CFD技術在流動相似性原理教學中的應用

楊向龍

深圳大學 廣東深圳 518060

☆現(xiàn)代教育技術與裝備☆

CFD技術在流動相似性原理教學中的應用

楊向龍

深圳大學 廣東深圳 518060

流動相似性原理是流體力學教學的重要內容。對流動控制方程進行無量綱化，從理論上推導出動力學相似條件，再用CFD技術對簡單流動問題進行數(shù)值模擬，以對動力相似條件進行驗證。從理論和實踐兩方面幫助學生學習較為抽象的動力學相似條件，以期取得良好的課堂教學效果，提高學生解決實際問題的能力。

CFD技術；相似性原理；流體流動

由于測量方法和工具的局限性，在流體力學或水力學中，模型實驗是探索復雜流動規(guī)律、指導實際工程建設的重要手段。模型實驗原則上是研究尺度縮小或放大了的真實流動。例如，在風洞中進行飛機、高層建筑、大跨度橋梁等模型的吹風實驗，在水槽中進行船艦模型的航行實驗，在水洞中進行小體積昆蟲模型的飛行實驗等。模型實驗和真實流動之間滿足流動相似性，即幾何相似、運動相似、動力相似及初始和邊界條件相似，是保證可由模型實驗結果推知真實流動規(guī)律的充要條件。因此，相似性原理是流體力學或水力學教學內容的重要組成部分。

閱覽眾多水力學教材，在講解相似性原理時幾乎都遵從同一模式，即介紹流動相似的概念，給出幾個重要的相似準則，舉例說明相似準則在模型實驗設計中的應用[1,2]。這種模式存在一個明顯的不足，即未從理論上說明為何幾何相似、運動相似、動力相似及初始和邊界條件相似是保證流動相似的充要條件。從某種意義上說，這是一種“填鴨式”的教學方法，導致學生只能知其然，而不知其所以然。一般而言，幾何相似和邊界條件相似因其相對直觀，學生容易理解。但對動力相似的要求，相對比較抽象，很多學生難以理解。在一些流體力學教材中，采用另外一種教學模式，即直接對流動控制方程進行無量綱化處理，進而推導出動力相似參數(shù)[3,4]。這種方法從理論上說明了動力相似的必要性，有助于消除學生對動力相似條件的疑惑。

然而，僅使用單純的理論講解，仍難以使學生留下深刻印象，而容易遺忘。如果能結合實際問題，應用相似性原理加以解決，不但能幫助學生理解其奧妙，對所學內容留下深刻印象，并且能鍛煉學生解決實際問題的能力。

CFD技術在解決簡單流動問題時，可得到相當滿意的結果。一些教學工作者已嘗試將其應用到水力學教學中，取得了良好的教學效果。如，趙琴等人利用CFD技術幫助學生理解流線的概念，鞏固對總流能量方程和連續(xù)性方程的認識，區(qū)別層流和湍流的流動狀態(tài)，及圓柱繞流的漩渦脫落特性等[5]。楊忠國等人利用CFD技術對雷諾實驗進行了模擬，可以讓學生在計算機房進行數(shù)字化實驗[6]。李國威和董金玲將CFD技術應用到無環(huán)量圓柱繞流中，幫助學生對抽象內容進行學習[7]。將CFD技術應用到教學中，因其基于堅實的理論基礎，相對于一般的動畫，可得到真實的流動圖像，并能獲得更深層次的流動信息，能更好地幫助學生理解抽象內容。可用數(shù)值實驗代替真實實驗，大大節(jié)約教學資源，緩解高校實驗資源不足的問題。同時，如果讓學生自己動手對一些簡單問題進行數(shù)值模擬，還可以鍛煉學生自己動手，解決實際問題的能力。

筆者以二維定常不可壓縮管道流動為例，先對其控制方程和邊界條件進行無量綱化處理，從理論上闡明流動相似的充要條件。利用CFD技術對分析結果進行驗證，將理論予以形象化，這樣可以開拓學生的視野，激發(fā)學生的學習興趣，加深學生對基礎知識的理解。

1 控制方程和邊界條件的無量綱化處理

二維定常不可壓縮管道流動因其流動簡單，存在理論解，包含了流體流動的一般特征，計算量小等特點，可很好地用于課堂教學中。其控制方程包括連續(xù)性方程和動量方程，為：

邊界條件為：

式中，x和y分別表示軸向和橫向的坐標；u和v分別表示軸向和橫向的流體速度；p表示流體的壓力；ρ表示流體的密度；μ表示流體的動力黏性系數(shù)。因流動不可壓縮，且不考慮溫度的變化，故ρ和μ均為常數(shù)。

引入特征長度L(取為管道寬度)，特征速度U(取為進口平均速度)，特征壓力ρU2，可將x，y，u，v和p進行無量綱化，結果如下(帶*號的量為相應的無量綱變量)：

代入控制方程(1)～(3)和邊界條件(4)～(6)中，得無量綱控制方程和邊界條件，為：

邊界條件為：

其中，Re = ρU L/μ，是一無量綱參數(shù)，稱為雷諾數(shù)，表征流體慣性力和黏性力之比。

可見，對于二維定常不可壓縮管道流動，只要保證雷諾數(shù)相同，即動力學相似，則其無量綱控制方程是完全一樣的。如果同時保證幾何相似的，無量綱邊界條件相同，則其無量綱流動變量(u*，v*，p*)的解也必然是相同的。這樣，流動就是相似的。而如果雷諾數(shù)不同，則無量綱流動變量的解就可能不同，則流動不是相似的。因此，對滿足幾何相似和邊界條件相似的同類流動，雷諾數(shù)相同是流動相似的必然要求。而雷諾數(shù)是密度ρ，特征尺寸L，特征速度U和動力黏性系數(shù)μ的組合，也就是說，可以任意改變這4個參數(shù)的值，只需保證其組合(雷諾數(shù))相等，就可保證流動的相似性。這樣，為模型實驗提供了廣闊的設計空間。如根據(jù)實驗條件和測量手段的不同，可以靈活地用空氣流動模擬水的流動，用較慢速度的流動模擬較快速度的流動，用小管流動模擬大管流動等，反之亦然。

2 數(shù)值驗證

由前面的分析可知，對滿足流動相似的流動，相同無量綱位置處的無量綱流動變量必然相等，反之亦然。在滿足幾何相似、邊界條件相似的前提下，動力相似(在此表現(xiàn)為雷諾數(shù)相同)是保證流動相似的必然要求。為驗證前面所述理論，以二維定常不可壓縮管道流動為例，設計6種工況。二維管道的寬為L，長為10 L，網格尺寸取為0.05 L，這樣，可將整個計算區(qū)域劃分為4 000個矩形網格。計算域幾何、計算網格、邊界條件如圖1所示。6種工況中各參數(shù)取值見表1，工況1至工況4的雷諾數(shù)為100，工況5和工況6中雷諾數(shù)為500，但特征尺寸、特征速度、流體密度和動力黏性系數(shù)取不同的數(shù)值。

圖1 計算域、計算網格和邊界條件示意圖

表1 計算工況表

使用商業(yè)軟件Fluent對流動進行模擬。控制方程的空間離散格式取二階迎風格式。計算中，每種工況迭代300步后，流動即可收斂，在CPU主頻為1.86 G的個人PC機上耗時約20秒。

將計算結果進行無量綱化，以考察雷諾數(shù)對流動相似性的影響，不失一般性，取進口處的無量綱壓力(見表2)和出口處的無量綱速度分布(如圖2所示)進行分析。可以看到，若雷諾數(shù)相同，進口處的無量綱壓力和出口處的無量綱速度分布都是相同的。若雷諾數(shù)不同，則無量綱壓力和無量綱速度分布都不同。理論上，二維無限長管道流動的速度剖面應為拋物型分布。現(xiàn)管道為有限長，在慣性力和黏性力的共同作用下，從進口到出口的流動過程中，速度分布由均勻分布向拋物型分布逐漸發(fā)展。其中慣性力的作用是保持原有的流動狀態(tài)(即維持速度均勻分布的狀態(tài))，而黏性力則驅使流動向最終穩(wěn)定狀態(tài)(即速度為拋物型分布)演化。因此，慣性力相對越大(即雷諾數(shù)越大)，速度的演化過程越慢。從圖2看到，當雷諾數(shù)較小時(工況1至工況4)，速度演化較快，10 L的管道長度足以保證流動速度演化到穩(wěn)定狀態(tài)，因此出口處的速度已經達到拋物型分布。而當雷諾數(shù)較大時(工況5和工況6)，速度演化較慢，10 L的管道長度還不足以使流動速度演化到穩(wěn)定狀態(tài)，出口速度分布還未發(fā)展到拋物型分布。

表2 進口處的無量綱壓力

圖2 出口處的無量綱速度分布

3 結束語

流動相似性原理是流體力學或水力學教學內容的重要組成部分，是建立模型實驗和實際工程流動問題間相互聯(lián)系的紐帶。采用對流動控制方程進行無量綱化，從理論上推出流動動力相似的條件，可以幫助學生更好地理解流動動力相似條件的必要性。

采用CFD技術對二維定常不可壓縮管道流動進行數(shù)值模擬，操作簡單，計算速度快，可方便地用于課堂教學，以加深學生對相似性原理中較為抽象的動力相似的理解和記憶。如果讓學生親自動手完成，更能留下深刻印象，取得良好的教學效果，并能鍛煉學生的動手能力和提高學生解決實際問題的能力。

[1] 肖明葵.水力學[M].重慶:重慶大學出版社,2007.

[2] 劉士和,孫東坡,丁新求.水力學[M].鄭州:黃河水利出版社,2009.

[3] 呂華慶,魏守林,周華民.流體力學基礎[M].杭州:浙江科學技術出版社,2006.

[4] 莊禮賢,尹協(xié)遠,馬暉揚.流體力學[M].合肥:中國科學技術大學出版社,1991.

[5] 趙琴,楊小林,嚴敬.CFD技術在工程流體力學教學中的應用[J].高等教育研究,2008,25(1):28-29.

[6] 楊忠國,謝秋菊,于海明.基于CFD的流體力學雷諾實驗模擬[J].牡丹江師范學院學報:自然科學版,2009,1:38-39.

[7] 李國威,董金玲.CFD技術在無環(huán)量圓柱繞流多媒體教學中的應用研究[J].中國現(xiàn)代教育裝備,2011,7:64-67.

Application of CFD technology in the teaching of the f ow similarity principle

Yang Xianglong
Shenzhen university, Shenzhen, 518060, China

The f ow similarity principle is an important part in f uid mechanics. The dynamic similarity condition is derived from the nondimensional governing equations of the f uid f ow. Thereafter, in order to show the necessity of the dynamic similarity condition, a simple f uid f ow is simulated using CFD technology. This method can help theoretically and practically students to study the dynamic similarity condition which is more nonf gurative. Good teaching effect in classroom can be expected. In addition, the ability of students for solving engineering problem can be improved.

CFD technology; similarity principle; f uid f ow

2011-10-18

楊向龍，博士，副教授。

深圳大學教學改革研究項目(編號：JG2010122)。