總體中位數(shù)可信區(qū)間估計(jì)Bootstrap法樣本含量的設(shè)置

陳國(guó)民

（海軍潛艇學(xué)院，山東 青島 266071）

0 引言

Bootstrap法是以原始數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的模擬抽樣統(tǒng)計(jì)推斷法，用于研究原始數(shù)據(jù)的某統(tǒng)計(jì)量的分布特征，廣泛應(yīng)用于可信區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等問題。當(dāng)用Bootstrap法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，需要從原樣本（樣本含量記為n）中隨機(jī)有放回地抽取n*個(gè)觀測(cè)單位，構(gòu)成Bootstrap樣本。關(guān)于Bootstrap樣本含量n*的大小，一般認(rèn)為，可以小于，等于或者大于原樣本含量n[1]。但從有關(guān)Bootstrap法的文獻(xiàn)來看，往往把Bootstrap樣本含量n*設(shè)置為與原樣本含量n相等[2]-[4]。本文擬運(yùn)用計(jì)算機(jī)模擬方法考察Bootstrap樣本含量n*對(duì)Bootstrap法總體中位數(shù)可信區(qū)間估計(jì)效果的影響，從而探討B(tài)ootstrap樣本含量n*的設(shè)置方法。

1 方法

用VFP編寫程序進(jìn)行統(tǒng)計(jì)模擬研究。

模擬步驟：

（1）模擬從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布總體X～N(0,1)中隨機(jī)抽取一個(gè)樣本，樣本含量為n。

（2）從該樣本中隨機(jī)有放回抽取一個(gè)Bootstrap樣本，Bootstrap樣本含量為n*。

（3）計(jì)算獲得的Bootstrap樣本的中位數(shù)。

（4）重復(fù)步驟（2）～（3）B次（B=1000）。

（5）對(duì)求得的B個(gè)中位數(shù)按升序排序，找到2.5%（第25位）和97.5%（第975位）百分位數(shù)，即為由該樣本估計(jì)的總體中位數(shù)的95%可信區(qū)間。

（6）判斷求得的95%可信區(qū)間是否包含總體中位數(shù)0，如果包含0，則記正確1次；否則記錯(cuò)誤1次。

（7）重復(fù)步驟（1）～（6）1000次，得到1000個(gè)可信區(qū)間。

（8）統(tǒng)計(jì)1000個(gè)Bootstrap可信區(qū)間包含總體中位數(shù)0的百分比，該百分比即為Bootstrap法總體中位數(shù)可信區(qū)間估計(jì)正確率的估計(jì)值。

參數(shù)設(shè)置：

模擬實(shí)驗(yàn)一：原樣本含量n分別設(shè)置為5，10，50，100；Bootstrap樣本含量n*分別設(shè)置為2，5，10，20，30，40，50，100，200。

模擬實(shí)驗(yàn)二：原樣本含量n分別設(shè)置為2～50，100；Bootstrap樣本含量n*分別設(shè)置為n，n-1，n-2，n-3，n-4。

判斷標(biāo)準(zhǔn)：正確率越接近準(zhǔn)確度100（1-α）%越好。本文α=0.05，所以，1000次模擬所得的正確率越接近95%越好。

2 結(jié)果與分析

模擬實(shí)驗(yàn)一結(jié)果見表1。從中可見：不論原樣本含量n大小，Bootstrap法的正確率隨著Bootstrap樣本含量n*的增加而降低；當(dāng)Bootstrap樣本含量n*很小時(shí)，Bootstrap法的正確率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于95%，甚至可達(dá)100%；當(dāng)Bootstrap樣本含量n*很大時(shí)，Bootstrap法的正確率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于95%，甚至為0；當(dāng)Bootstrap樣本含量n*等于原樣本含量n時(shí)，正確率接近或略小于95%。由此可以推斷，當(dāng)Bootstrap樣本含量n*稍微小于原樣本含量n時(shí)，正確率可能更接近理論準(zhǔn)確度。

為了尋找最佳的Bootstrap樣本含量n*，進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)二。結(jié)果見表2。從中可見：（1）當(dāng)Bootstrap樣本含量n*=原樣本含量n時(shí)，若原樣本含量n較小，則正確率偏低，隨著原樣本含量n增加，正確率逐漸提高并接近95%，當(dāng)原樣本含量n達(dá)到30時(shí)，正確率基本接近95%；（2）當(dāng)Bootstrap樣本含量n*=原樣本含量n-1時(shí)，正確率仍然偏低，但當(dāng)原樣本含量n達(dá)到20時(shí)，正確率基本接近95%；（3）當(dāng)Bootstrap樣本含量n*=原樣本含量n-2時(shí)，當(dāng)原樣本含量n達(dá)到10時(shí)，正確率基本接近95%；（4）當(dāng)Bootstrap樣本含量n*=原樣本含量n-3時(shí)，正確率不再偏低，當(dāng)原樣本含量n達(dá)到5時(shí)，正確率基本接近95%；（5）當(dāng)Bootstrap樣本含量n*=原樣本含量n-4時(shí)，正確率明顯偏高，但當(dāng)原樣本含量n達(dá)到30時(shí)，正確率基本接近95%。

表1 Bootstrap樣本含量n＊對(duì)總體中位數(shù)可信區(qū)間估計(jì)正確率（%）的影響

表2 Bootstrap樣本含量n＊對(duì)總體中位數(shù)可信區(qū)間估計(jì)的正確率（%）的影響

為了定量考察Bootstrap樣本含量n*對(duì)總體中位數(shù)可信區(qū)間估計(jì)準(zhǔn)確度的影響，計(jì)算表2中各種設(shè)置時(shí)的誤差（誤差=正確率-95），不同設(shè)置時(shí)的誤差比較見表3。由表3可見，當(dāng)Bootstrap樣本含量n*=n-3時(shí)，誤差的標(biāo)準(zhǔn)差最小，說明誤差的變異最小，同時(shí)，此時(shí)誤差的均數(shù)也最小（P＜0.05）。因此，結(jié)合前面的分析，可認(rèn)為運(yùn)用Bootstrap法進(jìn)行總體中位數(shù)可信區(qū)間估計(jì)時(shí)，把Bootstrap樣本含量n*設(shè)置為n-3時(shí)效果最好。

表3 各種設(shè)置時(shí)的誤差比較

3 討論

從有關(guān)Bootstrap法的文獻(xiàn)來看，Bootstrap法的效果與Bootstrap樣本含量n*無關(guān)，Bootstrap樣本含量n*可以任意設(shè)置，既可以小于原樣本含量n，又可以等于原樣本含量n，還可以大于原樣本含量n。但在實(shí)際應(yīng)用中，往往把Bootstrap樣本含量n*設(shè)置為與原樣本含量n相等[1]-[3]。從本文的模擬結(jié)果來看，Bootstrap樣本含量n*的設(shè)置對(duì)Bootstrap法準(zhǔn)確度的影響很大，尤其是當(dāng)原樣本含量n較小時(shí)，Bootstrap樣本含量n*更不能任意設(shè)置，否則，估計(jì)出來的可信區(qū)間誤差很大。模擬結(jié)果表明，當(dāng)用Bootstrap法進(jìn)行總體中位數(shù)可信區(qū)間估計(jì)時(shí)，如果把Bootstrap樣本含量n*設(shè)置得過小（遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于原樣本含量n），則得到的可信區(qū)間會(huì)很“寬”，從而導(dǎo)致可信區(qū)間的準(zhǔn)確度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于設(shè)置的100（1-α）%；反之，如果把Bootstrap樣本含量n*設(shè)置得過大（遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于原樣本含量n），則得到的可信區(qū)間會(huì)很“窄”，從而導(dǎo)致可信區(qū)間的準(zhǔn)確度遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于設(shè)置的100（1-α）%。

綜合分析模擬結(jié)果，可得出如下結(jié)論：①如果原樣本含量小于5，Bootstrap法的準(zhǔn)確度過低，不宜用Bootstrap法估計(jì)總體中位數(shù)可信區(qū)間。②如果原樣本含量不小于5，Bootstrap樣本含量n*設(shè)置為原樣本含量n-3最合適，可信區(qū)間的準(zhǔn)確度非常接近理論準(zhǔn)確度100（1-α）%。③如果原樣本含量較大（大于30），Bootstrap樣本含量n*可以設(shè)置為與原樣本含量n相等，但不宜設(shè)置為大于原樣本含量n。

需要說明的是，本研究只是對(duì)正態(tài)分布資料的總體中位數(shù)可信區(qū)間估計(jì)進(jìn)行了模擬試驗(yàn)，而且僅設(shè)置了α=0.05這樣一種情況，其結(jié)論未必適用于其它情況。對(duì)于偏態(tài)分布資料總體中位數(shù)可信區(qū)間估計(jì)，尚需進(jìn)一步的研究。

[1]蔡雪亞，金丕煥，曹素華.用Bootstrap方法計(jì)算中位數(shù)的可信區(qū)間[J].中國(guó)衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)，2002，19（3）.

[2]陳峰，陸守曾，楊珉.Bootstrap估計(jì)及其應(yīng)用[J].中國(guó)衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)，1997，14（5）.

[3]劉勤，金丕煥.Bootstrap方法及其在醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用[J].中華預(yù)防醫(yī)學(xué)雜志，1998，32（1）.

[4]敖雁，王學(xué)楓，湯在祥，等.Bootstrap方法在平均數(shù)假設(shè)測(cè)驗(yàn)中的應(yīng)用[J].中國(guó)衛(wèi)生統(tǒng)計(jì),2006，(6).