基于變異函數(shù)及支持向量機測井曲線插值方法

馬海，楊錦舟，肖紅兵，劉慶龍，王延江

（1.中國石化勝利石油管理局鉆井工藝研究院，山東 東營 257017；2.中國石油大學信息與控制工程學院，山東 青島 266555）

0 引 言

當一個變量呈現(xiàn)為空間分布時，稱之為區(qū)域化變量[1]。從地質學的觀點來看，區(qū)域化變量可以反映地質變量的局部性、連續(xù)性、異向性、可遷性等特征。測井曲線符合區(qū)域化變量的特征，其插值重構方法研究已成為國內外研究的熱點之一[2－3]。常用的測井曲線插值方法有三角剖分法[4]、距離加權反比法[5]、徑向基函數(shù)法[6]、多項式趨勢面法[7]、分形[8]、克里金插值[9]、神經網絡[10]、支持向量機[11]等，其中以克里金插值方法為代表的地質統(tǒng)計學方法和以支持向量機為代表的統(tǒng)計學習理論方法應用最為廣泛。克里金插值算法中的變異函數(shù)能夠很好地表征空間變量相關結構性，但平滑效應往往掩蓋了非均質性。支持向量機具有較強的非線性自學習能力和泛化能力，克服了傳統(tǒng)機器學習方法容易陷入局部最小的缺點，但其難以反映空間結構。綜合考慮2種方法，將支持向量機與變異函數(shù)相融合，同時利用粒子群優(yōu)化算法對支持向量機的參數(shù)進行優(yōu)化，這樣既可以體現(xiàn)空間變量的屬相相關性又能夠反映其空間相關性。

1 支持向量機算法

支持向量機（Support Vector Machine，SVM）是一種新的機器學習算法，它的基礎是Vapnik的統(tǒng)計學習理論[12－13]。自從 Vapnik等人引入支持向量機理論以來，SVM在模式識別方面得到了廣泛的應用[14－16]，近年來也被開始用于回歸估 計[17－18]。傳統(tǒng)的學習方法采用經驗風險最小化準則，在訓練中力求最小化樣本誤差，不可避免地出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象，模型的泛化能力受到了限制。支持向量機是在統(tǒng)計學習理論的基礎上形成的，采用結構風險最小化準則，從而提高了學習機器的泛化能力；SVM的求解最后轉化成二次規(guī)劃問題的求解，因此，SVM的解是全局最優(yōu)的[12]。

對于支持向量機函數(shù)擬合，考慮用非線性擬合函數(shù)f（x）＝w·φ（x）＋b擬合數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，…，n，xi∈Rn，yi∈R）的問題。假設所有訓練數(shù)據(jù)在ε精度下無誤差地用非線性函數(shù)擬合，即

解決復雜非線性問題的徑向基（RBF）核函數(shù)[12－13]為

式中，γ為寬度系數(shù)。

2 變異函數(shù)基本理論

2.1 實驗變異函數(shù)

變異函數(shù)是地質統(tǒng)計學中描述區(qū)域化變量空間結構性和隨機性的基本工具[19－20]。在相距為h的2個空間點x和x＋h的參數(shù)值Z（x）和Z（x＋h）之間的方差，稱為變異函數(shù)，其數(shù)學表達式為

式中，h為滯后距，即xi和xi＋h的2個點之間的距離；Z（xi）、Z（xi＋h）分別為xi和xi＋h的2個點的實測值；N（h）為距離為h的數(shù)據(jù)對的數(shù)目；γ（h）為實驗變異函數(shù)值。

2.2 理論變異函數(shù)擬合

根據(jù)計算的實驗變異函數(shù)，選擇合適的模型進行擬合，求得理論變異函數(shù)。常用的模型為球狀模型[20－21]，其形式為

式中，c0為塊金效應值；c為基臺值；a為變程。

常用的擬合方法主要有最小二乘法、多項式加權擬合法、線性規(guī)劃擬合法等。理論變異函數(shù)的擬合實際上是一種求解最優(yōu)無偏估計的優(yōu)化過程，通過選擇合適的擬合方法可以求解出球狀模型中的參數(shù)c0、c、a。

3 融合變異函數(shù)支持向量機插值方法

3.1 目標函數(shù)的選取

支持向量機插值就是利用支持向量機算法自動求取輸入和輸出之間的權系數(shù)，實現(xiàn)對未知點的插值。對于空間變量插值問題，將空間點的坐標值作為網絡輸入，將空間變量的屬性值作為網絡輸出。利用支持向量機進行插值的目的就是要通過支持向量機網絡的訓練獲取網絡輸入與網絡輸出的非線性映射關系，進而將網絡模型進行推廣。在訓練過程中既要達到網絡輸出值與期望輸出值誤差最小，同時又要受到空間相關性的約束，即

式中，n為樣本點數(shù)目；yi為第i個樣本點的期望輸出值；oi為第i個樣本點的實際輸出值；m為用來計算變異函數(shù)的數(shù)據(jù)點的最大滯后數(shù)；γ（hk）為由樣本點數(shù)據(jù)得到的變異函數(shù)值；γ′（hk）為由網絡輸出數(shù)據(jù)得到的變異函數(shù)值；hk為第k組數(shù)據(jù)對對應的間隔距離；ε為允許的誤差限。

采用拉格朗日乘子法求解這個線性不等式約束問題，則式（8）可以表示為

其中，α為拉格朗日乘子。

3.2 參數(shù)優(yōu)化

支持向量機模型的復雜度、泛化能力取決于C、γ這2個參數(shù)，特別是它們之間的相互影響關系[12]。其中，懲罰系數(shù)C反映了算法對超出ε管道的樣本數(shù)據(jù)的懲罰程度，其值影響模型的復雜性和穩(wěn)定性。C過小，對超出ε管道的樣本數(shù)據(jù)懲罰就小，訓練誤差變大；C過大，學習精度相應提高，但模型的泛化能力變差。另外，C值影響到對樣本中離群點的處理，選取合適的C就能在一定程度上抗干擾，從而保證模型的穩(wěn)定性。RBF核的寬度系數(shù)γ反映了支持向量之間的相關程度。γ很小，支持向量間的聯(lián)系比較松弛，學習機器相對復雜，推廣能力得不到保證；γ太大，支持向量間的影響過強，模型難以達到足夠的精度。

支持向量機模型要事先確定懲罰系數(shù)C及RBF核的寬度系數(shù)γ。對于這2個參數(shù)的選擇方法，多是建立在經驗和試湊的基礎之上。對此，本文采用PSO優(yōu)化算法[22]計算，將支持向量機參數(shù)C和γ作為粒子的位置向量，在每一次迭代中，粒子通過跟蹤個體極值點和全局極值點，不斷更新自己的速度和位置，直到找到空間中的最優(yōu)解。

4 算法驗證

4.1 實例1

該例為一組由測井獲得的地溫場數(shù)據(jù)[23]。方形區(qū)域被等間隔成9×9個單元，共100個網格點，原始數(shù)據(jù)等值線圖見圖1。可以看出，在上、下邊界線處等值曲線形狀很不一樣，在下部形狀為圓滑的凸面，而上部由于值的突變形成了直線。

圖1 原始數(shù)據(jù)等值線圖

從100個網格點中隨機抽取25個點組成4個數(shù)據(jù)排列樣本，分別用距離加權反比法、徑向基函數(shù)法、克里金法、支持向量機法和改進支持向量機法根據(jù)不同的數(shù)據(jù)排列對100個網格點進行插值恢復。圖2給出了各種方法插值重構結果；表1為各種方法插值效果比較。

由圖2可以看出，改進的支持向量機方法無論采樣的空間數(shù)據(jù)點如何排列都能夠較好并且較穩(wěn)定地恢復空間變量分布。通過分析表1可知，改進的支持向量機方法在平均絕對誤差、平均相對誤差、均方根誤差、相關系數(shù)和方差各個指標都是最好的，而這些指標能夠從不同的角度表征空間變量的插值效果。由此可見，本文提出的方法在空間變量的插值精度和穩(wěn)定性上具有較強的優(yōu)勢。

圖2 各種方法插值重構結果

表1 各種方法插值效果比較

4.2 實例2

選用我國北方某煤礦某煤層鉆孔點上的實測數(shù)據(jù)為例。選取該煤層64個鉆孔數(shù)據(jù)，包括鉆孔號、鉆孔坐標、煤層厚度數(shù)據(jù)。鉆孔位置分布見圖3。

煤層并非一個均質體，而是一個時空連續(xù)的變異體，具有高度的空間異質性。煤層厚度能夠反映地質變量的結構和隨機性特征，該變量呈現(xiàn)空間分布，是一種區(qū)域化空間變量。由于鉆孔位置分布不規(guī)則，通過空間插值算法得到煤層厚度數(shù)據(jù)的空間等值線圖[見圖3（a）]。從64個數(shù)據(jù)中抽取其中50個數(shù)據(jù)作為已知樣本，利用改進的支持向量機方法對其他14個數(shù)據(jù)進行空間插值重構，結果見圖3（b）。

圖3 煤層厚度等值線圖

利用改進的支持向量機方法進行插值重構，平均絕對誤差為0.1392，平均相對誤差為0.0993，均方根誤差為0.3100，相關系數(shù)為0.9083，方差為0.1328。通過以上數(shù)據(jù)及圖3可以看出，該方法插值效果較好，具有較強的屬相相關性和空間相關性。

5 應用實例

選取新疆油田準噶爾盆地中央隆起馬橋凸起莫西莊背斜構造的莊字號區(qū)塊的莊2井、莊3井、莊4井、莊5井、莊101井、莊102井、莊103井、莊104井、莊105井、莊106井和莊107井的測井聲波時差數(shù)據(jù)，結合區(qū)塊地質構造信息對莊1井西山窯組層位的聲波時差數(shù)據(jù)進行插值重構。為了對插值重構結果進行比較，實驗中分別采用了距離加權反比法、徑向基函數(shù)法、克里金法、支持向量機法和改進支持向量機法。圖4給出了利用各種方法對莊1井測井聲波時差重構的結果比較圖。采用改進的支持向量機算法的莊1井測井聲波時差重構結果見圖5示。圖6給出了莊字號井4149～4159m井段聲波時差測井曲線圖。

圖4 莊1井測井聲波時差重構結果

從圖5可以看出，采用改進的支持向量機算法對莊1井測井聲波時差曲線進行插值重構，插值重構曲線在總體上與實際的測井聲波時差曲線符合較好，但同時也看到在一些井段出現(xiàn)了一定的差距，主要表現(xiàn)在4109～4116m、4149～4159m及4288～4300m井段。圖6以4149～4159m井段為例進行說明，由于莊1井在此井段的聲波測井時差值明顯高于其鄰井在此井段的聲波測井時差值，因此在進行插值重構時很難擬合實際情況；同樣，在該井段其他的插值重構方法也存在類似的問題。為了解決這個問題，還需要綜合考慮區(qū)塊的地質概況及地層分層情況以及其他一些區(qū)塊信息，有效地將專家知識以適當?shù)姆绞郊尤氲讲逯抵貥嬛校约s束重構的不確定性。表2比較了各種方法的聲波測井時差重構結果。

表2 聲波測井時差重構效果比較

通過對表2分析，可以看出由于改進的支持向量機方法融合了空間變量的相關信息，在插值效果上優(yōu)于傳統(tǒng)的空間插值方法，誤差和方差相對較小，可以滿足插值重構的精度要求，實現(xiàn)聲波測井時差的有效重構。

6 結 論

（1）將變異函數(shù)融入支持向量機方法，提出了一種新的空間變量插值方法，該方法既可以體現(xiàn)空間變量的屬性相關性，又能反映其空間相關性。

（2）通過對測井的地溫場數(shù)據(jù)、煤層厚度數(shù)據(jù)以及測井聲波時差曲線的插值重構結果可以看出，改進的支持向量機算法相對其他插值重構算法具有較高的插值精度和較好的相似度，能夠很好地實現(xiàn)對空間區(qū)域變量的插值重構。

（3）通過該方法可以利用區(qū)塊已鉆井的地質特征參數(shù)對待鉆井的鉆井地質特征參數(shù)進行鉆前空間插值，為鉆井模擬提供依據(jù)。

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