擺動電機的迭代預測及PID控制分析與比較

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（北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京 100191）

1 引言

擺動電機是近20年來迅速發展起來的一種特殊電動機，在給定的電壓下只能在有限轉角范圍內運動，同時具有直流電機、無刷電機、力矩電機的優點。在有限轉角范圍內，電機的機械特性和調節特性的線性度好，結構緊湊、效率高、壽命長，能在低速和長期堵轉下正常工作。擺動電機主要應用于小轉角的高精度控制系統中，如陀螺儀穩定平臺、紅外成像、瞄準具等，本課題應用于紅外掃描系統來驅動平面鏡。

傳統的伺服控制系統一般由位置環、轉速環、電流環等組成，PID控制器不能很好的兼顧動態響應和抗干擾能力的要求，其中積分環節易產生超調，微分環節容易引入噪聲，使系統震蕩或者失去穩定。而近年來提出的一些新的控制方法如神經網絡等，算法較復雜，不利于工程實現。

本文提出并分析一種基于迭代預測算法的位置控制器，特別適用于周期性掃描運動，大大提高了系統的動態特性和跟蹤性能。并且控制系統結構簡單，易于工程實現，提高了位置控制性能，是一種較為理想的伺服控制方案。

2 有限轉角電機模型

有限轉角電機采用直流電壓控制，磁場由永磁體建立，加電壓后定子繞組通過電流產生磁場，與永磁體激磁建立磁場聯合勵磁使原磁場產生畸變，外磁路磁阻最小位置發生改變［1］。本系統驅動電路部分采用電流控制型，等效為一個一階延遲環節，在這里只關心電機在有限轉角范圍內的情況，其驅動特性遵循如下方程：

式中：J為轉動慣量；ω為機械轉速（角速度）；Tem為電磁轉矩；TL為負載轉矩；I為電樞電流。

式（1）～式（4）做拉普拉斯變換，用Simulink建立電機模型如圖1所示［2］。

圖1 有限轉角電機模型Fig.1 The model of limited angle motor

3 狀態反饋位置控制器

由式（1）～式（4）得到狀態方程為

狀態方程寫為矩陣形式：

把負載轉矩看作擾動，可證明系統可控，觀測器輸出轉子位置可以證明系統可觀，輸出轉子轉速也可以證明系統可觀，原控制對象的極點分別為s1＝－1.02e4，s2，3＝－102±231i，為了獲得良好的快速性以及平穩性，將全狀態反饋之后的閉環極點設在s1＝－1.19e4，s2，3＝－1.98e3±1.54e3i。

設狀態反饋控制規律為

按需求設置極點，通過對比特征多項式系數得出：

認為負載轉矩變化較慢，導數dTL／dt＝0，以轉子轉速，位置，電樞電流，負載轉矩為狀態變量寫出狀態方程為［3］

在系統中θ直接由位置傳感器給出，故可以降維處理觀測器得：

狀態觀測器方程為

其中以h＝［h1h2h3］T為配置極點，決定狀態向量估計誤差衰減的速度，將狀態觀測器極點設置在相比于狀態反饋系統極點距離虛軸更遠一些的位置，使得觀測器響應速度比狀態反饋系統響應速度更快。極點設置在s1＝－1.2e4，s2，3＝－2e3±1.6e3i，通過特征多項式系數解出：

這時系統狀態方程寫為

假設在轉矩觀測器收斂后，觀測轉矩等于實際的負載轉矩，為了消除負載轉矩的影響，讓上式中后兩項與轉矩有關的量之和為0，可以選擇：

于是得到Kv的值，在負載轉矩觀測準確時，前饋項可以消除負載變化帶給系統的影響，當負載觀測存在誤差時，誤差部分可由比例調節器來補償［4］。

4 引入迭代預測算法的控制器

本文要解決的是跟蹤問題，控制任務是尋找控制u（t）使得輸出y（t）在有限的時間區間［0，T］上沿整個期望軌跡實現零誤差跟蹤，即e（t）＝0，t∈［0，T］，稱其為有限時間區間上的完全跟蹤問題［5］。

對于重復運行性質的工業過程，具有重復性或者周期性的被控對象，迭代預測算法利用先前的控制經驗和測量得到的跟蹤誤差信號，通過學習率對下一次的控制量進行前饋修正，從而找到一個理想的控制輸入，改善控制系統的瞬態性能，實現控制系統的穩態補償，抑制系統的確定性干擾。基本做法是在反饋控制環的基礎上，增加一個迭代預測控制環。迭代預測控制和反饋控制相結合的方式有兩種，串聯和并聯。串聯接法中反饋控制器的參考點不斷的改變，當該被控系統的模型已知但不精確時，這種接法比較有效。而并聯接法中迭代預測控制信號和反饋信號相互疊加到被控對象，又可以分開獨立作用于被控對象，且反饋控制對迭代預測控制的收斂性影響不大。另外，迭代預測不依賴于被控系統的詳細模型，對于解決非線性問題具有良好的適應性［6］。圖2為并聯接法迭代學習控制框圖。

圖2 并聯接法迭代學習控制框圖Fig.2 The parallel connection of iterative predictive control algorithm

迭代算法的基本形式為uk＋1＝uk＋hek。為了減小控制量的劇烈變化，使得系統輸出θ到給定值θref，描述t＋d時刻系統輸出和期望軌跡之間的接近程度，設性能指標為

式中，h是迭代矯正系數，h＞0 ，ek（t＋d｜t）＝∑αiek－1（t＋i）＋ek（t）代表未來時刻的未知項，等于前一周期的預測偏差加權濾波項與當前周期偏差的和，起到在迭代學習的基礎上預測控制的作用，本質上是使系統提前動作，提高系統跟隨性能［5］。

若對于任意的k，ek＋1滿足不等式

那么ek＋1將會收斂于一個平衡點，即為迭代學習算法的收斂條件。

根據迭代收斂定理：受控系統和迭代學習算法分別為

若ρ＝‖I－CBh‖＜1

則有

收斂的充分條件為迭代初始值在每次迭代開始時相同，這個條件可以在編寫程序時，設置每周期開始時的初始值，從而得到滿足。然后就是選擇合適的h值使得迭代收斂，具體到本系統采用的迭代公式，由約束條件

可得：

可知h1＝2h，設計得h＝22.5，以及約束條件來設計αi，以達到比較理想的效果。

5 系統仿真結果

在仿真軟件Matlab／Simulink平臺上進行仿真實驗，按照基于狀態反饋復合迭代預測控制方法搭建控制部分仿真模型見圖3，ILPC為迭代預測控制器，用M函數編程實現。

參考曲線按照項目要求的斜率以及數值設置，周期T＝0.02，正反向掃描比例17∶3，采樣時間Ts＝64e－6s，仿真算法選擇可變步長，ode45。控制對象部分按照連續模型搭建，控制器部分仿照DSP程序過程按照離散模型搭建。傳感器以及DA部分按照理想化搭建，等效為恒定系數［7］。所采用的電機參數為：電機轉子轉動慣量J1＝4.55e－7kg·m2；Kem＝0.034 26；N＝0.029 1；M＝9.282e－5V／rad／min；T＝9.8e－5，k＝2.51。

圖3 控制系統模型圖Fig.3 The model of control system

圖4a為傳統PID加前饋控制器的仿真結果，可以看出，對于給定軌跡的跟蹤效果，電機轉子在正向掃描開始處出現小幅的震蕩，而且通過調節PID參數無法消除，這對于掃描線性度以及之后的紅外成像部分都有較大的影響，這是本系統在精確度要求上所不能容許的，因此傳統PID復合前饋控制不能滿足系統要求。

圖4 PID控制與迭代預測的波形對比Fig.4 The waveforms of PID and iterative predictive control

圖4b中，與傳統控制器相比，基于狀態反饋以及狀態觀測器的控制器，正向掃描過程跟隨性已經良好，但是，與之前控制策略相同的問題也呈現出來，反向快速回掃階段接收后，正向掃描過程開始時（即軌跡轉折點附近），跟隨性能極差，滯后嚴重，對掃描線性度破壞嚴重。這個問題是通過調整控制器參數所無法完全解決的。圖4c引入前饋補償的思路，用迭代預測控制器來補償系統在這一段的性能，可以看到，這時系統在轉折點附近的跟隨性上升很大，大大提高了掃描線性度區間，達到系統精確度要求。

圖5是狀態反饋位置控制器加入迭代預測算法前后的仿真對比，可以清楚地看到跟蹤軌跡的迭代過程，電機轉角在4～5個周期之后達到對預定軌跡的完全跟蹤。

圖5 迭代過程仿真波形Fig.5 The waveforms of iterative process

6 實驗結果

將控制算法寫入DSP中，然后在掃描系統中進行實驗并通過測量位置傳感器電壓得到電機轉子的角度，波形記錄見圖6，波形1即為位置傳感器電壓，可見電機轉子轉過的角度與預定軌跡相符合，且精度較高，電機轉子做周期性掃描運動，正向掃描以及反向快速回擺過程都比較穩定，波動極小，達到了系統要求。波形2是實測電機電壓，從波形可知電壓與電機工作過程相符合。由此可知，控制系統在實物實驗中能夠正常工作，且具有較高精度。

圖6 位置傳感器及電機電壓實驗波形Fig.6 The Experiment waveforms of position sensor and motor voltage

7 結論

基于迭代預測算法的位置控制器，控制結構簡單，通過仿真及實物實驗，可以看到控制器在經過幾個周期的迭代過程之后，使得電機轉子實現對給定軌跡的零相位跟蹤，相比于傳統的PID控制器，解決了正向掃描開始處的小幅震蕩問題，提高了位置控制精度，且控制器具有更好的抗系統擾動能力，對系統穩定性影響較小，非常適合于掃描伺服系統。

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