若干非線性偏微分方程的守恒律

白玉梅

（內蒙古民族大學 數學學院，內蒙古 通遼 028043）

0 引言

構造微分系統的守恒律是數學物理研究的重要課題.守恒律反映物理量不隨時間而改變的現象，在研究微分系統，尤其是可積系統和孤立子理論中發揮重要作用[1］.如利用守恒律獲得微分系統的精確解、分析解的各種特性和構造Hamilton系統等.一般情況下，如果一個微分系統有孤立子解，則其存在無窮多個守恒律，擁有無窮多個守恒律的非線性微分系統可積；然而，沒有無窮多個守恒律的微分系統仍可能可積，如Burgers方程.除此之外，守恒律被廣泛應用于一些數值方法的發展上，如有限元法和非連續Galerkin方法.由此可見，尋找物理背景明確的非線性系統的守恒律十分必要.

以（1＋1）維非線性彈性波動方程、Brusselator方程組和（2＋1）維廣義CBS方程作為研究對象，以符號計算軟件Maple為工具，采用第一同倫公式法，分別構造這3個方程（組）的守恒律.

1 守恒律構造方法

構造微分系統守恒律的方法包括直接法[4］、標量公式法、第一同倫公式法[2-3］、第二同倫公式法、利用對稱和共軛方程（組）法[5-7］、Lax對方法、跡恒等式法和B?cklund變換法[8］等，文中采用第一同倫公式法.

設自變量x＝（x1，x2，…，xn），因變量u＝（u1，u2，…，um）.

步驟1 計算系統相應的n維歐拉算子

步驟2 計算n維拓撲算子

步驟3 由步驟2所得結果，得到通量進而通過全導數算子作用，得到形如的微分系統的守恒律.

2 構造非線性偏微分方程的守恒律

2.1 彈性波動方程

非線性彈性波動方程為

式中：γ為任意常數.文獻[9］應用Lie對稱法，在不同對稱的恒等條件下，變換方程（1）為常微分方程，進而獲得若干不變解.

首先，假設其特征

得到關于特征Λ1的化簡后的確定方程組，即

經計算，有特征

式中：c1，c2，c3為參數.

選取參數并利用第一同倫公式計算通量，得出3種情形：

情形1 c1＝1，c2＝c3＝0，特征Λ1＝ux，通量

情形2 c2＝1，c1＝c3＝0，特征Λ1＝1，通量

情形3 c3＝1，c1＝c2＝0，特征Λ1＝t，通量

可得方程（1）的守恒律，即

2.2 Brusselator方程組

Brusselator方程組為

式中：c，d為擴散系數；a，b為其他反應物的固定濃度；λ為衡量容器大小的參數.首先計算方程組（2）的特征，設a，b，c，d，λ均不為0，且c-d≠0，令

求解化簡的確定方程組，得

選取參數，并利用第一同倫公式計算通量，得出2種情形：

情形1 當c1＝1，c2＝0時，特征

通量

情形2 當c2＝1，c1＝0時，特征

通量

可得方程組（2）的守恒律，即

2.3 廣義CBS方程

廣義CBS方程為

式中：α，β，δ為任意常數，α≠1，β≠0，δ≠0.

Zhang Huan Ping等通過Painlevé檢驗，得到方程（3）可積的條件，給出無窮多對稱并對其進行對稱約化[10］.設特征

計算關于Λ4的確定方程組

式中：α，β，δ，c1為任意常數，α≠0，δ≠β；f（t），g（t）為可微的任意函數.

選取參數并利用第一同倫公式計算通量，得出3種情形：

情形1 設c1＝1，f（t）＝0，g（t）＝0時，特征 Λ4＝ux通量

情形2 設c1＝0，f（t）為任意函數，g（t）＝0時，特征

通量

情形3 設c1＝0，f（t）＝0，g（t）為任意函數時，特征 Λ4＝g（t）通量

可得方程（3）的守恒律，即

3 結束語

將第一同倫公式法應用到物理背景明確的（1＋1）維非線性彈性波動方程、Brusselator方程組和（2＋1）維廣義CBS方程守恒律的構造中，在求得結果的同時，進一步說明該方法的有效性.該方法還可以用于獲得其他非線性偏微分方程的守恒律.

[1]Olver P J.Applications of Lie groups to differential equations[M］.New York：Springer-Verlag，1993.

[2]Cheviakov A F.Computation of fluxes of conservation laws[J］.Journal of Engineering Mathematics，2010，66：153-173.

[3]Wolf T.A comparison of four approaches to the calculation of conservation laws[J］.Europ.J.Appl.Math，2002，13（2）：129-152.

[4]Mei Jian qin，Zhang Jing jing，Zhang Hong qing.Direct algorithms for constructing high-order conservation laws of nonlinear partial differential equations[J］.Journal of Dalian University of Technology，2011，51（2）：304-308.

[5]許斌，劉希強，劉玉堂.耦合 KdV方程組的對稱，精確解和守恒律[J］.應用數學學報，2010，33（1）：118-123.

[6]王婷婷，劉希強，于金倩.Caudrey-Dodd-Gibbon-Kotera-Sawada方程的對稱、精確解和守恒律[J］.量子電子學報，2011，28（4）：385-390.

[7]許斌，劉希強.Landau-Lifshitz方程的群不變解和守恒律[J］.量子電子學報，2011，40（5）：575-579.

[8]張大軍，寧同科.可積系統的守恒律[J］.上海大學學報：自然科學版，2006，12（1）：19-30.

[9]Tahir Mustafa M，Khalid Masood.Symmetry solutions of a nonlinear elastic wave equation with third-order anharmonic corrections[J］.Applied Mathematics and Mechanics：English Edition，2009，30（8）：1017-1026.

[10]Zhang Huanping，Chen Yong，Li Biao.Infinitely many symmetries and symmetry reduction of（2＋1）-dimensional generalized Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff equation[J］.Acta Phys.Sin.，2009，58（11）：7393-7396.