一種新型的數(shù)字積分直線插補(bǔ)算法的研究*

郭永環(huán) 范希營 劉鳳國

(江蘇師范大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江蘇徐州 221116)

插補(bǔ)算法是整個(gè)數(shù)控系統(tǒng)控制的核心，其穩(wěn)定性和算法精度將直接影響到CNC系統(tǒng)的性能指標(biāo)。根據(jù)插補(bǔ)采用的原理和計(jì)算方法的不同，可有許多插補(bǔ)方法。目前應(yīng)用的插補(bǔ)方法分為2類:基準(zhǔn)脈沖插補(bǔ)和數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)。基準(zhǔn)脈沖插補(bǔ)中常用的有逐點(diǎn)比較法(在2個(gè)坐標(biāo)軸開環(huán)的CNC系統(tǒng)中應(yīng)用比較普遍，一般不用于多軸聯(lián)動(dòng)，應(yīng)用范圍受到一定限制)和數(shù)字積分法(簡稱DDA法，易于實(shí)現(xiàn)多坐標(biāo)軸聯(lián)動(dòng))。本文主要研究新型的DDA法。由于傳統(tǒng)的DDA法沿各坐標(biāo)軸脈沖頻率不均勻，進(jìn)給速度不夠快，以及插補(bǔ)誤差較大，精度較低。因此國內(nèi)外許多學(xué)者研究了各種改進(jìn)方法，取得了豐碩的成果［1－6］。這些成果中有的插補(bǔ)精度提高了，但由于算法復(fù)雜使得插補(bǔ)速度卻降低了［7－9］;也有的沿x軸脈沖分配均勻，但沿y軸脈沖分配不均勻［10－11］。本文將研究一種提高精度但算法簡單以及各軸脈沖分配均勻的插補(bǔ)算法。

1 傳統(tǒng)的DDA法存在的不足

近年來，國內(nèi)外學(xué)者取得了可喜的成績［1－12］，但在下述3個(gè)方面還需進(jìn)一步改進(jìn)和提高。

(1)沿各坐標(biāo)軸脈沖頻率不均勻 例如，起點(diǎn)坐標(biāo)為o(0，0)，終點(diǎn)坐標(biāo)為A(10，7)，用傳統(tǒng)的DDA法進(jìn)行直線插補(bǔ)時(shí)，被積函數(shù)寄存器為四位二進(jìn)制寄存器，累加器和終點(diǎn)計(jì)數(shù)器也為四位二進(jìn)制計(jì)數(shù)器，迭代次數(shù)為24=16次時(shí)，插補(bǔ)結(jié)束。插補(bǔ)計(jì)算的過程如表1所示。

表1 傳統(tǒng)數(shù)字積分插補(bǔ)法直線插補(bǔ)運(yùn)算過程

根據(jù)表1可以看出脈沖沿x軸發(fā)出10次，沿y軸發(fā)出7次，x軸脈沖分配不均勻，y軸脈沖分配更不均勻，且間隔增大，將造成步進(jìn)電動(dòng)機(jī)失步，使各軸運(yùn)轉(zhuǎn)不平穩(wěn)以及步進(jìn)電動(dòng)機(jī)噪聲增大，影響工件的表面質(zhì)量。

(2)插補(bǔ)精度較高時(shí)，進(jìn)給速度不夠快。

(3)插補(bǔ)算法簡單時(shí)，插補(bǔ)誤差較大，精度較低。

2 新型DDA法直線插補(bǔ)原理及實(shí)例

2.1 新型DDA法直線插補(bǔ)原理

以第一象限直線插補(bǔ)為例，設(shè)直線起點(diǎn)為o(0，0)，終點(diǎn)為A(xe，ye)，如圖1所示。對xoy平面上的一條直線(如圖1中的oA)可用下面的方程式來表達(dá):y

將式(1)兩邊對x求導(dǎo)得，并對時(shí)間微分得:

這里，dy/dt、dx/dt的物理意義分別對應(yīng)動(dòng)點(diǎn)沿y軸和x軸方向上的運(yùn)動(dòng)速度分量。

又可以改寫成:

式中:k為比例常數(shù)。

當(dāng)xe＞ye時(shí)，只能走x或x、y同時(shí)走的方式。說明沿x軸方向的運(yùn)動(dòng)總步數(shù)大于沿y軸方向的總步數(shù)，所以每一次插補(bǔ)中都沿x軸正向進(jìn)給一步。由此說明了在插補(bǔ)過程中不需要判斷x軸在插補(bǔ)過程中的累加，從而只要判斷y軸方向在插補(bǔ)過程中的累加［12］。其中脈沖當(dāng)量為單位脈沖，循環(huán)次數(shù)q1為(xe，ye)中的最大數(shù)，由于xe≥ye，則對y軸方向積分［13］為

被積函數(shù)寄存器存放y軸終點(diǎn)坐標(biāo)值ye，每來一個(gè)ΔT脈沖，被積函數(shù)寄存器里的函數(shù)值送往相應(yīng)的累加器中相加一次。當(dāng)累加和超過累加器的容量時(shí)，便溢出脈沖，作為驅(qū)動(dòng)相應(yīng)坐標(biāo)軸的進(jìn)給脈沖y，而余數(shù)仍存在積分累加器中。

設(shè)積分累加器控制極限為q1，當(dāng)超過積分累加器控制極限q1時(shí)，必須發(fā)出脈沖溢出。若將q1規(guī)定為單位“1”(相當(dāng)于一個(gè)輸出脈沖)，那么積分累加器中的存數(shù)總是小于q1，即為小于1的數(shù)，該數(shù)稱為積分余數(shù)。如將ye累加q1次后的y積分值［14］應(yīng)為

積分值大于q1的部分表示溢出的脈沖，而余數(shù)部分存放在累加器中，即:

積分值=溢出脈沖數(shù)+余數(shù)

表2 新型DDA法直線插補(bǔ)的計(jì)算過程

當(dāng)兩個(gè)坐標(biāo)軸同步插補(bǔ)時(shí)，用溢出脈沖控制機(jī)床的進(jìn)給，就可以走出所需的直線軌跡。

若x向已走夠指定步數(shù)q1=xe時(shí)，即插補(bǔ)結(jié)束。

為了減小插補(bǔ)誤差，提高插補(bǔ)精度，可以在插補(bǔ)開始時(shí)設(shè)置積分初值為終點(diǎn)坐標(biāo)值中最大值的一半［14］，即sy=xe/2。

對于x軸，不管y軸如何變化，在每次插補(bǔ)過程中，x軸都向正向走一步，也就是說，x軸在每次插補(bǔ)過程中都有脈沖輸出。而y軸在某一周期可能走也可能不走，仍不能保持y軸均勻分配脈沖。因此將累加器控制極限q1分成ye等分，即每等分為q1/ye，其中累加器中y的余數(shù)為sy，也是分成ye等分，即每等分為sy/ye。當(dāng)sy+ye≥q1時(shí)，為了能使y軸均勻分配脈沖，y軸應(yīng)該在待定時(shí)刻發(fā)出脈沖，即和新型插補(bǔ)法計(jì)算的時(shí)間之間有一個(gè)時(shí)間差為［13］

其中:T為傳統(tǒng)DDA法的脈沖發(fā)出時(shí)刻。

如果sy+ye＜q1時(shí)，就不必考慮y軸的走向。同理，當(dāng)xe＜ye時(shí)，只能走 y或 x、y同時(shí)走的方式，同樣可以分析xe≤ye時(shí)的插補(bǔ)情況。

2.2 新型DDA法直線插補(bǔ)計(jì)算實(shí)例

設(shè)直線的軌跡為oA，起點(diǎn)坐標(biāo)為o(0，0)，終點(diǎn)坐標(biāo)為A(10，7)，則脈沖個(gè)數(shù)q1=max(10，7)=10，令積分初值為sy=xe/2=10/2=5，y軸發(fā)出脈沖與產(chǎn)生的時(shí)間差為各個(gè)脈沖特定時(shí)刻ΔT=(q1－sy)/T/ye。其中sy為上步中積分修正值，其計(jì)算結(jié)果如表2所示。

3 新型DDA法直線插補(bǔ)軌跡及脈沖波形分析

兩種DDA法直線插補(bǔ)的脈沖分配波形如圖3所示。圖3a與3b相比較可以看出在數(shù)控加工過程中，傳統(tǒng)的DDA直線插補(bǔ)法的各坐標(biāo)軸發(fā)出脈沖的時(shí)間間隔極不均勻，而且循環(huán)次數(shù)較多，從而降低了插補(bǔ)速度，影響了生產(chǎn)率。新型的DDA直線插補(bǔ)法使得各坐標(biāo)軸發(fā)出脈沖的時(shí)間間隔均勻，提高各軸步進(jìn)電動(dòng)機(jī)運(yùn)行的平穩(wěn)性，減少了失步的可能性。同時(shí)插補(bǔ)速度大大提高，由傳統(tǒng)的DDA直線插補(bǔ)累加16次(如表1所示)減少到10次(如表2所示)，而進(jìn)給速度并沒有降低，也未影響生產(chǎn)率。

4 結(jié)語

(1)新型DDA直線插補(bǔ)算法使x、y坐標(biāo)軸脈沖分配較均勻，沒有周期性變化。

(2)新型積分直線插補(bǔ)算法簡單，插補(bǔ)次數(shù)取終點(diǎn)坐標(biāo)值較大者。而傳統(tǒng)的插補(bǔ)算法的插補(bǔ)次數(shù)與寄存器的位數(shù)有關(guān)，如果寄存器的位數(shù)N=3，則要累加n=23=8，即插補(bǔ)8次，如果寄存器的位數(shù)N=4，則要插補(bǔ)16次。因此傳統(tǒng)的插補(bǔ)算法當(dāng)寄存器的位數(shù)越大，則插補(bǔ)次數(shù)越多，插補(bǔ)效率越低。

(3)新型DDA直線插補(bǔ)算法插補(bǔ)誤差小于0.5個(gè)脈沖當(dāng)量。

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