格點規范理論課程中的數值模擬方法的應用

劉 巖，劉獻龍，羅志環，李 海，楊 意

（華南農業大學 理學院應用物理系，廣東 廣州 510642）

格點規范理論課程中的數值模擬方法的應用

劉 巖，劉獻龍，羅志環，李 海，楊 意

（華南農業大學 理學院應用物理系，廣東 廣州 510642）

本文在格點規范理論課程中，采用數值模擬中的Metropolis方法，組織學生解決了一個可以使用理論方法計算的問題，即規范場作用量，并把數值結果與理論結果做了比較，加深了學生對離散化格點這一模型的理解，并進而熟悉和掌握在離散化的格點下研究問題的原理和方法，取得了很好的學習效果.

格點規范理論；數值方法；教學改革

自然界存在的四種基本相互作用——強相互作用，弱相互作用，電磁相互作用以及引力相互作用，它們都有各自的理論體系進行描述，其中對于描述強相互作用的可重整化規范理論，即量子色動力學（QCD），是在上個世紀70年代才被提出.不過，QCD是微擾的理論，僅在耦合常數較小，或者說強相互作用高能的部分有效，而在強相互作用的低能部分，微擾的QCD失效.為了研究強相互作用的低能非微擾過程，1974年K.Wilson首先提出了格點規范理論（LGT），其基本思想是將連續的時空用離散的晶格代替，這樣，連續理論無法計算（發散的）物理量就可在格點上計算，最后還要用重整化群方法把結果外推到連續極限.如圖1所示，其中格點間的距離即格距為a，費米場定義在格點上，而規范場則定義在兩個格點間的鏈上.

圖1 格點規范理論的基本元素.其中費米場和規范場分別定義在a）,b）處

在格點規范理論的教學中，會教導學生首先掌握規范場和費米場的作用量，而格點下的規范場和費米場作用量是由連續理論下的作用量在格點下離散化后得到的，為了讓學生理解連續理論離散化到格點的，以及格點理論下的結果在格距a→0時可以回歸到連續理論的過程，一般在課堂上會給出以上過程的理論推導，但是，為了幫助學生進一步的理解連續性和離散化的相互轉化，并進而熟悉和掌握在離散化的格點下研究各種問題的原理和方法，可以在教導理論推導的同時，組織學生采用數值計算的方法研究格點問題.下面以格點下的規范場作用量為例，讓學生使用Metropolis方法研究1+1維U（1）格點規范場作用量與β的函數關系，同時計算對應平均作用量的理論值，將理論值與數值結果進行比較，并作出相應的對比圖形.

由Wilson提出的方塊算符（plaquette）構成的規范場作用量如下：

其中Pμv代表格點的方塊變量，它由四條規范鏈的有序乘積所組成，如圖2所示：

圖2 方塊算符Pμv

下面組織學生用Metropolis方法數值計算該規范場作用量.首先對Metropolis方法進行說明：

（1）通常情況下，組態U是被隨機定義在格點上的，為了求解相關的物理量，我們先引入物理量對應算符F的期望值[1]：

關于應用到格點上的組態，當組態數目較大時，我們可以以格點離散的形式得到近似的表達式[2]：

上式可以看到，要求得相應的表達式必須對所有組態進行求和.不管怎么說，這是不太現實的，在統計物理方面，人們選擇“重要抽樣”的思想，只對貢獻較大的組態進行求和，對于貢獻較少的部分則省略掉.這樣，物理量可以通過求選取的組態平均值得到.

（2）組態的選擇取決于玻爾茲曼因子（Boltzmann factor），即e-△S（U），Metropolis方法中通過Update實現組態的選擇：

假設更新前的組態和更新后的組態分別為U和U'，二者滿足：

其中，△S（U）是組態從U變化到U'所產生的作用量的變化量，并且（4）中的玻爾茲曼因子 e-△S（U）滿足[3]：

組態更新與否并非完全確定的，組態U以一定的概率確定是否更新為U'，用P（U→U'）表示這一概率，則P（U→U'）滿足：

通常，由于組態的初始化是通過隨機數實現的，所以組態的更新需要進行一定的時間才能達到合理的狀態，即組態的分布需要一定次數的更新之后才能滿足重要抽樣條件.Metropolis方法的關鍵也在于找到合適的系統組態，之后再在該系統組態下，計算相關的物理量.

我們使用以上介紹的Metropolis方法計算規范場作用量，該模擬過程主要分為以下四個步驟：

1 確定格點的初組態

為了計算格點的方塊平均值，我們需要確定格點最初的組態，包括格點的大小和格點上的規范場作用量.格點的大小可以根據實際計算確定，通常為了減少運算量，可以用4×4的格點驗證程序的可行性，進而可減小格距，增大格子數目，如使用16×16、32×32的格點等.

程序模擬中通過函數rand（）產生一組0～1之間的隨機數來確定各個格點上的規范場作用量U，具體的表達式滿足：

2 格點組態的更新

格點組態的更新是為了得到一個相對平衡的格點系統，主要通過Metropolis方法條件來進行更新組態：更新前的組態U與另外3個組態U1U2U3共同組成一個方塊UP，即更新前有：

之后用另一組隨機數產生一個新的組態U'，可以組成一個新的方塊：

將（8）和（9）分別代入（1），可以計算得到兩個方塊的作用量，其中β的值已知.

然后，根據Metropolis方法原理，比較兩個方塊作用量的變化：

（1）如果新的組態產生的方塊作用量比原組態構成的方塊作用量小，則用新的組態U'代替原來的組態U；

（2）如果新的組態產生的方塊作用量比原組態構成的方塊作用量大，則可能用新組態U'代替原組態U，也可能保持原組態U不變，其更新概率按照（6）式進行.

以上即完成了一個組態的更新，運用同樣的方法對格點系統中的每一組態進行更新，可完成一次整個格點系統的組態更新.通常情況下，格點的更新需要反復進行，才能得到盡可能準確的規范場分布，從而進行作用量計算.

3 格點作用量平均值的計算

（1）格點系統的預熱過程：在計算作用量平均值之前，先根據步驟2對格點系統更新200次；

（2）計算一個格點系統的總作用量：完成200次格點系統更新后，在最新的規范場分布下利用（1）式計算每個方塊的作用量，求和得到一個總的作用量；

（3）持續計算一組格點系統的總作用量：計算出一個格點系統總的作用量后，按步驟2繼續更新格點組態，每完成5次格點系統的更新計算一個系統總的作用量，總共計算500個格點系統總的作用量；

（4）計算一個格點方塊的作用量平均值：對所求的500組格點系統總作用量取算術平均可得到格點系統的總作用量平均值，再除以格點系統的格點方塊數量，即可得到單個格點方塊的作用量平均值.

4 均勻改變公式（1）式中β的值，重復步驟1-3

程序中β的取值范圍為[0,6]，為了得到有效的擬合曲線，β的取值間隔越小越好，這里以0.2為取值間隔，得到多組β值下對應的格點方塊作用量平均值.

5 求作用量的理論值

為了驗證格點QCD方法的正確性，我們在得到格點QCD作用量的平均值后，需要計算出它的理論值，從而能進行結果比較.

作用量當中的Re（UP）的理論值為：

其中，I0（β）和 I1（β）滿足[4]：

由此得到：

由此，我們分別得到了規范場作用量的數值計算和理論計算結果，列于表1：

表1 不同β下的方塊作用量理論計算以及數值計算結果

表中的理論計算結果可通過第一類的虛宗量貝塞爾函數得到，實際操作中，可以通過Matlab、Excel等工具計算得到.

以β為橫坐標、方塊作用量為縱坐標，可以得到如圖3所示的對比曲線：

圖3 方塊作用量數值計算與理論計算結果的對比曲線

從圖形可以看出，計算機模擬的結果與理論值達到了有效的吻合，二者可分辨的誤差極小.這正好驗證了格點方法在非微擾QCD上運用的正確性.將數據結果進行曲線擬合后，可以近似給出格點QCD經過連續極限外推下的真實值.

通過這一問題的解決，可以看到學生能夠使用數值計算方法比較容易的得到與理論解一致的結果，從而熟悉和掌握在離散化的格點下研究問題的原理和方法，并進一步理解連續理論離散化到格點，以及格點理論下的結果在格距a→0時可以回歸到連續理論的過程.因此，在格點規范理論課程中，基于離散化這一特殊背景，對一些問題由淺入深的逐步引入數值計算，是可以有效的增加學生的基本功以及對格點理論的理解和掌握，同時也培養了學生數值計算的能力，對其今后進一步的科研工作也有著積極的作用.

〔1〕（美）黃卓然.高能重離子碰撞導論[M].哈爾濱:哈爾濱工業大學出版社,2002.

〔2〕羅向前,劉巖.格點QCD對混雜態介子基態及第一激發態質量譜的研究[D].廣州:中山大學,2006.

〔3〕Kerson H.Quarks,leptons and gauge fields[M].2nd ed.Beijing:World Scientific Publishing,1992.

〔4〕吳崇試.數學物理方法[M].北京:北京大學出版社,2003.

G420

A

1673-260X（2012）09-0211-03

華南農業大學2010年度教育教學改革與研究自籌項目（JG10108）；華南農業大學2012年度教育教學改革與研究重點項目（JG12008）