格拉斯磁環勻強磁場分析

楊立志 周穗華 張曉兵

(海軍工程大學兵器工程系，武漢 430033)

0 引言

勻強磁場在工程應用中有重要作用[1]。當需要的勻強磁場要求不太高時，常用亥姆霍茲線圈來產生，其產生的磁場在軸線 0.3倍線圈半徑范圍內有大于 5%的誤差。本文系統分析了格拉斯磁環產生磁場的整體均勻性，與亥姆霍茲線圈相比格拉斯磁環均勻性更好，均勻區域更大，更加適用于科研工程應用。

1 單線圈的磁場

亥姆霍茲線圈和格拉斯磁環有一個共同點。它們的磁場是由多個線圈產生的磁場疊加形成的。所以要對它們的產生的磁場進行分析，首先分析單線圈產生的磁場。如圖1所示，半徑為R，載有電流I的單線圈產生的磁場具有關于X軸的旋轉對稱性，不妨把P點選在XOY面。

圖1 單個圓線圈

由圖可知，

則：

由畢奧--薩伐爾定律[2]得：

因為，

故恒有BZ=0。這表示磁感應強度不存在垂直于半徑方向的螺旋分量，再引入量[3]：

2 亥姆霍茲線圈磁場

當線圈的間距等于它們的半徑R時， 中心點O 附近沿軸向分布的磁場最為均勻， 這樣放置的兩線圈就稱為亥姆霍茲線圈[4]，如圖2所示。

由上述討論可知，在新坐標系下，

則亥姆霍茲線圈內任意一點軸向磁場為，

取亥姆霍茲線圈中心點處磁場Bx0為基準，線圈中磁場與中心點處磁場相對誤差為，

借助 MATLAB繪出線圈相對誤差曲線，可以很直觀的看到線圈產生磁場的均勻性，如圖 3所示。

圖2 亥姆霍茲線圈

圖3 亥姆霍茲線圈軸向磁場均勻分布曲線圖

3 格拉斯磁環磁場

圖4 格拉斯磁環

格拉斯磁環由四組共軸且半徑相同的線圈組成，如圖4所示，線圈半徑R=125 cm，最外側兩線圈距離為2R，最內側兩線圈距離為0.512R。最外側兩線圈的匝數分別為116匝，最內側兩線圈的匝數分別為58匝， 由于四個線圈是串聯，最外側兩線圈的電流I1是最內側兩線圈電流I2的兩倍。

將坐標軸平移到格拉斯磁環的對稱中心，設最內側兩線圈的距離為 2R1，最外側兩線圈的距離為 2R2。在新的坐標系下，原點附近點的坐標（x，y）與（ζ，μ）的關系如下，

則格拉斯磁環內任意一點沿軸向的磁場為，

設串聯回路中電流為1 mA，則I1=116 mA，I2=58 mA，將各個參數代入，利用Matlab仿真得到格拉斯磁環中心區域的軸向磁場隨坐標x，y變化，如圖5、6所示。

圖5 格拉斯磁環軸向磁場空間分布1

由公式（6），并借助 MATLAB可以繪出磁環相對誤差曲線，如圖7所示。比較圖3和圖7，可以看出磁環產生磁場相對誤差為 1%的區域要比亥姆霍茲線圈產生磁場相對誤差 5%的區域要大一點；磁環產生磁場均勻區域的軸向長度要大于亥姆霍茲線圈的。

圖6 格拉斯磁環軸向磁場等值線

圖7 格拉斯磁環軸向磁場均勻分布曲線圖

圖8 固定x值，軸向磁場與y坐標的關系

固定x值時，軸向磁場隨y坐標的變化，如圖8所示。對于固定的x值，軸向磁場隨y坐標增大，先后大致經歷增大、維持不變、減小的過程，在坐標y絕對值小于500 mm的范圍內有一個磁場均勻性較好的區域，而且在一定范圍內x的變化對磁場影響不是很大。

固定y值時，軸向磁場隨x坐標的變化，如圖9所示。對于固定的y值，軸向磁場隨坐標x的增大，先后經歷增大、維持不變、減小的過程。格拉斯磁環中部磁場要比兩端磁場均勻性好，且磁場強度大，在試驗和工程應用中要充分利用其中部較大范圍的勻強磁場，避開兩端磁感應強度相對誤差較大的區域。

圖9 固定y值，軸向磁場與x坐標的關系

4 結論

本文給出了格拉斯磁環軸向磁感應強度空間分布的解析表達式，定量分析了軸向磁感應強度及其分布，并通過數值計算分析比較了它與亥姆霍茲線圈產生磁場的均勻性。分析結果表明，磁環磁場在均勻性和勻強磁場的范圍明顯優于亥姆霍茲線圈的磁場。在一些實際應用中，若在一個方向上空間范圍有限而又要求空間磁場較大、磁場均勻性范圍較寬，那么采用格拉斯磁環來產生所需磁場是比較適宜的。

[1]吳百詩. 大學物理(上冊)[M]. 北京: 科學出版社,2001.

[2]趙凱華. 電磁學[M]. 北京：人民教育出版社, 1981,39～70.

[3]曾曉英. 亥姆霍茲線圈磁場的均勻性分析及誤差估算[J]. 物理實驗, 2000, 20(5): 38～39.

[4]曾曉英, 歐陽芳平, 張華. 四線圈磁場及其分析. 衡陽師范學院學報, 2000, 21(3): 88～92.