基于LMI的磁懸浮永磁直線電動機H∞魯棒控制器的設(shè)計*

藍益鵬 楊 波

(沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，遼寧沈陽 110870)

以高速度和高精度為基本特征的高速加工技術(shù)及其他技術(shù)的發(fā)展，促進了伺服電動機和伺服驅(qū)動器的發(fā)展［1］。磁懸浮永磁直線同步電動機兼有永磁電動機和直線電動機的雙重優(yōu)點，并具有非接觸、無摩擦、無磨損、環(huán)保等特點。總體性能上具有較大優(yōu)勢，在數(shù)控機床中具有廣闊的應(yīng)用前景。但是不同于直流旋轉(zhuǎn)電動機可以分別控制勵磁控制回路和轉(zhuǎn)矩控制回路，由于勵磁電流分量和推力電流分量的相互影響、相互作用，磁懸浮永磁直線同步電動機控制系統(tǒng)成為一個多變量、強耦合的非線性系統(tǒng)［2－3］。

針對控制對象的不確定性，H∞控制作為較為成熟的方法，對抑制擾動具有良好的效果。但加權(quán)函數(shù)的選取因為無規(guī)律可循而使H∞控制理論的應(yīng)用受到了限制。隨著求解凸優(yōu)化問題的內(nèi)點法的提出，LMI受到越來越多的關(guān)注，許多控制問題可以轉(zhuǎn)化成一個LMI系統(tǒng)的可行性問題，或者是具有LMI約束的凸優(yōu)化問題［4－6］。本文采用 LMI方法設(shè)計 H∞魯棒控制器，以保證磁懸浮永磁直線電動機控制系統(tǒng)在不確定性擾動時具有良好的魯棒性。

1 磁懸浮永磁直線同步電動機的數(shù)學(xué)模型

磁懸浮永磁直線電動機的動子上有兩套電氣上相互獨立的繞組，一套繞組是用于產(chǎn)生電磁推力的推力繞組，另一套繞組是用于調(diào)節(jié)磁懸浮力的懸浮繞組，專門用于對氣隙磁場進行調(diào)節(jié)，從而改變磁拉力的大小，使永磁直線電動機靠自身產(chǎn)生的磁懸浮力來運行。使數(shù)控機床進給平臺在直接驅(qū)動的同時能夠從根本上消除摩擦實現(xiàn)無摩擦進給［7］。

推力繞組中通入三相對稱的正弦交流電流，采用id=0的控制策略，使推力繞組產(chǎn)生最大推力。在懸浮繞組中通入三相對稱的正弦交流電流，采用iq=0的控制策略，以使懸浮繞組產(chǎn)生可控懸浮力。

假定d、q軸電感Ld=Lq=L。此時動子的電磁推力表達式為

磁懸浮永磁直線電動機的動子處于懸浮狀態(tài)，與導(dǎo)軌之間無摩擦，其機械運動方程為［8］:

式中:Fl負載阻力;M為動子質(zhì)量;Fd為端部效應(yīng)力;Kf為電磁推力系數(shù);v為動子線速度。由分析和實驗得到端部效應(yīng)力簡化數(shù)學(xué)模型為

式中:Fdm為端部效應(yīng)力波動的幅值;τ為極距;x為動子的直線位移;θ0為與直線電動機定子電磁結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)。

在此情況下，磁懸浮永磁直線同步電動機的數(shù)學(xué)模型可描述為

其中:uq、iq分別為q軸動子電壓和電流;ψf為永磁體基波勵磁磁鏈;Rs為動子電阻;np為極對數(shù)。

2 H∞魯棒控制器設(shè)計

2.1 控制問題的描述

基于H∞控制理論設(shè)計控制系統(tǒng)，不論是魯棒穩(wěn)定還是干擾抑制問題，都可以歸結(jié)為求解反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，并且從擾動輸入w到被調(diào)輸出z的閉環(huán)傳遞函數(shù)陣的H∞范數(shù)最小或者小于某一給定值(次優(yōu)化問題)［9］。

考慮廣義被控對象的狀態(tài)空間實現(xiàn)為:

其中:x∈Rn是狀態(tài)向量;u∈Rm是控制輸入;y∈Rp是測量輸出;z∈Rr是被調(diào)輸出;x∈Rn使外部擾動;A、B1、B2分別為系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣和干擾矩陣;C1為狀態(tài)加權(quán)矩陣;D12為輸入加權(quán)矩陣。要求設(shè)計反饋控制器使得相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng):

其中:K為狀態(tài)反饋矩陣。

是漸近穩(wěn)定，且閉環(huán)傳遞函數(shù)Twz(s)滿足:

2.2 基于LMI的磁懸浮永磁直線電動機H∞魯棒控制器的設(shè)計

根據(jù)H∞性能指標(biāo)與線性矩陣不等式的等價性，將設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為對LMI的求解，進而得到磁懸浮永磁直線電動機系統(tǒng)的狀態(tài)反饋H∞魯棒控制器。

基于線性矩陣不等式的H∞狀態(tài)反饋控制問題的解法通過以下定理求得:

定理1［10］:對于公式(5)所描述的系統(tǒng)，存在一個狀態(tài)反饋H∞控制器，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個對稱矩陣X和矩陣W，使得以下矩陣不等式成立:

相應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制律，若存在可行解X*、W*，則u=Kx=W*(X*)－1x是式(5)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋H∞控制器。

對于給定標(biāo)量γ＞0，求系統(tǒng)的狀態(tài)反饋γ次優(yōu)H∞控制器，使得‖Twz(s)‖∞＜γ，相應(yīng)的矩陣不等式為

根據(jù)磁懸浮永磁直線同步電動機控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型式(4)及式(5)設(shè)計H∞魯棒控制器，其中狀態(tài)方程各參數(shù)為

其中:qi≥0，i=1，2，3;ρ＞0，為加權(quán)系數(shù)。

3 仿真研究

在MATLAB的Simulink環(huán)境下，搭建了采用id=0的矢量控制的系統(tǒng)狀態(tài)反饋仿真模型。如圖1所示。系統(tǒng)的額定參數(shù)如下:

M=50 kg，Rs=1.687 8 Ω，L=25.92 mH，τ=33 mm，np=3，ψf=0.175 4 Wb。

給定γ=0.8。選取相應(yīng)參數(shù)陣C1、D12為

用MATLAB的LMI工具箱求得:

其中狀態(tài)反饋陣求得為

通過對系統(tǒng)進行仿真，在沒有擾動信號和擾動信號為階躍信號情況下分別對狀態(tài)變量:電流iq、速度v和位移S進行跟蹤，得到研究結(jié)果如圖2～4所示。

在有擾動信號的情況下，在t=0.4 s時加載幅值為F=40 N的負載擾動，在t=0.6 s卸去擾動。此時負載擾動函數(shù)可定義為

從圖中可知系統(tǒng)對不同的擾動信號具有良好的抑制特性。

4 結(jié)語

(1)針對磁懸浮永磁直線電動機控制系統(tǒng)中非線性和變量間存在耦合的特點，采用矢量控制中的id=0的方法實現(xiàn)了模型的動態(tài)解耦，解耦成獨立的線性電流子系統(tǒng)和速度子系統(tǒng)。

(2)根據(jù)H∞性能指標(biāo)與線性矩陣不等式的等價性，將設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為對LMI的求解，進而得到磁懸浮永磁直線電動機系統(tǒng)的狀態(tài)反饋H∞魯棒控制器。

(3)建立了磁懸浮永磁直線電動機控制系統(tǒng)的仿真模型，對不同性質(zhì)的擾動信號進行了仿真研究，結(jié)果表明基于LMI設(shè)計的磁懸浮永磁直線電動機控制系統(tǒng)具有良好的跟蹤性能和對干擾的抑制性能。

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