疏松金屬材料沖擊溫度理論分析＊

何 源，何 勇，張先鋒，喬 良，趙曉寧，潘緒超

(南京理工大學智能彈藥技術國防重點學科實驗室，江蘇 南京 210094)

固態物質特別是疏松金屬沖擊溫度的計算在隕石碰撞成坑、粉末爆炸燒結以及利用含能金屬毀傷元毀傷目標等領域［1-2］具有十分重要的意義。有關于固態物質沖擊溫度的計算方法，從20世紀50年代至今已有了大量的研究［3-5］，歸納起來主要有2種方法［6］:(1)利用Grüneisen方程和沖擊絕熱線或利用等熵方程為參考線的Grüneisen物態方程計算沖擊溫度;(2)利用三項式物態方程計算沖擊溫度。上述2種方法均可對密實材料沖擊溫度進行計算，但對于疏松金屬材料由于活躍的自由電子易受激發且晶格的非諧振效應明顯，因此使用上述2種方法很難對疏松金屬材料的沖擊溫度進行準確預測。方法1由于未考慮電子運動與晶格熱的影響，因此較難獲得準確的計算結果;方法2建立在完整的物態方程基礎上，因此要獲得較準確的計算結果需要配合合適的疏松物質沖擊絕熱線，而疏松物質的沖擊絕熱線理論計算還并不完善，并且材料參數如非振諧因子需要實驗確定［7］，目前尚未有一種方法能在理論上對疏松物質沖擊溫度進行較好的預測。

鑒于以上原因，本文中以現有密實金屬沖擊絕熱線和沖擊溫度計算式為基礎，通過等容線法推導出疏松金屬材料的沖擊溫度計算式。在正確選取密實材料狀態參量的情況下，可獲得較好預測結果。并經研究發現疏松金屬材料的沖擊溫度受材料密實度、沖擊壓力以及金屬材料的電子比熱系數影響明顯，對于金屬材料的沖擊壓縮溫度計算和進一步深入研究疏松物質沖擊響應特性具有一定的參考價值。

1 疏松金屬材料沖擊溫度理論模型

密實物質的Hugoniot物態方程為［7］

式中:E、p分別表示壓縮態體系的內能和壓強，他們是比容v以及溫度T的函數。下標0、s分別表示初始狀態和密實物質的壓縮態。

由密實物質的Hugoniot曲線沿等容線推導疏松物質狀態，設密實物質與疏松物質的內能、壓強以及溫度分別為Es、ps、Ts和Ep、pp、Tp，密實物質的初始內能與疏松物質的初始內能相等均為E0，即可得疏松物質的Hugoniot物態方程為

式中:m為初始密實度，m=ρs/ρp=vp/vs，下標p表示疏松物質的壓縮態。

由三項式物態方程，在諧振子模型、自由電子氣模型和Grüneisen物態方程模型下，密實物質內能和壓強［7］可以表示為

同理對于疏松物質有

式中:cV為定容比熱;γe為電子Grüneisen系數;β0為零溫零壓下的電子熱容系數;下標c表示物態方程中晶體的冷部分，γ為Grüneisen系數，可取經驗關系:γ/v=γ0/v0。由式(2)減去式(1)得

將式(8)減去式(7)代入式(6)消去pp，整理后即可得到以疏松材料沖擊溫度Tp為變量的二元一次方程

疏松材料對于任意給定的密實度m都存在一個極限壓縮度，有γ(mv0－v)－2＞0。這與文獻［8］中關于多孔材料沖擊絕熱線的結論完全一致。要準確計算疏松物質的沖擊溫度，需要先得到對應材料密實物質的熱力學參量以及疏松物質的冷壓pc和冷能Ec。

密實物質的Hugoniot p-v方程為［9］

式中:c為壓力為零時材料聲速;s為沖擊波速度與粒子速度擬合曲線的斜率。

疏松物質Hugoniot p-v方程有許多形式，本文中采用W.Herrmann［10］提出的最簡單的形式，此處c、s與式(10)中相同

密實物質沖擊溫度計算采用文獻［6］中的2種方法。

利用Grüneisen物態方程和經驗Hugoniot關系計算沖擊溫度

或者，利用三項式物態方程計算沖擊溫度

式中:T0為初始溫度;η為壓縮度η=1－v/v0;Eh為Hugoniot沖擊能量。

目前，在描述金屬的冷壓和冷能方面，Morse勢要好于Born-Mayer勢［11］，因此選用Morse勢計算

2 計算結果及比較

計算密實鐵的沖擊壓縮狀態參量 p、v、T，鐵的物性參數為［9］:ρ0=7.85 g/cm3，m=1.137，c=3.995 km/s，s=1.58，γe=0.5，γ =1.90，cV=0.45 J/(g·K)，β0=19.395 mJ/(kg·K2)，常溫常壓下體積膨熱脹系數 αV0=4.3 ×10－5K－1，用來將常態密度修正到零溫零壓下密度;A=88.8 GPa，B=4.334，A、B與式(14)中相同。

圖1為根據式(10)計算的密實鐵p-v曲線與文獻［12］中實驗結果的比較。從計算結果可以看出式(10)可以較好地描述密實物質的沖擊壓力、比容關系。計算密實物質的沖擊溫度有2種方法，分別由式(10)和式(12)或者式(13)聯立得出，圖2在給出了鐵的計算結果和文獻［12］中實驗結果的比較。對比可以看出，利用Grüneisen物態方程和經驗Hugoniot關系計算沖擊溫度在低壓段與實驗值吻合較好;但在高壓段，由于未考慮到晶體振動和電子運動等影響因素，因此造成了計算結果偏大;相反利用三項式物態方程計算沖擊溫度考慮的影響因素較全面，因此得到的結果與實驗值更吻合。因此使用方法2確定式(9)中的密實物質沖擊溫度。

圖1 密實鐵在沖擊壓縮狀態下的壓力-比容曲線Fig.1 Pressure-specific volume curve of solid iron in shock compression

圖2 密實鐵沖擊壓縮狀態下的溫度-壓力曲線Fig.2 Temperature-pressure curve of solid iron in shock compression

由以上分析可知，計算疏松材料的沖擊溫度的方法有3種:(1)熱力學關系和沖擊絕熱線計算沖擊溫度，即聯立式(11)和(12)計算得到;(2)利用三項式物態方程計算沖擊溫度，由于疏松物質中非諧振效應比較明顯，因此三項式物態方程中晶格部分需采用內插形式或者液體的自由體積理論;(3)以密實物質沖擊絕熱線和沖擊溫度為基礎計算疏松物質沖擊溫度，即聯立式(9)和(11)計算得到。

使用方法2可準確計算疏松物質沖擊溫度，但需實驗確定疏松物質的非振諧因子［8］，因此在未準確獲知疏松物質非振諧因子的情況下使用方法1和本文中模型即方法3計算疏松物質沖擊溫度，疏松鐵的初始密度為6.9 g/cm3。

表1和圖3給出了方法1與方法3就疏松物質沖擊溫度與已有結果對比。可以看出:(1)方法1在低壓段與方法3計算結果基本相同，但隨著壓力的增大計算結果增大很快且遠遠高于方法3計算結果和實驗值。這是由于未考慮物質晶體振動和電子運動等因素的影響，隨著壓力、溫度以及多孔度的增加物質晶格熱和電子熱運動更顯著，因此使用方法1無法準確預測疏松物質的沖擊溫度，特別是在高壓力段和疏松度較大時;(2)方法3計算結果與已有實驗以及分子動力學計算結果較吻合，誤差ε分別在5%和9%以內，這是由于方法3建立在三項式物態方程的基礎上，并由密實物質的沖擊絕熱狀態沿等容線得到，充分考慮了物質本身的晶格熱和電子熱運動，因此只要由計算或者實驗獲得正確的密實物質沖擊絕熱參量以及疏松物質材料參數，即可得到較準確的沖擊溫升結果;(3)方法3是以密實物質Hugoniot線為基礎推導而來，因此也避免了如方法2計算沖擊溫度時需要先實驗確定不同密實度和材料的非諧振因子，極大降低了計算難度。

圖3 沖擊壓縮狀態下疏松鐵的溫度-壓力曲線Fig.3 Temperature-pressure curve of porous iron in shock compression

圖4 由不同方法計算得到的疏松鐵在沖擊壓縮狀態下的溫度-壓力曲線Fig.4 Temperature-pressure curves of the porous iron in shock compression by different methods

表1 用不同方法獲得的不同沖擊壓力下的疏松鐵的沖擊溫度Table 1 Shock temperatures by different methods for the porous iron at different shock pressures

3 影響因素分析

3.1 密實物質沖擊溫度

3.2 Grüneisen 系數

計算Grüneisen系數的經驗公式目前已有多種形式，γ/v=γ0/v0只是常用的一種。但林華令等［16］認為此式并不適用于較高的壓力，因此給出如下經驗關系

圖5 由2個不同的經驗公式得到的Grüneisen系數隨壓力的變化Fig.5 Grüneisen parameter as a function of pressure by two different empirical formulas

圖6 由不同的Grüneisen系數經驗公式得到的疏松鐵在沖擊壓縮狀態下的溫度-壓力曲線Fig.6 Temperature-pressure curves of porous iron in shock compression by different empirical formulas for Grüneisen parameter

由圖5～6得出結論:(1)不同經驗表達式計算結果幾乎完全一致，選取不同的Grüneisen系數對計算結果無太大影響;(2)不同Grüneisen系數對密實材料沖擊溫度和本文疏松金屬材料沖擊溫度模型的影響均在2%以內，這可以說明本模型的導出并未放大Grüneisen系數對沖擊溫度的影響。

3.3 電子 Grüneisen系數

只有在高溫或高密度的極限情況下γe=0.67［8］，在一般沖擊壓縮所能達到的溫度和密度范圍內，γe為0.5 ～0.6。因此分別選取 0.5、0.6、0.67 對疏松物質沖擊溫度進行計算，計算結果如圖7 所示。

可以看出隨著電子Grüneisen系數的增大溫度也隨著升高。當沖擊壓力分別為100、200 GPa時三者之間的最大誤差分別為2.8%和3.6%。因此電子Grüneisen系數的取值也對Tp影響不大。

3.4 電子比熱系數

鐵的電子比熱系數 β0=19.395 mJ/(kg·K2)［8］，與文獻［6］中給出的 12.96 mJ/(kg·K2)接近。文獻［7］中由鐵的電子能帶結構給出的電子比熱系數為89.5 mJ/(kg·K2)，導致這種差異的原因是鐵電子能帶結構的異常。將2種電子比熱系數取值代入模型中計算Tp，結果如圖8所示。

圖7 針對不同的電子Grüneisen系數，計算得到疏松鐵的沖擊溫度-壓力曲線Fig.7 Shock temperature-pressure curves of porous iron calculated at different Grüneisen parameters

圖8 針對不同的電子比熱系數，計算得到疏松鐵的沖擊溫度-壓力曲線Fig.8 Shock temperature-pressure curves of porous iron calculated at different electronic specific heat coefficients

從圖8中可以看出，隨著電子比熱系數的增大溫度會減小，并且2個不同的取值所得溫度相差較大。由此可見電子能帶結構的異常可以引起沖擊溫度的較大變化，在計算時需選用合適值。

4 結論

(1)以密實物質的沖擊絕熱線為基礎，通過等容線法，結合三項式物態方程、物質的冷壓、冷能以及Hugoniot方程推導出了疏松物質的沖擊溫度計算方法。計算結果與已有實驗和分子動力學計算結果吻合較好，對比其他計算方法，本文中方法能更好的對疏松金屬沖擊溫度進行預測，并且回避了不同密實度的金屬材料均需實驗測定非振諧因子才能準確預測沖擊溫度的缺陷，在計算難度和精度上均有優勢。本文中模型可較好的對疏松金屬材料的沖擊溫度進行理論預測。

(2)對影響沖擊溫度計算值的若干因素進行了分析，結果顯示Grüneisen系數、電子Grüneisen系數對計算結果影響不大，電子比熱系數的電子能帶結構異常會對計算結果產生較大影響，這種異常還需進一步研究。而本方法計算結果的準確性很大程度依賴于密實物質的沖擊壓縮狀態參量的選取。

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