曲線見圖3。從圖3可知，隨著滲透率變形系數的增加，氣井產能逐漸下降，產能曲線彎曲程度越強烈，說明應力敏感在地層中引起的“應力污染”現象越嚴重。當滲透率變形系數分別為0.02、0.04、0.06MPa-1時，對應無阻流量比不考慮應力敏感影響分別降低了11.04%、18.58%、25.8%。

裂縫導流能力對產能的影響見圖4。從圖4可知，氣井產能隨著裂縫長度的增加而增加，隨著裂縫導流能力增大，氣井的產能先是快速上升后趨于平緩。說明低滲透氣藏中增加裂縫長度比增加裂縫導流能力更重要；一定裂縫長度下，存在一個最佳裂縫導流能力。因此，在壓裂設計中，當裂縫導流能力達到一定范圍后，主要目的應是增加縫長。

3 實例分析

根據文獻［13］中某一口壓裂氣井的基本參數，該井壓后系統試井得無阻流量為 11.8×104m3/d，文獻［13］計算的無阻流量為10.29×104m3/d，誤差為12%，利用本文推導的產能方程計算的無阻流量為12.95×104m3/d，誤差為9.7%。說明推導的產能方程具有可靠性。

4 結論

a）針對低滲透氣藏特征，基于橢圓流模型，推導建立了考慮啟動壓力梯度、滑脫效應、應力敏感共同影響下低滲透氣藏有限導流垂直裂縫井產能預測方程。

b）啟動壓力梯度和應力敏感使氣井產能下降，隨著啟動壓力梯度和應力敏感系數增大，氣井產能降低；而滑脫效應使氣井產能增大，隨著滑脫因子增大，氣井產能增加。

c）在低滲透氣藏中，增加裂縫長度比增加裂縫導流能力更重要，一定裂縫長度下，存在一個最佳的裂縫導流能力。因此，在低滲透氣藏壓裂設計中，當裂縫導流能力達到一定范圍后，主要目的應是增加縫長。

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