考慮軟土結構性損傷的柱形孔擴張理論分析

雷華陽 ，丁小冬，張萬春

(1. 天津大學 土木工程系，天津 300072；2. 天津大學 濱海土木工程結構與安全教育部重點實驗室，天津 300072)

1 引 言

管樁在我國的應用越來越廣泛，其在承載力、抗彎、抗拔性能方面有顯著的優越性。然而管樁施工會引起明顯的擠土效應，樁周土體被壓密，改變了樁周土體的位移和應力狀態[1]，會影響建筑物、地下管線等的正常使用。

隨著工程實踐的發展，學者們對管樁擠土效應的理論研究也越來越深入。柱形孔擴張理論是分析沉樁對周圍土體影響的一種重要方法，Buuterfield等[2]率先將一維平面應變下的柱形孔擴張理論引入沉樁擠土效應的問題中。Vesic[3]進行了彈塑性假定，得到了柱形孔擴張問題的基本解答。由于軟土的壓縮曲線存在顯著的應變軟化階段，因而在推導柱形孔擴張理論時有必要考慮軟土的結構性損傷。蔣明鏡等[4]（1995）在考慮應變軟化的基礎上提出了應力一次跌落應變軟化模型，得到了不同軟化程度對柱形孔擴張時應力場、位移場及塑性區開展規律的影響。姜珂[5]、方萬軍[6]、孫渝剛[7]采用三折線軟化模型，推導了柱形孔擴張問題的理論解答，同時分析了不同因素的影響。

前人對于結構性損傷的考慮集中在應力一次跌落應變軟化模型和三折線應變軟化模型，本文擬在考慮軟土結構性損傷的前提下，采用簡化的四折線應變軟化模型，通過Mohr-Coulomb屈服準則和相關聯流動法則，推導出改進的柱形孔擴張理論計算分析方法，并與前人的研究成果進行對比。

2 應變軟化四折線模型

對于柱形孔擴張理論，考慮軟土的結構性損傷時，依據結構性軟土應變軟化的典型應力-應變關系曲線，可通過四折線模型將其分為四個階段：即彈性階段OA，此時土體的應力小于峰值應力，應力-應變基本呈線性關系；第1塑性破壞階段AB，土體的應力達到峰值應力后出現屈服臺階，應力保持不變，應變繼續增大；軟化階段 BD，應變增大到一定程度后，應力開始減小，呈應變軟化現象；第 2塑性破壞階段 DE，應力減小到殘余應力，達到完全塑性狀態，如圖1所示。與三折線模型相比，四折線模型多了一個塑性破壞階段，其應力-應變關系與實際的應力-應變關系更為接近。

圖1 應變軟化四折線模型的確定Fig.1 Determination of four-fold line strain softening model

應變軟化四折線模型各直線段及其相應參數可通過如下方法獲得：對壓縮試驗曲線的上升段，過原點 O作切線交峰值應力強度處的水平切線于 A點；作曲線下降段拐點C的切線，交峰值強度處的水平切線于點B，交殘余強度處點E的延長線于點D，連接上述各點即可得到簡化四折線應變軟化關系曲線。

假設A點的應變為ε1，B點的應變為ε2，D點的應變為ε3，同時令

式中：γ為軟化區初始階段應變與第一塑性破壞區結束階段應變的比值，δ為第二塑性破壞區初始階段與軟化區結束階段應變的比值。

柱形孔擴張理論中，隨著內壓力的逐漸增大，孔外介質分為4個區域：彈性區、第1塑性破壞區、軟化區和第2塑性破壞區，如圖2所示。

圖2 采用四折線應變軟化模型時樁周土體的分區Fig.2 Regions around pile using four-fold line strain softening model

變軟化四折線模型的基本假定為：（1）土體為均質、各向同性的無限介質；（2）土體具有均布的內壓力p0；（3）土體材料屈服服從修正后的相應屈服準則。

采用Mohr-Coulomb屈服準則，當土體開始產生損傷，進入第1塑性破壞狀態時，采用第2屈服函數：

式中：c，φ為土體的初始黏聚力和內摩擦角。

土體進入線性軟化階段時，采用第2屈服函數：

式中：w為軟化系數。

土體進入第2塑性破壞階段時，采用第3屈服函數：

式中：k1、k2為損傷參數，分別為

式中：cr、φr分別為土體的殘余黏聚力和殘余內摩擦角。

軟化階段和破壞階段采用非相關聯流動法則來考慮土體的剪脹性，分別滿足如下公式：

第1塑性破壞階段：

軟化階段：

第2塑性破壞階段：

3 柱形孔擴張問題的理論推導

柱形孔擴張問題屬于平面應變軸對稱問題，可以采用極坐標進行解答，公式推導如下： 平衡微分方程為

幾何方程為

物理方程為

相容方程為：

3.1 彈性區解答

根據彈性力學知識，由式（11）～（14），結合柱形孔內表面邊界條件 (σρ)ρ=R0= p 可得應力和位移的表達式為

在彈性區De內，考慮土體內初始應力為p0，式（15）可近似化為

由式（16）可近似得到考慮初始應力p0的彈性區位移解為

將式（18）代入式（12）可得：

在彈性區和第1塑性破壞區的分界面處，滿足第1屈服函數，則可得到分界面處應力和應變分別為

3.2 第1塑性破壞區解答

在第1塑性破壞區內，由式（3）和式（11）可得：

上式為一階線性非齊次微分方程，由邊界條件式（20）可得：

將式（23）代入式（3）可得：

第1塑性破壞區的應變可以表示為

由式（7）、式（12）、式（21）和式（25）可得：

將式（27）代入式（12）可得到應變解為

3.3 軟化區解答

在軟化區內，由塑性增量本構理論可知：

由式（8）、式（12）、式（28）和式（30）可得：

將式（32）代入式（12）得：

將式（28）、式（33）代入式（30）可得：

由式（4）、式（11）和式（34）可得：

結合第1塑性區應力的邊界條件可得：

將式（36）代入式（4）可得：

3.4 第2塑性破壞區解答

與軟化區的推導過程類似，可得到第2塑性破壞區的位移、應變和應力的計算公式如下：

其中

4 極限擴張半徑與極限擴張壓力值

采用四折線模型時，柱形孔擴張后體積應滿足如下的關系：

式中：ΔV為擴孔體積變化值；ΔVe為彈性區體積變化值；ΔVd1為第1塑性破壞區體積變化值；ΔVp為軟化區體積變化值；ΔVd2為第2塑性破壞區體積變化值。

則可得：

由彈塑性力學知識可知，空間問題的體應變為

由于柱形孔擴張理論研究的是平面應變問題，則 εz=0，上式可變為

第1塑性破壞區的體積變化值為

由式（28）、（46）和式（47）可知

與第1塑性破壞區相似，可得到軟化區和第2塑性破壞區的體積變化值分別為

其中

由式（29）、式（38）和式（51）可以求得極限第1塑性破壞區半徑Rd1、軟化區半徑Rp與極限第2塑性破壞區半徑Rd2。

由于在軟化區與第2塑性破壞區分界面 ρ=Rp處的應力連續，由式（36）和式（41）可得：

由上式可以得到土體的極限擴張壓力值為

5 對比分析

為了與不考慮軟土結構性損傷的理想彈塑性模型[2]、考慮軟土結構性損傷的應力一次跌落應變軟化模型[4]及其三折線應變軟化模型[8－10]進行對比，依據天津某軟土場地 PHC管樁基礎工程進行現場測斜監測，測斜點距樁中心的距離為2、4、8 m，監測的深度為 27 m，地下水位埋深為-2.8 m，對10 m深度處土體通過固結不排水三軸試驗得到相關參數，用上述四種方法進行塑性半徑、軟化半徑、極限擴張壓力及理論水平位移的計算，并與實測位移進行比較，相關土層的物理力學性質見表 1，不同模型的參數見表2。

PHC管樁的外徑為0.5 m，假定擴張后的孔徑為 0.6 m，通過對四種模型的柱形孔擴張理論進行計算[11]，可得到塑性區半徑、軟化半徑、極限擴張壓力及2、4、8 m處的水平位移，見表3。

表1 土層物理力學參數表Table 1 Physical parameters of soil

表2 模型參數Table 2 Parameters of different models

表3 不同模型的計算結果Table 3 Results of different models

由表 1、2可知，固結不排水三軸試驗得到的內摩擦角和黏聚力與固結快剪的試驗結果相比較大，10 m處土體為淤泥質粉質黏土，其應力-應變曲線為典型的應變軟化型，具有較強的結構性。由表3可知，應力一次跌落模型的塑性半徑最大，四折線模型和三折線模型的相差不大，理想彈塑性模型的最小；理想彈塑性模型的極限擴張壓力最大，其次是四折線模型、三折線模型、應力一次跌落模型；四折線模型和理想彈塑性模型的位移計算值與實測值相比較小，且四折線模型的計算值與實測值較接近，三折線模型和應力一次跌落模型的計算值與實測值相比較大，且三折線模型的計算值與實測值較為接近，對比四折線模型和三折線模型可知，四折線模型計算的位移值與實測值更為接近。

6 結 論

（1）提出了四折線應變軟化模型各直線段和相應參數的確定方法。

（2）采用Mohr-Coulomb屈服準則和相關聯流動法則，得到了樁周不同區域土體的位移、應力和應變，同時得到了極限軟化區半徑、極限破壞區半徑和極限擴張壓力的計算公式。

（3）結合工程實例，將四折線應變軟化模型與理想彈塑性模型、應力一次跌落應變軟化模型和三折線應變軟化模型的柱形孔擴張理論進行比較，結果發現，四折線模型和理想彈塑性模型的位移計算值與實測值相比較小，三折線模型與應力一次跌落模型的位移計算值與實測值相比較大，且四折線模型與三折線模型相比，位移值更接近于實測值。

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