非線性微機械諧振器的頻率跟蹤控制及數值仿真*

劉 恒 ，孟瑞麗

(1.南京信息工程大學電子與信息工程學院，南京 210044；2.江蘇省氣象探測與信息處理重點實驗室，南京 210044)

微機械諧振式傳感器主要通過諧振頻率的改變來敏感角加速度、線加速度、力、電場等信號，如微機械振動陀螺、諧振式加速度傳感器、諧振式壓力傳感器等。這類傳感器具有體積小、功耗低，同時，輸出為數字頻率信號，傳輸過程中信息衰減少，抗干擾性強，容易與數字設備接口，目前廣泛應用于氣象、航空航天、汽車等領域。微機械諧振器作為諧振式傳感器的核心部件受到了越來越多的關注，在傳感器系統設計時，一般總將諧振器等效為彈簧－阻尼－質量組成的二階線性系統，通過靜電激勵來獲得結構振動的輸出信息。但有限元建模理論分析和實驗測試均表明諧振器在靜電力作用下會造成振梁剛度的“硬化”或“軟化”，表現為一個典型的Duffing諧振器［1－8］，即振梁剛度系數中存在與振幅立方項有關的系數，它的存在使結構的幅度穩定性變差，同時諧振頻率也將發生變化，這使得傳感器系統表芯不再是二階線性的，而是高階非線性的。基于傳統控制理論的分析方法很難獲得高階系統的穩定條件和平衡點，電路的調試也就缺少理論的指導。本文首先分析了靜電驅動下微機械諧振器的非線性動力學原理，并根據非線性諧振條件下的激勵力與振動位移的相位關系，確定了基于鎖相技術的驅動控制方法。鑒于系統的高階非線性，利用平均周期法分析了振子系統行為，得到了閉環系統的穩定條件和穩態平衡點。根據實驗室研制的某諧振式微加速度計的實驗測試結果和設計參數，進行了數值仿真，仿真結果驗證了理論分析的正確性，為后續控制電路的設計提供了理論支持。

1 微機械諧振器的非線性分析

典型靜電驅動的微機械諧振器一般包括振梁、驅動極板、檢測極板，其中振梁主要有懸臂梁、雙端固支梁等幾種，目前應用比較多的為雙端固支梁。加載靜電力的驅動極板和電容檢測極板有梳齒結構和平行板兩種，一般為了減小靜電驅動力的非線性，驅動極板多采用梳齒結構，而檢測極板一般采用平板，與振梁一起構成平板電容器，相同條件下，平板結構能提供更大檢測電容。圖1為典型靜電驅動的微機械諧振器的原理示意圖，諧振器為單邊驅動和單邊檢測，檢測平板電容的初始間距為d，在靜電驅動力作用下極板位移為Z，諧振梁接直流電壓源Vd，驅動梳齒接交流電壓源Vaccos(ωt)，檢測極板接地。

圖1 典型的靜電驅動微機械諧振器原理圖

靜電驅動力Fd可以表示為:

式(1)中，C0為檢測電容的初始值，Cd為驅動電容，可以表示為:

式(2)中，N為梳齒對數，ε為介電常數，h為結構的厚度，l0為梳齒的有效交疊長度，d0為梳齒的間距。忽略式(1)中的高階項，將式(2)代入式(1)，當加載的直流驅動電壓Vd遠大于交流電壓幅值Vac時，可以通過結構參數的合理配置，滿足:

式(1)簡化為:

對于微機械諧振器本身，可以等效表示為:

式(5)中，meff為振梁及附加梳齒的質量，b為阻尼系數，km和k3為梁線性剛度系數和三次方剛度系數。將式(4)代入式(5)并歸一化，有:

式(6)中，對應各系數關系為:

式(6)表示為一典型的非線性Duffing諧振器，進一步推導，得到位移x的幅值a與各參數的關系滿足［1，5］:

式(7)表明，在相同頻率和靜電驅動力下可能存在幾個不同的振動幅值［5］。圖2為不同頻率比和靜電驅動力下的幅頻和相頻曲線［5］，很顯然，在剛度“硬化”和“軟化”條件下均出現同一頻率下最多存在三個振幅。在此條件下，對應的諧振式微機械傳感器在應用中會出現振動幅度的不穩定，特別是在品質因數比較大時，不穩定現象會更明顯。由于諧振頻率在大振幅下與振動幅度有關，幅度的不穩定將導致結構諧振頻率的漂移，使驅動電路的設計變得困難。根據圖2，在非線區域，很難通過振幅來判斷結構是否在某一頻率下達到諧振狀態。但振幅最大對應的頻率下相差始終為－90°，可以通過相位控制來實現非線性諧振器的諧振。

圖2 歸一化后的非線性諧振器的幅相特性曲線

2 基于鎖相技術的頻率跟蹤控制

對于非線性微機械諧振器的頻率跟蹤控制研究，目前國內外研究幾乎空白。文獻［5］雖然給出了控制方法，但理論推導結果值得商榷。靜電驅動力大小與交直驅動電壓幅度有關，文中結論卻表明系統穩定性與直流驅動電壓大小無關?；阪i相技術的非線性微機械諧振器頻率跟蹤控制系統包括電荷放大器、模擬乘法器、低通濾波器、積分控制器、壓控振蕩器，加法電路等。直流電壓固定，交流電壓由壓控振蕩器提供，初始頻率可以根據實際情況設定。當檢測的位移相位與驅動交流電壓相位不為90°，積分控制器將對相位誤差信息進行累加來調整壓控振蕩器的輸入電壓。當達到穩定時，壓控振蕩器輸出的頻率與結構的振動固有頻率相一致，分析模型見圖3。ζ為一階低通濾波器的時間常數，kI為積分系數，也就是設計控制器需要關注的參數。Y是壓控振蕩器的控制電壓，y為積分器輸入電壓，kvco為壓控振蕩器的轉換系數，Vac和ω0分別為壓控振蕩器的輸出電壓幅值和初始振蕩頻率。

圖3 基于鎖相技術的非線性微機械諧振器頻率跟蹤控制

當封裝后品質因數比較大，加載的直流驅動電壓Vd遠大于交流電壓幅值Vac時，靜電力可以表示為:

式(8)中，k2為電壓－靜電力轉換系數，大小與驅動梳齒結構參數有關，驅動電壓幅度固定時，參數A是確定的。對于壓控振蕩器來說，有:

式(10)中，相位角度φ可以表示為:

對于相位角度差的積分控制器來說，有:

也可以表示為:

對于模擬乘法器的鑒相器，假定輸出為單位的正余弦函數，有:

根據上述各模塊的建模，得到系統的方程為:

假定結構振動位移為x(τ):

a(τ)和φ(τ)為振動位移的幅度和相位，在系統穩定條件下，可以認為是兩個緩變參數［9］。此時振動速度為:

由于幅度變化和相位變化為緩慢變化參數，有:

那么振動加速度為:

將(τ)、(τ)、x(τ)代入上述方程(14)，結合式(17)，利用平均周期法化簡后有:

對于平衡點的求取，即令各參數對時間求導為0［10］，有:

系統對應的特征方程為:

式(24)中，λ 為特征值。n0，n1，n2，n3，n4為對應的各次項的系數，分別表示為:

根據勞思判據，要使系統穩定，需滿足:

求解式(25)可以得到:

要求系統能夠穩定在平衡點，控制器中的積分常數必須滿足式(26)。通過分析式(26)發現，增大驅動電壓幅值，A增大，對應積分控制器系數kI臨界值減??；同樣變化適于kvco和k1。當β大于0時，即剛度“硬化”條件下，諧振頻率增大，對應臨界積分系數增大。相同條件下，β增大，系統穩定性不發生變化。對特征值的求解發現，積分常數越小，對應特征值絕對值越小，系統動態響應較慢，即系統頻率跟蹤穩定需要的時間就越長。當μ為0，式(26)也適于線性諧振器。

3 數值仿真

為了對上述理論進行仿真驗證，利用設計的基于靜電剛度諧振式微加速度計進行了事例仿真，加速度計不同于一般微機械諧振器的是諧振頻率會隨加載加速度而變化，等價于一個諧振頻率可變的諧振器。加速度計采用體硅DRIE工藝與微鍵合技術制造，制造的結構見圖4，其中結構材料為濃硼擴散的單晶硅，襯底材料為7740玻璃，文獻［11－12］給出了加速度計敏感原理和制造過程。

圖4 基于體硅溶片技術制造的諧振式微加速度計(SEM)

為了獲得表芯的幅頻曲線，對表芯進行了頻率掃描測試，圖5～圖7為在加速度為0，相同交流驅動電壓與不同直流驅動電壓對應的開環幅頻曲線，頻率掃描范圍為34 kHz～40 kHz。在直流驅動電壓為2V，交流驅動電壓為2V時，諧振頻率為35.476 kHz，真空封裝下品質因數為1 400左右，見圖7。同時，直流驅動電壓越大，靜電驅動力越大，對應的諧振頻率增大，振動的幅度也增大，見圖5～圖7。

圖5 微機械諧振加速度計幅頻響應曲線(DC=15.8 V，AC=2 V)

圖6 微機械諧振加速度計幅頻響應曲線(DC=5 V，AC=2 V)

圖7 微機械諧振加速度計幅頻響應曲線(DC=2 V，AC=2 V)

圖5對應的幅頻曲線明顯諧振點右邊變化接近階躍跳變，不具有對稱性與平緩過渡。上述實驗結果與理論分析的剛度“硬化”相一致。當采用各自諧振頻率對應的恒幅交流信號源與直流偏置電壓激勵結構時，直流電壓越大，檢測的振動信號穩定時間越短，很快從大振幅變為小振幅，這也表明非線性剛度越大，結構振動的頻率不穩定區域越大，結構穩定性隨之變差。在結構流片封裝后，與尺寸相關的參數已經確定，為了提高檢測端的信噪比，一般都會加大驅動電壓，增大振動幅度，表芯結構的振動頻率和幅度就會由于剛度非線性的增大而發生變化，從而影響頻率跟蹤器的設計及性能。

仿真中，雙端固支的音叉諧振器可以等效為兩個完全對稱的單梁微機械諧振器，它采用靜電梳齒驅動，平板電容器單邊檢測。設計的結構參數和仿真電學參數見表1，參數意義見文獻［11－12］。

表1 加速度計結構參數及電學參數

基于SIMULINK的系統仿真模型見圖8，仿真時間為4 s，加速度在2.2 s從0階躍跳變到49 m/s2，直流驅動電壓Vc設定為10 V，根據表1參數和式(26)，計算得到在β為0時，kI臨界值為85，本文中主要考慮β＞0的情況，對于β小于0，可以按照第2節方法推導臨界值表達式。根據上一節知，在β變化時，kI只要小于85系統總是穩定的。

圖8 基于SIMULINK的微機械諧振器閉環驅動控制仿真模型

圖9～圖12分別為不同kI和k3條件下的頻率跟蹤和振動位移曲線。在kI為10小于臨界值，k3為0.1時，頻率跟蹤達到穩定時間長，但未出現頻率抖動，見圖9(a)；k3為20時，諧振頻率增大，頻率跟蹤達到穩定時間略微增長，依然未出現頻率抖動，見圖10(a)；圖9(b)和圖10(b)分別為對應條件下的位移放大曲線，在加速度未跳變前，根據穩態平衡點k1·表達式計算振幅放大為0.296，理論計算結果與仿真一致，由于k3·相對于km小很多，兩種情況下諧振頻率變化小，使得圖9(b)和圖10(b)的穩態放大振動幅度差別很小。在kI為100大于臨界值時，不管k3如何變化，頻率跟蹤達到穩定時間均變短，且都出現抖動，見圖 11(a)和圖 12(a)。圖 11(b)和圖12(b)為對應振動位移曲線，k3變大條件下，振動幅度減小，不再為嚴格的正弦波，k3增大對后續信號拾取將帶來困難。

圖9 k3=0.1，kI=10頻率跟蹤和振動位移曲線

圖10 k3=20，kI=10頻率跟蹤和振動位移曲線

圖11 k3=0.1，kI=100頻率跟蹤和振動位移曲線

圖12 k3=20，kI=100頻率跟蹤和振動位移曲線

4 結論

本文分析了非線性微機械諧振器的動力學原理，建立了諧振器基于鎖相技術的頻率跟蹤分析模型，鑒于系統模型的高階非線性，采用了平均周期法近似獲得了系統的平衡條件和穩態振幅值。理論分析和仿真結果表明:對于原本穩定的系統，振梁剛度的高次項系數的增大，不影響系統頻率跟蹤的穩定性；當積分控制器系數小于臨界值時，頻率跟蹤穩定時間長，不出現頻率抖動；在積分控制器系數大于臨界值時，頻率跟蹤穩定時間短，但出現跟蹤頻率的抖動。頻率跟蹤控制的理論與仿真結果可以作為下一步驅動電路的設計依據，上述結論同樣適用于線性微機械諧振器為基礎的傳感器驅動電路設計。

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