變荷載下結構性土一維固結近似解

安 然，謝康和，鄧岳保，王 坤

（浙江大學 巖土工程研究所，杭州 310058）

1 引 言

受沉積歷史和土的膠結等作用的影響，天然軟土大都具有結構性，結構性對土的工程特性有顯著影響。已有研究表明：當土體有效應力大于土體的結構屈服應力時，土體結構發生破壞，土體壓縮性明顯增大[1－3]、滲透性顯著降低[4－6]。因此，土體的結構性會對土體固結產生重要影響，在地基固結中考慮土體的結構性是非常必要的。

王軍等[7－8]采用以結構屈服應力為分段點的分段模型，假設結構破壞前、后滲透系數和固結系數均為常數，得到了結構性軟土地基的一維固結近似解，但沒有考慮土體的非線性特性，也不便于推廣到雙面透水邊界、變荷載和雙層及多層地基情形。唐穎棟等[9]運用成層地基一維固結思想，得到了考慮了土體的自重應力和非線性壓縮及滲透特性的結構性軟土地基的一維固結半解析解。曹宇春等[10]考慮了固結過程中結構性土體的非線性壓縮特性、滲透系數的變化及施工荷載隨時間任意變化，推導了天然結構性土體的一維非線性固結方程，利用Crank-Nicolson差分格式進行了求解。

大量試驗研究表明，結構性土的滲透系數和體積壓縮系數數隨有效應力的變化更符合 e-lgσ′和e-lgkv，后者可采用雙折線或三折線表示[11]，此種描述較符合實際但不易得到解析解。王軍等[7－8]采用分段模型描述滲透系數和固結系數的變化規律，而反映土體性質的是滲透系數和體積壓縮系數。本文采用簡化的k-σ′和mv-σ′分段模型，把結構性土一維固結問題轉化為上、下層土體厚度隨著結構破壞面位置的變化而逐漸變化的的雙層地基一維固結問題，得到了變荷載下結構性軟土地基的一維固結近似解，通過與差分解的對比得出本文方法的可行性，并分析了結構破壞后k和mv的變化分別對結構性土固結特性的影響。

2 問題的描述

設結構性土層厚度為H，排水條件為頂部排水、底部不排水，不計土體自重。地面作用有均布連續遞增荷載，起始值為 q0，荷載終值為 qu(qu＞σ′p，σ′p為土體結構屈服應力)，如圖1所示（圖中t ′=t-t0）。在固結過程中，當所加荷載小于土體結構屈服應力時，土體中未發生結構破壞，土體的滲透系數和體積壓縮系數與原狀土相同。當所加荷載大于土體結構屈服應力時，上層土體先發生結構破壞，其滲透系數和體積壓縮系數均發生變化，而下層土體的滲透系數與原狀土相同。隨著固結地進行，發生結構破壞的土層逐漸增厚，整個軟土層最終將完全發生結構破壞（設此時的時間為t1）。因此，結構性土的一維固結問題可視為上層土不斷增厚，而下層土厚度逐漸減小的雙層地基一維固結問題，上、下土層的交界面稱為移動邊界，如圖2所示。

圖1 荷載與時間關系曲線Fig.1 Curve of load and time

已有試驗表明，結構性土的壓縮曲線為陡降型，當應力超過σ′p時壓縮性急劇減小[3]；同時應力超過σ′p后滲透系數急劇降低，并趨于某一常數。為得到近似解，本文假設土體結構破壞前、后滲透系數和體積壓縮系數均為常數，采用分段模型描述結構性土滲透系數和體積壓縮系數隨有效應力的變化關系，如圖3所示。原狀土的滲透系數和體積壓縮系數為k1和mv1，土體破壞后滲透系數和體積壓縮系數為k2和mv2。

圖2 結構性軟土地基一維固結計算簡圖Fig.2 Schematic diagram of one-dimensional consolidation of structured soil

圖3 滲透系數和體積壓縮系數的簡化模型Fig.3 Simplified model for permeability and volume compressibility coefficients of structured soil

當0＜t≤t0時，土體結構未發生破壞，此時為變荷載下初始孔壓均布的單層地基一維固結問題，可由現有變荷載下一維固結解獲得t0時的孔壓σ(z)。

當 t0＜t≤t1時，假設對任意 t時刻，結構破壞面（即移動邊界）位置為Ht，此時單層結構性土轉化為雙層地基土。

與太沙基一維固結理論采用相同的假定，并采用t′（t′=t-t0）坐標代替時間坐標，則任意層土體的固結微分方程為

當t＞t1時，Ht=H，土體結構全部破壞，雙層地基又轉化為初始孔壓非均布的單層地基。

3 問題的解答

3.1 一般解答

3.1.1 孔壓計算

0＜t≤t0時，由變荷載下一維固結理論，得t時刻土體孔壓為

當t0＜t≤t1時，由上述分析知，對于任意一個固定的時刻 t，Ht是確定的。上述所求即變為變荷載下初始孔壓非均布的雙層地基線性固結問題。

定義無量綱參數： a=k1/k2， b=mv1/mv2， ρ1=據文獻[12]可得：

當z =Ht時，有 σ′=q(t)-u1=σp′，即：

式（10）即為Ht與t的對應關系，其中的λm、ρ1、βm、Bm及Cm均與Ht有關。已知任意時刻t，可采用迭代法求得相對應的移動邊界所處的深度Ht(0≤Ht≤H)；同理，已知移動邊界所處深度Ht，亦可求得相對應的時間t。已知Ht和t，即可求得對應時刻t的孔壓及固結度。

當t＞t1時，雙層地基轉化為初始孔壓非均布的單層地基，則相應的土體孔壓為

3.1.2 固結度計算

按孔壓定義的平均固結度可寫為：

式中：

另外，t時刻土層頂部沉降為：

則按沉降定義的平均固結度為

3.2 特殊加載下的解答

下面給出兩種特殊加載下t0＜t≤t1時刻的解答。

3.2.1 瞬時加載下，式(9)和(11)可轉化為

相應的固結度：

3.2.2 單級等速加荷

荷載函數為

當t≤tc時，式（9）和（11）可轉化為

相應的固結度為

當t＞tc時，式（9）和（11）可轉化為

相應的固結度為

4 實例驗證與分析

4.1 實例驗證

為驗證近似解的合理性，考慮了瞬時加荷下近似解與差分解的對比。差分方程基于Crank-Nicolson差分格式，土層的空間和時間節點分別為 i、j(i=1,2,…,n；j=0,1,2,…)，空間步長為Δz，時間步長為Δt。假設土層破壞面處節點i=m。

非m點處差分方程可離散為

式中： β1= Cv1Δt/ Δ z2； β2= Cv2Δt / Δ z2。

m點層間連續條件為

式中： α= k2/(k1+k2)。

算例中取R=0.2，a=1.5，b=0.75，H=10 m。表1為近似解求得的不同時間因子Tv下的的Ht/H值，圖4為近似解與差分解的孔壓對比，圖5為按孔壓定義的平均固結度Up的對比。

由對比可知，近似解的孔壓值在固結中期稍大于差分解，本文中結構破壞至土層底部的 Tv為0.184 8，由圖5可知，差異最大處即為該時刻附近（Up差值在4%以內）。而在固結初期和固結末期與差分解比較吻合。近似解推導簡單，便于應用，經分析認為，本文方法可以用于結構性土的固結計算。

表1 不同時間因子Tv下的Ht /H值Table 1 Values of Ht /H with different time factors of Tv

圖4 近似解與差分解孔壓的對比Fig.4 Comparison of excess pore pressure between the results by approximate solution and FDM

圖5 近似解與差分解Up的對比Fig.5 Comparison of degree of consolidation between the results by approximate solution and FDM

4.2 線性加載下結構性土固結分析

現考慮q0=0時線性加載下的結構性土固結。為了分析結構破壞后，mv和k的變化分別對結構性土固結的影響，給出3個算例進行計算，土層計算參數見表2。土層厚度H均取10 m，R取0.2，Tvc=0.1。

表2 3種算例下的固結計算參數Table 2 Parameters of consolidation for three examples

圖6、7分別為3種算例下的Up和Us對比曲線。可知結構破壞后，在Cv減小程度相同的情況下，因滲透系數k是影響Up的關鍵因素，k減小得越多會導致Up減小程度增加；而mv增加會導致總體沉降增加，所以mv增加得越多會導致Us減小程度的增加。當Cv的減小全部由k的減小引起時Up最小，當Cv的減小全部由mv的增加引起時Us最小。

圖6 3種算例下的Up對比曲線Fig.6 Curves of average consolidation rate in terms of deformation for three examples

圖7 3種算例下的Us對比曲線Fig.7 Curves of average consolidation rate in terms of stress for three examples

圖8反映了不同算例下的 Up、Us對比，因mv2＞mv1，且結構破壞是自上而下進行的，只有當全部土體結構破壞后，整個土層的壓縮性才達到最強，所以有Up＞Us，且隨著mv的增加大于k的減小，二者的差距加大，當Cv的減小全部由mv的增加引起時，二者差距最大。

圖8 算例2和算例3下的Up、Us對比曲線Fig.8 Curves of average consolidation rate in terms of stress and that in terms of deformation for example 2 and 3

5 結 論

（1）采用簡化的 k-σ′和 mv-σ′模型，通過把結構性土一維固結問題轉化為上層土體厚度逐漸增加和下層土體不斷減小的雙層地基一維固結問題，獲到了變荷載下結構性軟土地基一維固結近似解。與差分解對比得出，近似解孔壓值在固結初期和固結末期逼近差分解，在固結中期略大于差分解。

（2）k的減小和mv的增加都會導致Up和Us減小。但在Cv減小程度相同的情況下，k2不斷減小時伴隨有 Up減小程度增加；而 mv2不斷增加會導致Us減小程度的增加。對單層結構性土，Up＞Us，且隨著mv2的增加和k2的減小，二者差距加大。

（3）較以往差分解，本文方法計算簡便，并可推廣到雙層或多層結構性土地基的求解。

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