自反矩陣下矩陣方程AXB+CXD=E的最佳逼近解

孫合明，李慶芳，楊家穩

(1.河海大學理學院，南京 210098;2.滁州職業技術學院，江蘇滁州 239000)

首先介紹本文中的一些符號。Rm×n表示m×n階矩陣的集合。I表示單位矩陣。AT表示矩陣A的轉置矩陣。對于矩陣A，B∈Rm×n，A?B表示A與B的Kronecker積，〈A，B〉=trace(BTA)定義為它們的內。‖A‖表示矩陣A的Frobenius范數，即‖A‖2=〈A，A〉。vec(·)是矩陣A=(aij) ∈Rm×n的拉伸算子，定義為

矩陣P若滿足PT=P和P2=I，則稱P是反射矩陣。對反射矩陣P∈Rm×m和Q∈Rn×n，若有A=PAQ，則稱矩陣A∈Rm×n是關于(P，Q)的廣義自反矩陣，并把所有 m×n階(P，Q)廣義自反矩陣的全體表示為(P，Q)。

本文主要考慮如下問題:

問題 1 對于給定的實矩陣 A，C∈Rs×m，B，D∈Rn×t，E∈Rs×t，求 X∈(P，Q)，使得

問題2 設問題1的解集合為SE，對于給定(P，Q)，求，使得

矩陣方程在控制和通信理論有著重要作用，在計算數學方面也是一個非常活躍的研究專題。問題2來源于常見的實驗設計，這里矩陣X*可由實驗獲得，它可能不是矩陣方程AXB+CXD=E的解。

文獻［1－2］提出了幾種解決矩陣方程AX+XB=C的方法。文獻［3］給出了矩陣方程AXAT+BXBT=C的對稱解。在矩陣方程ATXB+BTXTA=D相容的情況下，文獻［4］給出了它的極小范數解。在矩陣方程ATXB+BTXTA=D不相容的情況下，文獻［5］給出了求解給定矩陣最佳逼近解的一種算法，文獻［6－7］分別給出了其最小二乘解和極小范數最小二乘解。文獻［8］給出了求解矩陣方程AXB+CXTD=E極小范數最小二乘解的迭代方法。文獻［9］給出了矩陣方程AXB+CXD=F相容情況下的中心對稱最佳逼進解。關于反射矩陣P的自反(反自反)矩陣在系統和控制理論、工程、科學計算等多個領域都有廣泛的應用［10－11］。目前，已有越來越多的學者致力于研究矩陣方程的自反(反自反)最佳逼近解［12－13］，但是還沒有文獻涉及求解矩陣方程AXB+CXD=E的自反(反自反)最佳逼近解。

本文在線性系統解集標準正交基的基礎上，給出了集合SE的表示形式，繼而在集合SE中給出問題2的最佳逼近解的表達式，最后通過2個數值實例驗證該算法的有效性。

1 問題1和問題2的解

本節利用矩陣零空間的標準正交基，給出問題1和問題2解的表達方式。

問題1是一般的約束優化問題，由于給定的目標函數和約束函數的特殊性，可以給出問題1解的表達方式。

定理 1 X=PXQ 等價于 vec(X)=B1x，其中 B1=(ξ1，…，ξr)，x=(x1，x2，…，xr)T，ξ1，ξ2，…，ξr是矩陣(QT?P－I)零空間的標準正交基。

證明 由自反矩陣的定義有

設ξ1，…，ξr是矩陣(QT?P－I)零空間的標準正交基，則式(5)的任意解vec(X)可以表示為故得式(6)。

定理 3 問題 1 的最優解可以表述成 vec(X)=B1B2y+t，其中 y=(y1，y2，...，ys)T，B2=(η1，…，ηs)，t=B1T，η1，…，ηs是矩陣A'B1零空間的標準正交基，T 是方程A'B1x=b'的一個特解，B1，A'，c'如定理1和定理2所述。

證明 將vec(X)=B1x代入ψ(vec(X))=‖AXB+CXD－E‖2，得到

要使Φ1(x)取得極值，必有▽Φ1(x)=2A1x－2b1=0，得A1x=b1。設η1，…，ηs是矩陣A1零空間的標準正交基，T 是 A1x=b1的一個特解，則 x=(η1，…，ηs)(y1，…，ys)T+T=B2y+T，其中 y=(y1，y2，…，ys)T，B2=(η1，…，ηs)，則問題1的最優解可以表述為 vec(X)=B1x=B1(B2y+T)=B1B2y+t，其中t=B1T。

定理4 設B1，B2分別是定理1和定理3中的列滿秩矩陣，則B1B2是列滿秩矩陣。

證明 B1是(p2+q2)×r列滿秩矩陣，則必存在一個r×r的滿秩矩陣U和一個r×r的單位矩陣Ir，

使得

定理5 設VX*=vec(X*)，其中X*是給定的矩陣，則問題2的解為

其中B1、B2、t分別如定理1和定理3所述。

證明 根據定理3，問題1的最優解為VX=vec(X)=B1B2y+t。設

注釋1

2)對于問題1和問題2，如果限制矩陣X和Y屬于反自反矩陣集合，那么通過類似的方法可以求得它的反自反最佳逼近解。

2 數值測試

選取2個實例來驗證本文的算法。試驗均在Matlab 2007R上進行。

例1 考慮方程AXB+CXD=E，其中

可以證明上述方程是相容的，有唯一自反矩陣解

應用式(7)，可以直接得到如下解:

相應的誤差R=‖A X^B+C X^D－E‖=5.070248950780553e－012。例1有力地說明了本文所給解的表達式的正確性。

3 結束語

本文借助于矩陣零空間的標準正交基，首先給出約束條件的解的一般表達式，繼而得到問題1的解的表達式。根據函數取得極值的必要條件，最后得出問題2的最佳逼進解的表達式。該表達式簡單明了，無需迭代即可直接計算出結果。對任意給定的矩陣，無論矩陣方程是否相容，運用本文給出的解的表達式都可以求出方程AXB+CXD=E的最佳逼近解。本文給出的2個數值實例有力地證明了該表達式的有效性。

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