Al-Si合金宏觀偏析、凝固組織演變的元胞自動機-控制容積法耦合模擬

張紅偉，NAKAJIMA Keiji，王恩剛，赫冀成

(1. 東北大學 材料電磁過程研究教育部重點實驗室，沈陽 110004；2. Division of Applied Process Metallurgy, Department of Materials Science and Engineering,Royal Institute of Technology (KTH), Stockholm SE-10044, Sweden)

Al-Si合金宏觀偏析、凝固組織演變的元胞自動機-控制容積法耦合模擬

張紅偉1，NAKAJIMA Keiji2，王恩剛1，赫冀成1

(1. 東北大學 材料電磁過程研究教育部重點實驗室，沈陽 110004；2. Division of Applied Process Metallurgy, Department of Materials Science and Engineering,Royal Institute of Technology (KTH), Stockholm SE-10044, Sweden)

建立凝固過程中宏觀流動、傳熱、溶質傳輸與微觀形核、生長過程雙向耦合數學模型，并針對Al-Si二元合金凝固過程進行二維元胞自動機?控制容積積分法(CA?FV)耦合模擬。模型反映了流場下晶體逆流生長特性，考慮了溫降導致的形核和生長以及形核和生長引起的固相分率變化對宏觀場的影響，能預測凝固過程中再輝和晶間偏析等現象，反映合金液流動對合金的溶質分布以及凝固組織形貌的作用規律。與僅宏觀傳輸模擬結果和無流動影響的模擬結果進行了對比，驗證了耦合模型的優越性。同時考察了鑄型尺寸對凝固組織形貌的影響。

Al-Si合金；凝固；晶體生長；宏觀偏析；元胞自動機?控制容積積分法

Abstract:A coupled cellular automaton?finite volume (CA?FV) model for macroscopic fluid flow, heat transfer, solute transport and microscopic nucleation and grain growth procedure was developed and applied in an Al-Si binary alloy solidification process. The model reflects the dendrite growth kinetics in the presence of fluid flow, the nucleation and growth in CA scale due to the increase of undercooling, and the feedback of solid fraction and temperature to FV nodes due to the nucleation and growth. The coupled CA?FV model can predict the recalescence and the intergranular segregation during alloy solidification process, which shows great advantages compared with the results by FV model and CA?FV model without fluid flow. The effects of fluid flow on the solute distribution and the solidification morphologies,as well as the influence of ingot size on the solidification structures, were discussed with the CA?FV model.

Key words:Al-Si alloy; solidification; grain growth; macrosegregation; cellular automaton?finite volume method

合金的凝固過程涉及宏觀傳輸(傳熱、傳質、流動)、相變熱力學(相平衡、相界面、化學衡)與凝固動力學(溶質再分配、形核、生長)等多種復雜現象。鑒于宏觀傳熱、傳質和流動影響微觀形核和生長的溫度和濃度條件，而微觀形核和生長釋放的潛熱又反過來影響溫度和溶質等宏觀場的分布，因此，有必要將宏觀傳輸過程與微觀形核生長過程相結合，通過建立合理的數學模型，獲得更符合實際凝固過程的模擬結果，實現對凝固組織的預測和控制，從而獲得需要的合金制品的質量及性能。

BENNON 和 INCROPERA[1]建立了層流下二元合金的連續介質宏觀傳輸模型， ABOUTALEBI等[2]將該模型應用于連鑄過程中，建立了二維凝固傳熱、紊流流動和溶質傳輸模型，模擬分析了方坯和圓坯內凝固坯殼分布及宏觀偏析。之后，徐建輝等[3]、陳衛德等[4]、顧江平等[5]、YANG等[6]通過采用Scheil模型，考慮凝固收縮、固相擴散及其他合金元素的影響等分別對模型進行了擴展。

形核模型分為瞬間形核模型和連續形核模型[7]。瞬間模型在某一臨界過冷度下瞬間全部形核。連續形核模型(OLDFIELD[8]，RAPPAZ[9])認為形核密度是過冷度的連續分布函數(如高斯分布)，該模型考慮了形核過冷度的影響和形核的連續性，目前已被較廣泛地應用于晶體生長的模擬中。

在晶體生長動力學研究方面，對于擴散生長條件，依據不同生長模式，共晶生長動力學常采用JACKSON和HUNT模型[10]，而枝晶尖端生長動力學常采用 KGT模型[11]。當存在流體流動時，GANDIN等[12]提出了流場下的枝晶尖端生長動力學模型(GGAN模型)。

對凝固組織進行預測的方法主要有 Cellular automaton(CA, 元胞自動機)法、Monte Carlo(MC)法和Phase field(PF, 相場)法。相場法屬于確定模型，能夠將凝固過程的溶質守恒方程與形核、生長過程耦合起來。通過在模型中引入相場函數來區分不同相區，避免了跟蹤相界面的困難。相場方程反映了擴散、有序化勢與熱力學驅動力的綜合作用，將相場方程與溫度場、溶質場、流場及其他外場耦合，可對金屬液的凝固過程進行真實的模擬，并能夠清晰顯示凝固過程中枝晶長大和粗化的生長細節。不足的是，受計算條件限制，模擬尺寸較小。CA法和MC法屬于隨機模型，能夠將凝固過程的能量方程與形核和生長過程相結合，模擬過程中跟蹤固液界面的移動，適于描述柱狀晶的形成及與等軸晶間的轉變。其中，MC法基于界面能最小原理，依據界面能的改變隨機概率取樣確定形核和生長位置，方法主要依賴凝固熱力學原理，缺乏對晶粒生長動力學物理機制的考慮，其時間步長也與實際凝固時間無關。而CA模型考慮了異質形核和生長過程的物理機制。RAPPAZ 和 GANDIN[13]首先建立了介觀尺度的CA模型，模型中形核位置和新晶核的結晶方向隨機確定，通過引入枝晶尖端生長動力學描述晶核的長大。其計算速度快，可模擬較大尺寸鑄件。ZHU和 HONG[14]進一步建立了微觀尺度的CA模型，考慮了固液相中的溶質擴散和溶質再分配，實現對枝晶臂生長細節的描述。

微觀偏析模型是聯系宏、微觀過程的紐帶，它描述在枝晶臂間距范圍內發生的局部溶質擴散過程，通常基于微觀計算域內的溶質質量平衡來進行推導。杠桿定律和Gulliver-Scheil(GS)模型[15?16]是兩種極限情況，杠桿定律體現平衡凝固，溶質在固、液兩相均充分擴散；GS模型則設定溶質在液相充分擴散而在固相無擴散。實際的擴散介于這兩種極限情況之間，為此，BRODY和FLEMINGS[17]、OHNAKA[18]、KOBAYASHI[19]、NI和BECKERMANN[20]及GANDIN等[21]分別針對固相反擴散給出了不同的修正模型。

將宏觀流動、傳熱、溶質傳輸模型與元胞自動機組織預測模型相耦合，結合杠桿定律，GUILLEMOT等[22?23]對Pb-Sn和Ga-In合金凝固過程進行了模擬，獲得的通道偏析形狀和位置與實驗結果吻合較好。

本文作者針對 Al-Si二元合金凝固過程，建立宏觀流動、傳熱和溶質傳輸與微觀形核和生長過程雙向耦合模型，采用杠桿定律聯系熱焓、濃度與溫度和固相分率間的微元關系，由CA模型預測Al-Si合金枝晶生長過程。實現對凝固過程中再輝、晶間偏析和枝晶逆流生長的預測，并分析合金液流動及鑄型尺寸對合金的溶質分布以及凝固組織形貌的作用規律。

1 宏觀和微觀耦合模型

針對 Al-Si二元合金，采用控制容積法建立宏觀流動、傳熱和溶質傳輸模型，采用CA模型模擬微觀形核和生長過程，由杠桿定律聯系微觀界面熱力學平衡，實現雙向耦合。

1.1 宏觀傳輸數學模型

該模型基于如下假設：1)所研究的過程為固定坐標系下的非穩態層流凝固過程；2)介質為不可壓縮的牛頓流體，符合Boussinesq關于密度的假設條件；3)凝固過程中遵循局部熱力學平衡，局部溶質平衡；4)所研究的體系為惰性體系，即各相孤立存在，各溶質在原子級上不可分割，各相均為連續相；5)合金固、液相具有相同的密度(ρ)和定壓比熱容(cp)；導熱系數(κ)為溫度的函數，液相擴散系數(Dl)為常數；6)凝固過程以柱狀晶生長方式進行，并忽略孔隙生成。

1.1.1 連續介質傳輸方程[24]

沿 重 力 方 向 的 體 積 力 項 為 ?ρg[βT(T?Tref)+βs(wl?wref)]，水平方向的體積力為 0。依據 Kozeny-Carman公式[25]，當相密度為常量時，滲透率可表示為fl為液相質量分數，K0為滲透率系數，由所研究的多相區域結構確定。則在完全凝固區(fl=0)和液相區(fl=1)，滲透率分別為Kp=0和Kp=∞。

式中：有效導熱系數為固、液相的混合值κeff=κlfl+κsfs。

式中：w為溶質Si的濃度；忽略固相擴散，有效擴散系數 Γeff=flρDl。

1.1.2 單元熱焓和濃度與溫度和固相分率的轉換關系

假定相界面處保持局部溶質守恒，這并不排除相中溶質存在梯度，但忽略了溶質原子通過相界面傳輸的阻力。由局部的動態熱平衡，忽略固液相線的曲率，可得到杠桿定律描述的單元熱焓和濃度與溫度和固相分率的轉換關系。

設定當前時刻的熱焓和濃度分別為H和w，分為以下幾種情況計算出該單元的溫度T和固相分率fs。

1) 單元為液相

2) 單元處于兩相區(fs＜1)

當Hliq＞H≥Heut時，有

當Heut＞H＞Hsol時，有

式中：Hliq=cpTliq(w)+ΔHf，Hsol=cpTsol(w)，Heut=cpTe+ ΔHf(1?fs,eut)，fs,eut為共晶等溫線上溶質濃度w對應的固相分率。液相線溫度

3) 單元為固相(Hsol≥H)

然后，依據式(9)和(10)更新固、液相成分，液相濃度為

平衡分配系數為

1.2 凝固組織演化數學模型

1.2.1 形核模型

采用瞬間形核模型[26]。首先對鑄型壁和熔液內部分別進行臨界過冷度的預置：依據高斯分布函數，在模擬區域內隨機選定CA單元位置并預置一組連續分布的臨界形核過冷度。一個CA單元僅能唯一分配一個形核過冷度值。之后，在凝固過程中，當模擬區域內某CA單元的過冷度達到該點預置的臨界過冷度時則形核。由二維區域上等軸枝晶的四折對稱性，新生晶核的取向為間的一隨機角度，ranl為0～1之間的隨機數。

1.2.2 流場下枝晶尖端生長動力學模型[27]

在合金凝固過程中，流體流動加快了枝晶迎流方向邊界層上的質量傳輸，提高了成分過冷度，從而使流場下枝晶尖端生長動力學與純擴散生長條件相比，發生了顯著的改變。采用GGAN模型[12]進行描述。

將枝晶尖端過冷度ΔT表示為成分過冷ΔTc與曲率過冷ΔTr之和：

超飽和度定義為

流場下超飽和度與生長 Peclet 數 Pev間關系式(GGAN模型[12])為

由界面穩定性準則，有

式中：生長Peclet 數 Pev= rvtip/(2 Dl)；流動Peclet 數Peu= ru/(2Dl)；Reynolds數 Re2r=2ru /ν =4Peu/Sc ；Schmidt數 Sc=ν/ Dl，v為運動黏度；常數A=0.577 3、B=0.659 6、C=0.524 9；指數積分函數 E1(Pev)=由多項式插值進行計算[28]；θ為枝晶生長方向與流動方向的夾角；u為相對于固態枝晶尖端的流體流動速度，這里，假定固相枝晶靜止，則u即為宏觀流動計算出的局部速度；vtip為枝晶尖端生長速度；Dl為液相擴散系數；穩定性常數 σ*取(4π2)?1；m為液相線斜率，Γ為Gibbs-Thomson 系數。

聯立式(11)～(14)，通過輸入局部過冷度ΔT、宏觀流動速度 u及方向夾角 θ，即可得到枝晶生長半徑 r和枝晶尖端生長速度vtip的值。

1.2.3 偏心生長捕獲算子[22,27]

流場下合金凝固過程中，隨著枝晶臂與流動方向夾角的不同，其尖端生長速度不同。這樣，晶核的生長輪廓逐漸變為不規則形狀。二維模擬時，晶核的生長輪廓為不規則四邊形。為此，建立不規則四邊形的生長捕獲算子，模擬枝晶的生長演變。

圖1 二維偏心四邊形生長模型[27]Fig.1 Two-dimensional decentred quadrilateral growth algorithm[27]

取CA網格中二相鄰單元點m和n。其中，點m為已形核點，其晶體生長中心設為Gm，某時刻的生長輪廓如圖1中虛線所示。可以看出，從生長中心出發構成生長輪廓四邊形的 4條枝晶臂長度(沿〈10〉方向)不等。點n在被捕獲前為液態。經過一定時間步后，點 m所在的晶體逐漸長大至圖中細實線所示的輪廓線，此時點m晶體的生長面超過點n，點n即被點m晶體的生長所捕獲，狀態變為固態，其生長輪廓在繼承點m生長輪廓的基礎上依據截取規則截掉一部分，變為圖中的粗實線。點n的生長中心確定為Gn，并通過幾何關系確定從Gn出發的4條枝晶臂長度。虛擬生長中心坐標及枝晶臂長度的計算細節詳見文獻[27]。

對生長輪廓進行截取的目的在于防止枝晶過度生長使得模擬結果失真。由于對生長四邊形的不斷截取，四邊形的生長中心逐漸偏離原CA單元點，同時，由于各枝晶臂與流動方向夾角不同，導致各枝晶臂生長速度不同，即各枝晶臂長度不等，因此，二維模擬中，流場下的生長輪廓為不規則的四邊形輪廓。對于每個CA單元點，需存儲其對應的虛擬生長中心和各枝晶臂長度。

圖2所示為一單晶粒在流場和溫度場的雙重作用下的生長形貌。設定一沿x軸正向流速為0.1 m/s的均勻流場，全場溫度在?0.1 K/s的冷卻速率下均勻冷卻。晶粒的[10]取向沿 x軸正向。由晶粒的生長形貌演變可以看出，流體流動破壞了枝晶生長的對稱性。由于流動增強了逆流方向枝晶邊界層上的質量傳輸，引起枝晶沿逆流方向生長速度加快。

1.3 宏觀與微觀的耦合過程[22]

1.3.1 宏觀和微觀單元變量的幾何對應關系

在2D計算區域中，劃分宏觀FV網格與微觀CA網格，其中，宏觀FV網格為采用內節點法劃分的較大尺寸的矩形網格，微觀CA網格為枝晶臂間距數量級尺寸上的正方形網格，采用外節點法劃分，與 FV網格疊加在同一計算區域上。在建立宏、微觀單元變量的幾何對應關系時，每個宏觀單元F由4個宏觀節點構成，分別標識為(i=1～4)。在一個宏觀單元F中每個微觀單元v由其中心坐標cv=(xv,yv)唯一確定。為了在宏觀節點與微觀CA單元之間交換信息，在每個宏觀節點ni和微觀CA單元v之間定義一個線性插值系數，則可以通過以下線性插值公式由每一個宏觀單元節點上的變量值得到微觀CA單元上的變量值ξv：

圖2 流場下的單晶生長形貌Fig.2 Morphology of single grain growth in presence of fluid flow

反之，當獲知微觀CA單元的變量值ξv時，宏觀節點的變量值通過式(16)得到

式中：為宏觀節點n可見的微觀CA單元v的個數，包括n所屬各宏觀單元所轄內所有CA單元；Λn為各插值系數的代數和，

1.3.2 宏觀和微觀耦合計算

1) 微觀時間步長的確定

晶粒在一個微觀時間步長內生長長度不應超過一個CA單元尺寸lCA，因此，模擬枝晶演變過程需要不斷調整微觀時間步長，用于微觀計算中的時間步長滿足式(17)：

2) 宏觀單元變量插值到微觀單元

通過求解宏觀控制方程(1)～(4)得到 FV節點上變量在一個宏觀時間步Δt內的變化：焓變(ΔHn)、濃度變化(Δwn)和速度變化(Δuj,n)。

對變量進行時間線性插值，得到宏觀節點n上變量在微觀時間步長 δt處的變化值δHn、δwn和 δuj,n，再由式(15)進行空間線性插值得到微觀節點v上變量的變化值 δHv、δwv和 δuj,v。

3) 微觀單元熱焓和濃度與溫度和固相分率的轉換

由微觀CA單元上當前微觀時刻的熱焓、濃度值Hv和wv，采用式(5)～(8)計算出該單元的溫度Tv和固相分率fs,v。

4) 更新宏觀和微觀節點上的變量

通過式(5)～(8)可以得出微觀CA單元新的溫度Tv和固相分率fs,v及其變化量δTv和δfs,v。將溫度和固相分率變化量δTv和δfs,v通過式(16)再反饋給宏觀節點，得到宏觀節點上溫度和固相分率的變化值δTn和δfs,n。

5) 宏觀和微觀求解過程

①宏觀傳輸模型的離散及求解[24]

采用控制容積積分法離散宏觀傳輸方程(1)～(4)，采用SIMPLE算法處理壓力和速度的耦合，上風方案離散對流?擴散方程以及能量及溶質傳輸方程中的對流源項，中心差分格式離散擴散源項。離散后的控制方程采用塊修正及三對角矩陣法(TDMA)進行迭代求解，并對各變量進行欠松弛。為達到以下指標，在每個時間層上各方程計算3～5次：壓力修正方程的源項(全場的總質量源項)小于1×10?5；能量方程的殘差小于1×10?3；濃度方程的殘差小于1×10?6。

②宏觀和微觀耦合求解

由冷卻條件，通過宏觀傳輸控制方程在FV節點上計算出熱焓、濃度和速度分量，并插值到微觀 CA單元上。在CA單元上，由1)熱焓、濃度計算出新的溫度和固相分率；2)液相單元的過冷度變化計算形核，固相單元的過冷度和局部流速計算生長和捕獲，從而獲得 CA單元狀態的轉變(由液相向固相)及新的溫度和固相分率。將CA單元上的溫度和固相分率反饋回FV節點。這樣，不斷冷卻、形核和生長，直至全場完全凝固。宏觀和微觀耦合計算采用的流程圖見圖3。

圖3 CA?FV耦合計算流程圖Fig.3 Flow chart of CA?FV coupling algorithm

當宏觀全場固相分率fs=1時，計算結束。

④初始條件和邊界條件

初始條件：全場速度初值 u=v=0，初始濃度w0=0.07，初始溫度T=893 K，初始液相分率fl=1。

邊界條件：四壁均為固體壁面，無壁面速度。僅左壁面與外界換熱，給定以焓為變量的冷卻速率h˙，其余3個壁面為絕熱條件。各壁面上濃度梯度為0。

2 結果討論

采用宏觀和微觀耦合模型，自行編制 Fortran程序，針對Al-7%Si(質量分數)合金的凝固過程進行數值模擬。 Al-7%Si合金的主要物性參數和計算參數分別如表1和2所列。計算區域尺寸為30 mm×30 mm，劃分宏觀單元尺寸為1 mm×1 mm，微觀CA單元尺寸為50 μm×50 μm，CA單元鄰居采用8鄰點的Moore鄰居關系。

表1 宏觀傳輸模型中Al-7%Si合金的物性參數和計算參數Table 1 Physical properties of Al-7%Si alloy and calculation parameters in FV model

表2 微觀模型中Al-7%Si合金的物性參數和計算參數Table 2 Physical properties of Al-7%Si alloy and calculation parameters in CA model

2.1 宏觀和微觀耦合模擬結果

計算得到Al-7%Si合金在鑄型尺寸為30 mm×30 mm，冷卻速率為?4 kJ/(kg·s)的溫降曲線以及溫度、熱焓、濃度、液相分率、凝固組織隨時間演變云圖和速度矢量圖分別如圖4～9所示。

圖4 Al-7%Si合金的溫降曲線Fig.4 Evolution of temperature with time of Al-7%Si alloy

2.1.1 溫降曲線

圖5 Al-7%Si合金的液相分率和流場Fig.5 Liquid fraction and flow field of Al-7%Si alloy: (a) t=70 s; (b) t=140 s

圖6 Al-7%Si合金的焓場Fig.6 Enthalpy contours of Al-7%Si alloy: (a) t=70 s; (b) t=140 s

圖7 Al-7%Si合金的溫度場Fig.7 Temperature contours of Al-7%Si alloy: (a) t=70 s; (b) t=140 s

圖4中3條溫降曲線分別為模擬區域水平中心線上左壁面、距左壁面1/4區域處和中心處的溫度隨時間變化曲線。由液相線溫度公式，Al-7%Si合金的液相線溫度為614.05 ℃，計算初始溫度取為620 ℃。由圖4可見，當達到液相線溫度時，合金開始凝固。凝固開始后，由于潛熱釋放，溫降曲線變緩。當達到共晶線(577 ℃)后，保持溫度不變直至完全凝固，之后，以完全固相繼續降溫，溫降加快。從曲線上可以看到在凝固初期，由于晶體需在過冷熔體中才能形核和生長，以引起固相分率變化并釋放凝固潛熱，溫降曲線上出現溫度過冷又回復的再輝過程；凝固過程中，也多次出現溫度的回復。對比3條曲線，由于設定左壁面冷卻條件，在鑄錠左壁面的冷卻最快，中心位置最慢。

圖8 Al-7%Si合金的濃度場Fig.8 Concentration contours of Al-7%Si alloy: (a) t=70 s; (b) t=140 s

圖9 Al-7%Si合金的凝固組織Fig.9 Solidification morphologies of Al-7%Si alloy: (a) t=70 s; (b) t=140 s

2.1.2 流場

合金凝固過程中的流體流動受熱、溶質浮力雙重驅動。本計算中，溫度和濃度參考點均取為初始值。而隨凝固進行，溫度不斷下降，液相濃度不斷富集，并且合金熱膨脹系數為正，溶質膨脹系數為負。這樣，動量方程中熱浮力及溶質浮力的方向均與重力方向相同，導致凝固前沿的合金液受向下的體積力的驅動。在左壁面冷卻條件下，于不斷縮小的液穴內形成逆時針的回旋流動(見圖5)。

2.1.3 熱焓和溫度場

由圖6和7可知，由于僅冷卻左壁面，在近左壁面區域，熱焓與溫度分布受熱流影響較大，呈現定向凝固平界面推進的特點；而在糊狀區及凝固界面前沿，受熱浮力和溶質浮力雙重驅動下流體流動的影響，在區域下部熱焓與溫度梯度較大，并且溫度變化滯后于熱焓變化。

2.1.4 濃度場

本研究中，合金凝固過程中的流體受熱浮力和溶質浮力雙重驅動，在液穴內形成逆時針回旋流動。凝固前沿液相中不斷富集的溶質受流動驅動，被流體帶到區域下方并向區域右端遷移，使得區域內溶質濃度在上部較低、下部較高并逐步向區域右下端末端凝固區域積聚；而在液穴芯部流動死區處溶質濃度較低。同時，在已凝固區域和糊狀區內，明顯可見晶內和晶間偏析(見圖8)。

2.1.5 凝固組織

枝晶的迎流生長特性在這里得到很好的詮釋。在左壁面冷卻條件下，凝固從左壁面開始，在凝固前沿的液穴內逆時針回旋流動的流場，導致凝固前沿的枝晶生長迎向流動方向，最終形成以區域左壁面為中心的弧形固相區域。由于冷速較大，區域內以等軸晶組織為主(見圖9)。

2.1.6 結果驗證

YIN和KOSTER[29]對Ga-5%In(質量分數)合金進行了凝固實驗，GUILLEMOT等[23]針對該實驗進行了數值預測。其模擬計算選定二維區域(48 mm×33 mm)，依據實驗測溫取定左壁面冷卻速率 T˙( =?2.362 K/h遠高于右壁面的 T˙(=?0.328 K/h)，其他壁面為絕熱條件。該冷卻條件與本研究的相近(僅左壁面冷卻、其他壁面絕熱)。另外，Ga-5%In合金與Al-7%Si合金同為枝晶相凝固過程，到達共晶點凝固結束。同時，二者的溶質膨脹系數同為負值(Ga-5%In合金的溶質膨脹系數 βs,In=?1.663×10?3[29]，Al-7%Si合金為 βs,Si=?4.0×10?2)，在凝固過程中，由溶質浮力驅動流動的方向均相同，并與熱浮力和重力同向。Ga-5%In合金的實驗結果[29]與模擬結果[23]均表明，合金液在靠近左壁面的區域先凝固，形成以區域左壁面為中心的弧形固相區域，溶質分布亦呈現晶間偏析分布，同時，在區域下部溶質濃度較高，并逐步向末端凝固區域積聚，偏析較為嚴重。本模擬結果均與之相符。

2.2 與僅模擬宏觀傳輸結果的比較

圖10所示為在相同冷卻條件下，僅進行宏觀傳輸計算(式(1)～(4))，依據杠桿定律獲得溫度和固相分率的更新(式(5)～(8))，而不計算微觀形核和生長過程的模擬結果。對比圖4可以看出，從僅宏觀計算的溫降曲線與宏觀和微觀耦合計算曲線，均可以看到潛熱釋放導致的溫降變緩、到達共晶點后等溫凝固的趨勢，但僅宏觀傳輸模型不能模擬出再輝現象，且凝固時間較短。

圖10 僅宏觀計算結果(鑄型尺寸30 mm×30 mm, t=120 s)Fig.10 Macro-calculated results by finite volume model of 30 mm×30 mm ingot (t=120 s): (a) Evolution of temperature with time; (b) Concentration contour; (c) Liquid fraction and flow field

通過宏觀傳輸計算，能夠模擬出受熱浮力和溶質浮力的向下驅動作用下，合金液在靠近左壁面凝固前沿的液穴內形成逆時針的回旋流動。受此影響，溶質被流體帶到區域下方并向區域右端遷移，形成溶質濃度由區域上部到下部逐漸升高的梯度分布，并逐步向區域右下方凝固末端積聚。然而，僅宏觀傳輸計算不能模擬出如圖8所示的晶粒間隙或枝晶臂內的微觀偏析，而這正是晶內和晶間偏聚及裂紋的成因。同時，由圖10(c)液相分率分布可以看出，受強冷速的影響，凝固前沿更多呈現定向凝固平面推進的趨勢。

2.3 流動對合金凝固過程的影響

采用宏觀和微觀耦合模型，對比有無流場條件下合金凝固過程模擬結果。不考慮流場影響的模型在初始全場靜止條件下，僅耦合溫度場和濃度場進行凝固模擬。

對比圖4～9和圖11可以看出，在不考慮流動的情況下，分別靠傳導和擴散進行溫度傳遞和溶質遷移。在本研究的左壁冷卻條件下，呈現定向凝固趨勢，溫度和溶質分布均呈現出與凝固前沿(平行左壁面方向)平行的梯度分布。溶質在左壁處濃度最低，右壁處最高。末端凝固區域在區域的正右方。而耦合流場的計算條件下，由于受熱浮力和溶質浮力作用，區域上、下部亦呈現溫度和溶質濃度差異，末端凝固區域在區域的右下方。

合金液流動還顯著改變了凝固組織形貌。不考慮流動模擬出的組織形貌呈定向凝固趨勢，以柱狀晶為主，沿熱流方向生長；而考慮流動的耦合模型預測出柱狀晶和等軸晶的競爭生長，并受流場影響，沿逆流方向生長較快。

2.4 鑄型尺寸的影響

采用與圖4～9中相同的冷卻條件，研究鑄型尺寸(30 mm×30 mm，10 mm×10 mm)對凝固過程的影響。

比較圖4～9與圖12～15可見，小鑄型尺寸下，區域內流動較弱，液相分率梯度較小(見圖12)。從濃度場分布(見圖13)清晰可見已凝固區域存在晶間偏析和界面前沿溶質隨逆時針流動向區域右下方遷移及上揚的趨勢，區域底部溶質形成積聚。凝固組織呈現明顯逆流生長趨勢(見圖14)，清晰可見柱狀晶向等軸晶的轉變。與圖9相比，柱狀晶區較大。凝固末端區域在計算區域的右下方。另外，截面溫差較小，凝固較快(見圖15)。

圖11 無流場計算結果(鑄型尺寸30 mm×30 mm, 冷卻速率h˙=?4 000 J/(kg·s), t=140 s)Fig.11 Calculated results without fluid flow (mold size 30 mm×30 mm, cooling rate h˙=?4 000 J/(kg·s), t=140 s):(a) Temperature contour ; (b) Concentration contour;(c) Solidification morphology

圖12 Al-7%Si合金的液相分率和流場Fig.12 Evolution of liquid fraction and flow field of Al-7%Si alloy: (a) t=70 s; (b) t=140 s

圖13 Al-7%Si合金的濃度場Fig.13 Concentration contours of Al-7%Si alloy: (a) t=70 s; (b) t=140 s

圖14 Al-7%Si合金的凝固組織形貌Fig.14 Solidification morphologies of Al-7%Si alloy: (a) t=70 s; (b) t=140 s

圖15 Al-7%Si合金的溫降曲線Fig.15 Evolution of temperature with time of Al-7%Si alloy

3 結論

1) 依據宏觀傳輸理論及合金微觀形核和生長理論，建立了模擬宏觀流動、傳熱、溶質傳輸與微觀形核、生長過程的雙向耦合模型，在二維平面上采用元胞自動機模型結合控制容積積分法對Al-7%Si合金凝固過程進行了數值模擬。

2) 宏觀和微觀耦合模型綜合考慮了流場下晶體的逆流生長、溫降導致的形核和生長以及形核和生長引起的固相分率變化對宏觀場的影響，能再現凝固過程中再輝和晶間偏析等現象。

3) 在左壁面冷卻條件下，Al-Si合金液在熱浮力和溶質浮力雙重驅動下作逆時針回旋流動，在區域內形成上部溶質濃度較低、下部溶質濃度較高并逐步向凝固末端區域積聚的分布。

4) 在左壁面冷卻條件下，考慮流動的耦合模型預測出柱狀晶和等軸晶的競爭生長，并形成沿逆流方向生長較快的弧形固相區。

5) 在較大鑄型尺寸條件下，流體有充分回旋流動空間，有利于均勻傳熱和傳質。較小鑄型尺寸溶質偏析嚴重，晶體迎流生長趨勢明顯。

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(編輯 陳衛萍)

Simulation of macrosegregation and solidification microstructure evolution for Al-Si alloy by coupled cellular automaton?finite volume model

ZHANG Hong-wei1, NAKAJIMA Keiji2, WANG En-gang1, HE Ji-cheng1
(1. Key Laboratory of Electromagnetic Processing of Materials, Ministry of Education,Northeastern University, Shenyang 110004, China;2. Division of Applied Process Metallurgy, Department of Materials Science and Engineering,Royal Institute of Technology (KTH), Stockholm SE-10044, Sweden)

TG27

A

1004-0609(2012)07-1883-14

國家自然科學基金重點項目(50834009)；高等學校學科創新引智計劃資助項目(B07015)；中央高校基本科研業務費資助項目(N100409004)；遼寧省自然基金資助項目(20072033)

2011-07-08；

2011-11-18

張紅偉，副教授，博士；電話：024-83684941；E-mail: hongweizhang@epm.neu.edu.cn