關于GA－凸函數的Hadamard型不等式的一個注記

時統(tǒng)業(yè)，吳 涵

(海軍指揮學院浦口分院，南京 211800)

1 引理

定義 1［1］設 f(x)是定義在區(qū)間 I?(0，+ ∞)上的連續(xù)函數，如果對于任意 a，b∈I和 t∈(0，1)，有

則稱f(x)在區(qū)間I是GA－下凸的。如果式(1)的不等號反向，則稱f(x)在區(qū)間I上是GA－上凸的。

文獻［2－4］給出關于GA－凸函數的Hadamard型不等式，見定理1。

定理 1［3－4］設 f(x)是［a，b］上的 GA － 下凸函數，則

如果f(x)是［a，b］上的GA－上凸函數，則式(2)的不等式反向。當且僅當f(x)=c+dlnx時等號成立，c、d是常數。

注1 由定理1的證明過程易知

引理1［1］設f(x)是定義在［a，b］?(0，∞)上的函數，則f(x)是［a，b］上的GA －下凸函數的充要條件為f(ex)為［lna，lnb］上的下凸函數。

引理 2［5］設 f(x)是［a，b］上的下凸函數，則對任意 x，y∈［a，b］，有

當且僅當f(x)=c+dx時等號成立，c、d是常數。

引理3 設f(x)是定義在［a，b］?(0，∞)上的GA－下凸函數，則

1)x f'－(x)和 x f'+(x)在(a，b)單調不減。

2)對任意 x，y∈［a，b］，有

當且僅當f(x)=c+dlnx時等號成立，c、d是常數。

證明 令h(x)=f(ex)，那么

因為 f(x)是［a，b］?(0，∞)上的 GA －下凸函數，由引理1知，h(x)是［lna，lnb］上的下凸函數。根據下凸函數的性質知h'－(x)與h'+(x)在(a，b)單調不減，也即 xf'－(x)和xf'+(x)在(a，b)單調不減。又由引理 2 知，對任意 u，v∈［lna，lnb］，有

在式(3)中取u=lny，v=lnx，則引理3結論2)得證。

引理4 設f(x)是定義在［a，b］?(0，+∞)上的連續(xù)的GA－下凸函數，則有

當且僅當f(x)=c+dlnx時等號成立，c、d是常數。

當且僅當f(x)=c+dlnx時等號成立，c、d是常數。

證明 對任意 x∈［a，b］，有

由GA－下凸函數的定義得式(4)。式(4)在［a，b］上取積分得式(5)。

設 f(x)是定義在(a，b)上的可導的下凸函數，對于任意 x1，x2∈［a，b］，x1＜x2，文獻［6］證明了下面結果:

本研究將仿照文獻［6］的方法，將上述結果移植到GA－下凸函數。設0＜x1＜x2，λ∈(0，1)，引入記號

本研究的主要結果:

定理2 設 f(x)是定義在(a，b)上的可導的 GA －下凸函數，對于任意 x1，x2∈(a，b)，x1＜x2，有

當且僅當f(x)=c+dlnx時等號成立，c、d是常數。

2 定理2的證明

由引理4得

式(7)、(8)兩式相加得:

則式(6)的左端部分得證。

由Cauchy中值定理，存在τ∈(x1，x2)，使得

由引理3 知，對于任意 x∈［x1，x2］，有

式(13)的兩邊對x在［x1，x2］上積分得

式(6)得證。

當f(x)=c+dlnx(c、d是常數)時，經簡單計算可知式(6)中的3項都為零，所以等號成立。反之，若式(6)的等號成立，則由上面的證明過程可知，必有式(14)等號成立，由引理4知，f(x)=c+dlnx(c、d是常數)。

推論1 設 f(x)是定義在(a，b)上的可導的 GA －下凸函數，對于任意 x1，x2∈(a，b)，x1＜x2，有

當且僅當f(x)=c+dlnx時等號成立，c、d是常數。

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