基于運動微分方程特征值的轉子－軸承系統失穩可靠性分析*

趙群超 張義民

(東北大學機械工程與自動化學院，遼寧沈陽 110819)

近些年，國內和國際上，許多大型、高速的旋轉機組都發生了或大或小的油膜失穩事故，并造成了重大的經濟損失。轉子－軸承系統的失穩問題關系到企業生產的安全、規模、能力，以及對應的效益。對于一個企業而言，生產中的穩定性是實現高效生產的重中之重。多年來，許多學者和研究機構對轉子－軸承系統的穩定性進行了一系列的研究和探索［1－4］。文獻［1］對線性系統的穩定性定義為:如果一個系統受到擾動后，系統最終可以返回原先的平衡狀態，則這一系統的平衡狀態是穩定的;如果受擾后，系統無限偏離原先的平衡狀態，則這一平衡狀態時不穩定的。對于轉子－軸承系統，其在運轉過程當中會發生動力失穩，這一不穩定性問題的原因主要是因為整個系統本身存在著負阻尼和交叉剛度?；谶@個最基本的原因，本文從轉子－軸承系統的運動方程入手，以單圓盤對稱支撐的轉子－軸承系統為例，來分析系統失穩的一系列可靠性問題。

1 運動方程及其特征值與系統失穩的關系

具有n個自由度的轉子－軸承系統(線性系統)的運動方程可用式(1)所示的二階矩陣微分方程表示

式中:M、D、K分別是系統的質量、阻尼和剛度矩陣(維數為n);q、F為位移矢量和激振力矢量。

研究穩定性主要是針對系統的自由振動方程，它是式(1)的齊次方程，即

對于式(2)，經過計算可得到其特征值ν，ν的形式為μ±jω。當μ＜0，即所有特征值都具有負實部，此時，式(2)描述的自由振動隨著時間的增加振幅不斷衰減并最終衰減至零，此時的振動是穩定的衰減振動，如圖1a所示。當μ＞0，即特征值(至少有一個)的實部大于零，此時，式(2)描述的自由振動隨著時間的增加振幅不斷增大并最終為無窮大，此時的振動稱為不穩定振動，如圖1b所示。當μ=0，即特征值的實部等于零(不為零的實部要小于零)，此時，式(2)描述的自由振動處于一種平衡狀態，稱為穩定性界限狀態，如圖1c所示。

2 穩定性裕度評估

設計一臺旋轉機械的時候，為了使得其具有良好的穩定性能，僅僅保證其工作在穩定的區域是不夠的。在此基礎之上還要保證它具有足夠的穩定性裕度，用來抵抗外界的各種干擾。圖1d所示的自由振動與圖1a相似，都具有負的特征值實部，但是情況d的實部比情況a的實部要小，所以情況d的自由振動衰減得更快，有更強的能力來抵抗外界的干擾。對于這兩種情況，需要尋找一個客觀的判據來評定它們的優劣性。一般的，設計人員采用以下3個判據來評估系統的穩定性裕度:(1)對數衰減率判據;(2)失穩轉速判據;(3)減穩因素界限值判據［1，3］。雖然應用以上的這些判據，可以判定出哪一組設計參數更為合理，但是這種判定只能粗略地對系統的穩定性裕度進行評估。為了更精確地、定量地、明了地做出穩定性裕度評估，以下我們根據可靠性分析的方法，合理地給出了解決辦法。

2.1 系統狀態函數的選擇

因為系統穩定需要所有特征值的實部都為負值，所以也可以將整個系統的穩定問題看成是多個子系統串聯形式的可靠性問題，每一個特征值都為負值時，系統才能穩定運行。從可靠概率的意義可知，系統的可靠度計算式為:

式中:pr為可靠度計算符號;P()為求概率函數;f(νi)為νi的分布密度函數;n為特征值個數。

但是，對于以特征值來度量系統穩定性的問題，按照串聯形式計算的結果趨于保守。對于單圓盤對稱轉子來說，特征值ν跟通常是兩對共軛復根［6］，而且一般情況下，在整個工作頻率范圍之內，2個特征值實部不發生交叉，也就是說2個特征值實部有恒定的大小關系。所以，在不失反應度量準確性的情況下，將系統狀態函數g(X)定義為:

式中:real()為對實數取實部函數;g(X)＜0為失穩狀態;g(X)=0為臨界狀態;g(X)＞0為穩定狀態。

此時:pr=P(g(X)＞0)

2.2 穩定性裕度的可靠性分析

根據二階矩陣微分方程的求解方法，求解方程(1)的特征值的問題可歸結為求下式特征值問題，

式中:ν為特征值;{ψ}為對應的特征向量。

在工程生產中，加工的誤差，安裝的誤差，以及工況的改變等等這些不可避免的實際情形使得決定系統穩定的各個參數會發生或大或小的變化。實踐證明，這些變化一般不會遠離額定參數數值。所以，可將這些變化看成是關于額定參數的一種攝動行為。

根據可靠性分析的隨機攝動理論［5］，g(X)為系統隨機參數向量X的函數。X和g(X)可表示為

式中，ε為一小參數，下標為d的部分表示隨機參數中的確定部分，下標為p的部分表示隨機參數中的隨機部分，且具有零均值。顯然要求隨機部分要比確定部分小得多。

對式(4)、(5)取數學期望，有

同理，根據Kronecker代數理論，隨機參數X和狀態函數g(X)的方差可分別表示為

根據向量值和矩陣值函數的Taylor展開式，當隨機參數的隨機部分比其確定部分小得多時，可以把gp(X)在E(X)=附近展開到一階為止，有

把式(10)代入式(9)，有

其中，g(X)為系統狀態函數，X為系統隨機參數向量，為隨機參數向量X的均值。

可靠性指標定義為

設基本隨機變量向量X中的所有元素服從正態分布，用失穩點處狀態表面的切平面近似地模擬極限狀態表面，可以獲得可靠度的一階估計量

3 數值算例

某由動壓向心滑動軸承對稱支撐的單圓盤轉子－軸承系統，其部分參數的期望值已知(如表1)，其中各變量及動特性指標的變異系數統一按0.05進行計算。試進行轉子－軸承系統失穩的可靠性分析。

表1 各變量期望值

根據給出的已知參數估算出系統的失穩轉速在3 000～4 000 r/min之間，估算方法見參考文獻［6］。之后在文獻［7］上查得在如上條件下，轉速在2 781 r/min與4 218 r/min時滑動軸承動特性系數值，如表2所示。在編程時以插值的方法計算出每個計算點的動特性系數值，從而計算出相對準確的fi(X)。

經過編程運算，得到系統的特征值ν具有兩對共軛復根，形式為a1，2±b1，2j;a3，4±b3，4j。將實部a提取出來列成圖2a所示。在2 718～4 218 r/min轉速之間，a1，2的絕對值相對于a3，4大很多，圖 2a 顯示的實部隨轉速的走向對比不明顯，所以將高轉速下過大的實部省去，將2 718～3 548 r/min轉速之間實部值繪制的出來，如圖 2b 所示。實部a1，2，a3，4起始隨轉速的增加都是在減小，在3 300 r/min左右，a1，2達到最小，然后增大，突破零線后迅速增大。

根據之前設定的系統狀態函數，這里把a1，2作為主要研究對象，繪制其隨轉速增大的曲線如圖3所示。特征值實部a1，2在工作轉速達到3 470 r/min左右達到零值，此時，系統處于臨界狀態。

圖4列出了系統在4 218 r/min轉速以下關于失穩的可靠度曲線。系統在3 420～3 480 r/min轉速附近可靠度迅速下降，直至完全失穩狀態。這與圖3所示在零點附近特征值實部相對于轉速增加急速增大非常吻合。說明了所得到的可靠度曲線，真實地反應了系統實際的工作狀態。綜上分析，在工程上，設定工作轉速的時候，對于上述的轉子系統要將工作轉速設定在3 420 r/min以下，最佳工作轉速應在3 300 r/min附近。這樣設計的工作轉速會在很大程度上提高系統在抵抗失穩上的裕度，增強系統的可靠性。

表2 滑動軸承的動特性系數值

4 結語

經上分析，以轉子－軸承系統運動微分方程的特征值來度量系統的穩定性是可行的。這種方法可以準確地指出系統失穩的臨界狀態的位置，指導工程中設定的工作參數可以避開系統失穩區域。這種方法還可以明確地給出系統失穩裕度的最大點，給工程人員在設計時提供合理的參考數據。

［1］徐龍祥.高速旋轉機械軸系動力學設計［M］.北京:國防工業出版社，1994.

［2］Lund JW.Stability and damped critical speeds of a flexible rotor in fluid－ film bearing［J］.Journal of Engineering for Industry，Trans.of ASME，1974，96(2):509 －517.

［3］張直明，虞烈.滑動軸承－轉子系統阻尼值與穩定裕度的相互關系［J］.上海工業大學學報，1985(4):11 －20.

［4］徐祥龍，朱均.大型發電機組穩定性研究［J］.機械工程學報，1992，28(3):6－11.

［5］張義民.汽車零部件可靠性設計［M］.北京:北京理工大學出版社，2000.

［6］張直明，張言羊，謝友柏，等.滑動軸承的流體潤滑理論［M］.北京:高等教育出版社，1986.

［7］機械設計手冊編委會.機械設計手冊單行本(滑動軸承)［M］.北京:機械工業出版社，2007.