基于shapley值法的供應(yīng)鏈?zhǔn)找婀蚕砥跫s研究

彭偉真

0 引言

供應(yīng)鏈?zhǔn)菄@著核心企業(yè),通過信息流、物流、資金流將供應(yīng)商、零售商及用戶連成一個整體的功能網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模式。傳統(tǒng)的供應(yīng)鏈決策過程屬于分散決策，每個企業(yè)都會根據(jù)所有可獲得的信息作出對自己最優(yōu)的決策，但是此時并不能達到帕累托最優(yōu)的水平。供應(yīng)鏈中的企業(yè)應(yīng)該相互合作，采取整體決策的方法使之達到最優(yōu)。本文將收益共享契約和基于shapley值法的收益分配機制結(jié)合起來，建立隨機需求下的三級供應(yīng)鏈模型。首先分析在收益共享契約機制的協(xié)調(diào)下，供應(yīng)鏈成員的最優(yōu)決策結(jié)果，并給出相關(guān)參數(shù)的取值范圍；然后通過shapely值法來確定供應(yīng)鏈成員的收益分配；再根據(jù)該利潤分配方式，計算得到收益共享契約的各項參數(shù)，從而為企業(yè)在實施收益共享契約時提供一定的參考。

1 模型假設(shè)

本文模型為一個三階段的單周期的供應(yīng)鏈模型，由一個制造商M、一個分銷商D和一個零售商R組成。在一個周期里，制造商先給出產(chǎn)品的出廠價格，分銷商根據(jù)產(chǎn)品的出廠價格制定產(chǎn)品的批發(fā)價格；零售商再根據(jù)產(chǎn)品的批發(fā)價格制定向分銷商訂購的產(chǎn)品數(shù)量，以及產(chǎn)品的零售價格。在該條供應(yīng)鏈上，制造商是主導(dǎo)者，零售商是追隨者，分銷商相對于制造商而言是追隨者，而相對于零售商而言是主導(dǎo)者。所有供應(yīng)鏈上的成員都是風(fēng)險中性和完全理性的，他們會根據(jù)所有可獲得的信息作出使得自身利潤最大化的決策。零售商的市場需求由產(chǎn)品的零售價格以及隨機因素決定。本文采用的是乘法形式的隨機需求模型：

其中，D(p)為市場需求函數(shù)，d(p)=ap-b（a＞0，b＞1），a為常數(shù)，p為產(chǎn)品的零售價格，b為價格的需求彈性，ε為均值為1的連續(xù)隨機變量，f(?)為其概率密度函數(shù)，F(xiàn)(?)為其分布函數(shù)。不考慮產(chǎn)品的超儲成本及欠儲成本。供應(yīng)鏈上的所有成員的信息是共有的。q為零售商R的訂購量，wD為產(chǎn)品的批發(fā)價格，wS為產(chǎn)品的出廠價格，cR為零售商的銷售成本，cD為分銷商的銷售成本，cM為產(chǎn)品的生產(chǎn)成本。

2 模型分析

2.1 分散決策下的決策分析

根據(jù)先前的假設(shè)，在分散決策的情況下，制造商、分銷商、零售商之間為三階段的Stackelberg博弈。首先零售商根據(jù)產(chǎn)品的批發(fā)價格，制定最優(yōu)訂購量和最優(yōu)零售價格。然后，分銷商根據(jù)產(chǎn)品的出廠價格和零售商訂購量，制定最優(yōu)的批發(fā)價格。最后，制造商根據(jù)產(chǎn)品的生產(chǎn)成本和分銷商的訂購量，制定最優(yōu)的產(chǎn)品出廠價格。為求得該情況下的各個成員的最優(yōu)決策，我們采用逆向博弈的方法。首先，零售商根據(jù)產(chǎn)品批發(fā)價格確定最優(yōu)訂購量和零售價格。

零售商的期望利潤為：

定義庫存因子z=q/d(p)，將其帶入（1）式，此時零售商的決策變量變?yōu)?q,z)：

將（2）式對z求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零：

命題 1 如果 h(ε)=xf(ε)/Fˉ(ε)關(guān)于 ε單調(diào)遞增，并且xFˉ(x)=0，那么最優(yōu)庫存因子z*由下式唯一確定：

具體證明見文獻[9]，對大多數(shù)的概率分布函數(shù)而言，命題1的條件都能夠滿足。因此，有命題1可知，z的取值與q無關(guān)。

將（2）式對q求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零：

再將（2）式對q求二階偏導(dǎo)數(shù)得:

因此，πDCR是q的嚴(yán)格凹函數(shù)，故q*是唯一確定的。將（4）式和（5）式帶入（2）式中可得零售商的最優(yōu)期望利潤為：

零售商給出的最優(yōu)訂購量后，分銷商根據(jù)其來優(yōu)化產(chǎn)品的批發(fā)價格，以期獲得最大的利潤，分銷商的利潤為：

將（5）式帶入到（7）式中得到：

將（8）式對wD求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零：

則分銷商制定的最優(yōu)批發(fā)價格為：

制造商再根據(jù)分銷商給出的訂貨批量和產(chǎn)品的生產(chǎn)價格，制定最優(yōu)的產(chǎn)品出廠價格。易知，分銷商的訂貨量與零售商的訂貨量相等。制造商的利潤為：

將（9）式帶入（10）式中，并對wM求一階偏導(dǎo)數(shù)后得到制造商制定的最優(yōu)批發(fā)價格：

2.2 集中決策下的決策分析

在分散決策的情況下，零售商、分銷商和制造商實現(xiàn)了自身利潤的最大化，但是并不一定能達到供應(yīng)鏈的整體的利潤的最大化。而在集中決策的情況下，通過一定機制的協(xié)調(diào)，可以使得零售商、分銷商和制造商確定最優(yōu)的訂貨量和產(chǎn)品零售價格。在此情況下，整個供應(yīng)鏈的利潤為：

集中決策下的最優(yōu)訂貨量為：

供應(yīng)鏈的最優(yōu)利潤為：

2.3 收益共享契約機制下的分散決策

設(shè)Φ1為零售商與分銷商之間的收益共享系數(shù)(0＜Φ1＜1)，Φ2為分銷商與制造商之間的收益共享系數(shù)(0＜Φ2＜1)。根據(jù)零售商、分銷商和制造商均為風(fēng)險中性的假設(shè)，零售商的期望利潤為：

分銷商的期望利潤為：

制造商的期望利潤為：

零售商的最優(yōu)訂貨量為：

分銷商的最優(yōu)訂貨量為：

當(dāng)收益共享機制能有效的協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈上的成員時，qRSL*=qRSR*，qRSL*=qRSD*，可得：

而由wD＞0，wM＞0可得：

在收益共享契約機制下，必須保證供應(yīng)鏈成員的利潤大于其在分散決策下的利潤，所以有：

2.4 基于shapley值的收益分配

在收益共享機制的協(xié)調(diào)下，雖然制造商、分銷商與零售商能夠共同制定最優(yōu)的產(chǎn)品零售價格和產(chǎn)品訂購量，從而使得供應(yīng)鏈達到帕累托最優(yōu)，但是，如果不能建立一個合理的利潤分配機制，供應(yīng)鏈上成員的合作關(guān)系很難長久的維系。通過上述的討論，我們得到了關(guān)于wD、wM、Φ1、Φ2需要滿足的等式條件：（18）與（19）式。可是，wD、wM、Φ1、Φ2的具體的取值依賴于制造商、分銷商與零售商的談判能力。為了使得收益共享契約能更好被供應(yīng)鏈上的各個成員接受，本文從理論上給出一種確定收益共享契約機制下的各項參數(shù)的方法。

由于制造商、分銷商與零售商可以看成三人合作的聯(lián)盟博弈的問題，我們可以采用合作博弈的方法來解決這個問題。解決合作博弈的問題的方法有很多，如核心、核仁、談判集、沙普利值法等。由于沙普利值法擁有必定存在，且是唯一的，又易于被用作量化計算的特點，是一個在博弈學(xué)、經(jīng)濟學(xué)和其他社會科學(xué)上最被廣泛使用的解法，因此本文采用此方法來對供應(yīng)鏈的利潤進行一個合理的分配。

設(shè)合作對策Γ=(N,v)，N={ }1,2,3（1,2,3分別表示制造商M、分銷商D和零售商R，Φ?N，v(Φ)為合作對策Γ的特征函數(shù)，即聯(lián)盟Φ從合作中獲得的收益。v(?)=0。該合作對策的沙普利值存在的條件是滿足超可加性，即：

v({ 1 } )、v({ 2 } )、v({ 3 } )分別為制造商M、分銷商D、零售商R不聯(lián)盟時（即分散決策下）的各自的收益；v({ 1 ,2} )為制造商M和分銷商D聯(lián)盟時獲得的總收益；v({ 2 ,3} )表示分銷商D和零售商R聯(lián)盟時的總收益；由于制造商M和零售商R不能單獨組成聯(lián)盟，v({ 1 ,3} )為制造商M和分銷商D在分散決策情況下的總收益；v({ 1 ,2,3} )為制造商M、分銷商D、零售商R在制造商M、分銷商D、零售商R構(gòu)成大聯(lián)盟時（即集中決策下）的總收益。分散決策和集中決策的情況已在前文討論，下面討論零售商與分銷商結(jié)盟和分銷商與制造商結(jié)盟時的決策分析。

2.4.1 零售商與分銷商結(jié)盟

在此情況下，制造商給出產(chǎn)品的出廠價格，而后零售商與分銷商通過集中決策的方式，確定最優(yōu)的訂貨量和產(chǎn)品零售價格。聯(lián)盟RD和制造商的利潤分別為：

仿照2.1中的推導(dǎo)可得，此時聯(lián)盟RD和制造商的最優(yōu)利潤為：

2.4.2 分銷商與制造商結(jié)盟

在此情況下，零售商給出產(chǎn)品的訂購量，制造商與分銷商通過集中決策的方式，確定最優(yōu)產(chǎn)品批發(fā)價格。零售商和聯(lián)盟DS的利潤分別為：

仿照（1）中的推導(dǎo)可得，可得聯(lián)盟RD和制造商的最優(yōu)利潤為：

根據(jù)上述討論的結(jié)果，得到聯(lián)盟Φ的特征值為：

命題2上述合作對策Γ=(N,v)，N={ }1,2,3 ，聯(lián)盟Φ的特征值滿足（30）式，該合作博弈滿足超可加性。

證明：

該合作博弈滿足超可加性時，v(S1?S2)≥v(S1)+v(S2)，下面僅給出v({ 1 ,2} )≥v({ 1 } )+v({ 2 } )成立的證明，余下證明過程與之類似。

設(shè)

將（31）式對b求一階導(dǎo)數(shù)后得到:

從（32）式 可 以 看 出 ， f′(b)的 符 號 取 決 于2+(1 -2b) ln的值。設(shè)

將（34）式對x求一階導(dǎo)數(shù)后得到:

由沙普利值的計算公式：

其中：

而 ||Φ則為聯(lián)盟Φ的成員數(shù)目，n為大聯(lián)盟N的成員數(shù)目。

我們可以計算出制造商、分銷商和零售商的沙普利值，也就是在實施收益共享契約的條件下，每個企業(yè)應(yīng)該分配得到的利潤，其中制造商M、分銷商D及零售商R在收益共享契約下的利潤為 πRSM=φ1，πRSD=φ2，πRSR=φ3，并將其帶入到（13）、（14）、（15）式中，再由（18）式、（19）式，我們可以解出wD、wM、Φ1、Φ2的確定值。

3 實證數(shù)值分析

本文以文獻中的算例為基礎(chǔ)進行數(shù)值分析。跟據(jù)對模型的假設(shè)，設(shè)隨機變量ε服從均勻分布ε～U( )0,2；價格的需求彈性b=2.5；產(chǎn)品的生產(chǎn)成本cM=1.2；分銷商的銷售成本cD=0.2；零售商的銷售成本cR=0.1；需求函數(shù)中常數(shù)a=20000（為了計算方便，對各個參數(shù)實施無單位處理）。通過計算，我們可以得到在各種情況下的每個企業(yè)的決策結(jié)果，如表1～4所示。

表1 不聯(lián)盟（分散決策）

表2 零售商與分銷商聯(lián)盟

表3 分銷商與制造商聯(lián)盟

表4 零售商、分銷商與制造商構(gòu)成大聯(lián)盟（集中決策）

從表1～4可以看出，在集中決策的情況下，產(chǎn)品的最優(yōu)零售價格低于分散決策情況下的最優(yōu)零售價格，產(chǎn)品的最優(yōu)訂購量高于分散決策下的最優(yōu)訂購量，同時供應(yīng)鏈的整體利潤相較于分散決策下的得到了明顯的提高。

根據(jù)（26）式計算零售商、分銷商以及制造商的shapley值，即每個企業(yè)在集中決策下應(yīng)分配得到的利潤。由此可以得到收益共享契約的各個參數(shù)之值，如表5所示。

表5 收益共享契約參數(shù)的取值

從表5可以看出，通過shapley值計算得到的收益共享契約的參數(shù)滿足（21）～（24）式，且每個企業(yè)的利潤都得到了改善。因此，借助shapley值法，我們可以唯一確定收益共享契約的參數(shù)值。見表6。

表6 需求價格彈性對收益分配及有關(guān)參數(shù)的影響

從表1和圖1可以看出:（1）隨著需求價格彈性的增加，零售商、分銷商和制造商的利潤是逐漸減少的，零售商利潤減少的速度最快，制造商利潤減少的速度最慢。（2）當(dāng)需求價格彈性增加到很大時，零售商、分銷商和制造商三者的利潤會趨于一致。

從表1和圖2、圖3可以看出，隨著需求價格彈性的增加，wD、wM、Φ1、Φ2逐漸下降。說明了隨著需求價格彈性的增加，分銷商對零售商進行的“補償”在增加，零售商所承擔(dān)的風(fēng)險在減少，分銷商承擔(dān)的風(fēng)險在增加；同時，制造商對分銷商進行的“補償”也在增加，分銷商所承擔(dān)的風(fēng)險在減少，制造商承擔(dān)的風(fēng)險在增加。此外，wD相對于wM，Φ1相對于Φ2對下降得更快，可能的原因是零售商相對于分銷商對需求價格彈性的變化更為敏感，因此，需要增加的“補償”也就越多。

圖1 需求價格彈性對收益分配的影響

圖2 需求價格彈性對收益共享契約系數(shù)的影響

圖3 需求價格彈性對收益共享契約系數(shù)的影響

4 結(jié)語

本文研究了在制造商、分銷商和零售商構(gòu)成的三級供應(yīng)鏈下，收益共享契約對供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)作用。考慮到在保證收益共享契約能夠協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈的情況下，其參數(shù)并不能被唯一確定，而是依賴于供應(yīng)鏈成員的地位以及談判能力，因此，如何每個成員能獲得公平合理的待遇成為了一個主要的問題。為了使得收益共享契約能更好被供應(yīng)鏈成員所接受，本文采用了shapley值法來對供應(yīng)鏈的總收益進行分配，從而確定有關(guān)的系數(shù)。在此基礎(chǔ)之上，通過數(shù)值分析驗證了該方法的可行性，并且探討了需求價格彈性對企業(yè)利潤以及收益共享契約參數(shù)的影響。

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