基于參考模型的珩磨機往復位置自適應控制

周耿烈 胡赤兵 陳杉杉 趙家黎

(蘭州理工大學機電工程學院，甘肅蘭州 730050)

1 珩磨機主軸往復自適應控制原理

珩磨機作為金屬加工生產中的重要設備，開始向重切削、粗加工方向擴展，這帶動了珩磨加工速度的提高，對控制系統提出了更高的要求［1－2］。珩磨機往復換向位置控制作為珩磨機控制的關鍵環節，直接影響到珩磨機的能力和質量［3］。傳統的珩磨機主軸往復換向大多采用一般的反饋控制，往復速度變化使換向速度慢，不能滿足目前的主軸往復運動高速度、高加速度及高換向精度的要求。而參考模型自適應控制(MRAC)是解決這一問題的有效手段，根據被控對象的實際輸出與參考模型的輸出之差的某個函數準則來修正控制器參數，力圖使被控對象的實際輸出與參考模型的輸出之間的廣義誤差向量e趨于零，使系統達到或接近所期望的動態行為［5－6］，從而實現主軸往復運動高速度、高加速度和高換向精度的驅動與控制。

2 高速數控珩磨機往復運動建模［7］

圖1為珩磨機往復運動位置控制系統結構圖，該系統由指令位置電位器、反饋位置電位器、電子放大器、電液伺服閥、液壓缸和珩磨頭組成。珩磨頭的位置按照指令位置電位器給定的規律變化，將滑臂的位置指令Xi轉換成指令電壓Ui，被控制的珩磨頭位置Xp由反饋電位器檢測轉換為電壓Up，從而得偏差電壓Ue=Ui－Up=K(Xi－Xp)，K=U/X0為電位器的增益，經放大器放大，把誤差信號加給伺服閥，調節閥芯的開口大小來控制液壓閥的往復運動速度，從而確定上下換向點的位置，使液壓缸的輸出位置信號與指令位置信號相一致，保證換向精度。

由此得出珩磨機的往復位置控制系統的工作方塊圖。圖2中執行器的輸出由反饋傳感器連續測量，并與指令輸入信號進行比較。兩者之差即誤差信號被放大器放大，產生的信號加給伺服閥，使執行器產生糾正動作。

(1)電液伺服閥

其作用是利用電氣信號控制液壓的輸出(壓力和流量)。一般視為一個振蕩環節，其數學模型為

其中:ωv為伺服閥固有頻率;ξv為伺服閥阻尼系數;ksv為伺服閥的靜態流量增益;Qv為伺服閥的額定流量;In為伺服閥的額定輸入電流。

(2)液壓缸及慣性負載珩磨頭

液壓缸可以視為一個積分加二階振蕩環節，其數學模型為

(3)反饋傳感器

其作用是把執行器輸出的位移信號轉換成可以與指令信號相比較的反饋信號。一般將反饋傳感器視為一個比例環節

式中:Uf為位移反饋信號;Kf為傳感器位移/電壓轉換系數;x為油缸的輸出位移。

(4)伺服放大器

伺服放大器由加法器和信號放大器組成。一般視為一個比例環節。其數學模型為

式中:I為放大器的輸出電流;Ka為伺服放大器增益;U為輸入的電壓信號。

由式(1)～(4)可以得到珩磨頭向下運動伺服閥控制液壓缸位置控制系統的方塊圖(如圖3)。從而得出珩磨頭往復位置控制系統開環傳遞函數為

閉環傳遞函數為:

根據制造廠家提供的電液伺服閥的參數可知:伺服閥固有頻率ωv=500 rad/s，伺服閥阻尼系數ξv=0.85，額定流量Qv=80 L/min，額定壓力Ps=6.3 MPa。由此可得伺服閥的靜態流量放大系數為:ksv=Qv/In=4 444(cm3/s)/A。對于本項目研究的液壓缸固有頻率ωh=544.7 rad/s，液壓缸阻尼系數 ξh=0.15，有效作用面積A=24.63 cm2，可得液壓缸增益kh=1/A=1/24.63=0.040 6/cm2。由于采用光柵尺作為位置反饋元件，反饋元件輸入到控制器的信號是脈沖信號，故在反饋傳感器的比例系數為:Kf=1 V/mm。根據勞斯－霍爾維茨穩定判別條件:2ξhωh=0.3ωh，Kv=KaksvkhKf，代入各值，有Kv=Ka×4 444×0.040 6×1=180.43Karad/s。Kv應小于2ξhωh即Kv＜0.3ωh，取:Kv=0.25ωh=136.2 rad/s有:Ka=0.755 A/V。

珩磨頭往復位置控制系統閉環傳遞函數為

代入各值得:

參考模型決定著整個自適應控制系統的性能，當參考模型參數與系統參數越接近，則系統輸出響應與參考模型的伴隨性就越好，系統輸出的超調量和調節時間等動態性能指標也與參考模型越接近。同時中和積分環節的調節作用，參考模型的固有頻率選的略大于系統的固有頻率，同時為了減小超調量應減小比例系數［8－10］。由于伺服放大器增益Ka對系統控制性能影響較大，因此分析不同Ka對系統的影響。圖4為分別取Ka=0.755 A/V，Ka=0.600 A/V，Ka=0.500 A/V，Ka=0.400 A/V時的單位階躍響應曲線。

由圖4可以看出當Ka=0.500 A/V時，控制系統沒有超調，并且響應快。當再減小Ka時，雖然沒有超調，但響應速度變慢。因此把Ka=0.500 A/V作為參考模型的放大器增益，從而得出參考模型閉環傳遞函數為

3 模型參考自適應控制模型

圖5為模型參考自適應控制系統框圖，當參考輸入u(t)同時加到系統和參考模型的入口時，系統的輸出響應yt(t)與模型的輸出響應ym(t)產生偏差信號e(t)，由e(t)驅動自適應機構，產生適當的調節作用，直接改變控制器的參數，從而使系統的輸出yt(t)逐步地與參考模型輸出ym(t)接近，直到yt(t)=ym(t)，e(t)=0為止，自適應參數調整過程也就自動終止。當對象特性在運行過程中發生了變化時，控制器參數的自適應調整過程與上述過程完全一樣，使被控過程的響應特性與參考模型的動態性能一致。

根據前面對往復系統的建模，其可調系統動態方程如式(10)，參考模型動態方程如式(11)。

由方程式(10)和(11)得該系統的廣義誤差方程為

式中:δi=ami－api，σ =bmi－bpi。

把式(12)寫成向量微分的形式

為用李雅普諾夫穩定性理論設計自適應規律，選如下形式的李雅普諾夫函數:

式中:P為對稱正定矩陣;Λ為對角正定矩陣。即

將式(12)形式的誤差方程改寫成向量微分方程的形式:

取V對時間的導數，則有

為使V為負定的，選Q為對稱正定矩陣，并使

同時，使式(15)中等式右邊的第2項恒為零，即得自適應規律為

從而可以得到可調系統中f0、f1、f2、f3、f4和kc的自適應規律為

為了便于計算取對角矩陣Λ和正定對稱矩陣分別為

利用Simulink對系統進行仿真，其結果如圖6。受到擾動時實際系統Ka的值可能發生變化，從而影響控制系統的性能。但采用模型參考自適應控制時可以根據系統的輸出響應yt(t)與模型的輸出響應ym(t)產生偏差信號e(t)，由e(t)驅動自適應機構，產生適當的調節作用，補償擾動的影響。圖6是分別取伺服放大器增益Ka=0.755 A/V和Ka=1 A/V時的階躍曲線。

從圖6中可以看出采用模型參考自適應控制能使系統和理想參考模型一致同時沒有超調，調整時間大約為0.050 s，可以滿足珩磨控制系統快速性的要求。同時在出現擾動使Ka發生變化時仍能和參考模型的輸出一致。

4 結語

(1)采用參考模型自適應控制能使被控過程的響應特性與參考模型的動態性能一致。

(2)在外界干擾的情況下，仍能和理想的參考模型一致，具有一定的抗干擾能力，并且調整速度快，可以滿足系統快速性的要求。

［1］吳建民.數控珩磨機關鍵技術研究［D］.甘肅:蘭州理工大學，2005.

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