多頻測井信號相敏檢測技術研究

吳銀川，張家田，嚴正國，蘇娟

（西安石油大學光電油氣測井與檢測教育部重點實驗室，陜西 西安 710065）

0 引 言

石油電法測井技術通過發射不同頻率的激勵信號對應不同地層的探測深度，當多種頻率信號同時激勵時，不僅可以提高測井效率，還可以得到地層的多維[1－2]信息，提高精細勘探能力。常見的幅度相位檢測方法有相敏檢測、快速傅里葉變換（fast Fourier transform，FFT）2種。FFT 方法[3－4]要 求 將所有采集的數據存儲到內存中，且為獲得高分辨率和高精度測量結果，需要采集更多的數據，占用更多的內存空間；在實時測井系統中，需要高性能的數字信號處理器完成FFT運算，系統硬件成本較高。相敏檢測技術[5]通過鎖相檢測確定頻率信號的幅度和相位，在實時檢測系統中可實現邊采集邊計算，計算檢測結果不需要大量的內存空間，計算量小，對硬件要求不高。在石油測井信號檢測中多采用相敏檢測技術[6－7]，但對相敏檢測技術的理論研究較少。本文根據相敏檢測技術原理，推導出多頻相敏檢波的算法公式，分析算法性能，并通過Matlab軟件進一步仿真，驗證算法的正確性。

1 數字相敏檢測原理

1.1 相敏檢測原理

數字相敏檢測原理見圖1所示。其中s（n）為被檢測的信號，cos n和sin n是和s（n）同頻正交參考信號，通過檢測得到信號的幅度Am和相位φ。

圖1 數字相敏檢波原理

這里假設

式中，SDC為信號中的直流分量；f為被檢信號的頻率；fs為系統的采樣頻率；N為采樣點數。根據圖1檢波原理有

式（4）和式（5）計算結果含有直流信號、同頻信號、2倍頻信號。其中直流項中含有檢測信號的幅度和相位信息，只要通過合適的低通濾波就可以得到。而原信號中的直流量SDC并未對檢測結果產生影響。I（n）和Q（n）經過低通濾波后有

1.2 多頻相敏檢測原理

假設待檢測多頻信號為

式中，M表示頻率的個數。根據相敏檢測原理，當檢測頻率為fi時，需要給該信號乘以頻率為fi的正交信號cos n和sinn。對含有M個頻率信號的檢測，要依次給該信號乘以同頻的正交信號，每1次檢測只能檢出1種頻率信號的幅度和相位。M個頻率的信號需要做M 次相敏檢波。設被檢頻率為fk，則有

Ik（n）和Qk（n）含有1個fk、M 個（fi＋fk）以及 M個（fi－fk）頻率成分。當fk和fi相等時，Ik（n）和Qk（n）含有包含幅度和相位信息的直流分量，從而實現Ak和φk的檢測。

1.3 最優濾波設計

要從式（4）至式（5）和式（11）至式（12）檢測出信號的幅度Ak和相位φk，關鍵是設計最優濾波器，濾除無關的頻率成分并保留含有幅度和相位信息的直流分量。常用的濾波器是數字式平均，原理見圖2。

圖2 平均濾波器原理

式中，N為平均點數；Ts為采樣時間間隔。該系統的沖激響應函數h（t）為

對式（14）作傅里葉變換，得到頻率響應函數

對應的幅度頻率響應為

也就是說當激勵信號e（t）含有的頻率f、采樣頻率fs以及采樣點數（平均濾波點數）N三者之間滿足式（18）的要求[即要求對e（t）整周期采樣]，該頻率信號通過濾波器的響應為0。利用該性質濾除式（11）和式（12）中的多頻交流信號，保留含有待測信號幅度和相位信息的直流信號，從而達到檢測確知頻率信號的目的。

當N＝10時，式（17）對應的響應曲線見圖3所示。在頻率f為0.1fs、0.2fs、0.3fs、0.4fs和0.5fs時其頻率響應為0，濾波器的帶寬為0.0886fs。理論上可以任意減小fs／N（頻率分辨率），得到任意窄帶寬的濾波器。當激勵信號e（t）中含有白噪聲時，帶內噪聲影響信號的準確檢測。

圖3 N＝10平均濾波器的幅頻響應

2 多頻檢測算法設計

圖1所示，相敏檢波算法要依次實現N個數據的相乘、N個數據的相加。當待檢測信號中含有M個頻率時，相敏檢波算法計算量是單頻相敏檢波算法計算量的M倍。假設待測信號中含有M個頻率，采樣頻率為fs，采樣點數為N，根據多頻相敏檢測原理有

式中，X1，…，XM以及Y1，…，YM為M 個頻率的計算結果；s1（0），…，s1（N－1）為 N 個采樣數據。式（20）和式（21）分別實現了數據的相乘、數據的累加平均。式（20）和式（21）可合并為

被檢信號中第i個頻率的幅度和相位為

3 仿真實驗

實驗選用 MIT陣列感應測井儀器[8]所選26.325、52.65和105.3kHz的3種頻率信號進行仿真。噪聲為隨機白噪聲，信號采樣頻率為1.053MS／s，采樣點數為4000，所選參數滿足式（18）（整周期采樣）的要求。檢測1000次的均值作為檢測值。在Matlab軟件環境下，采用式（20）至式（24）推導的算法得到仿真結果如表1所示，其中信噪比定義為信號與噪聲的功率之比。表2所選頻率分別為26.335、52.66和105.31kHz，采樣頻率和采樣點數不變，此時參數選擇不滿足式（18）要求，檢測1000次均值作為檢測值。從表1的檢測結果可以看出，無噪聲時，3種頻率的幅度和相位檢測誤差小于10－13，可驗證檢測算法推導正確；在信噪比低至－10dB時幅度檢測誤差控制在0.5%以內，相位檢測誤差控制在0.2%以內。從表2的檢測結果可以看出，無噪聲時，幅度檢測最大誤差為0.04%，相位檢測最大誤差為0.06%，該檢測結果與信噪比20dB和10dB時誤差基本相同。相同信噪比條件下表1的檢測誤差較小。例如10dB時，表2中26.335kHz幅度誤差是表1幅度誤差的2倍以上，相位誤差是5倍以上。

表1 整周期采樣檢測結果

表2 非整周期采樣檢測結果

4 結 論

（1）基于相敏檢測原理，推導出多頻相敏檢測的算法。在頻域內分析了數字平均濾波器的響應特性，得到多頻檢測時采樣頻率、采樣點數以及信號頻率之間的約束關系，在滿足約束條件下，多頻信號檢測各頻率之間無影響。

（2）仿真實驗結果表明，在信噪比低至－10dB時幅度檢測誤差控制在0.5%以內，相位檢測誤差控制在0.2%以內。

（3）在實際測井儀器數據采集系統設計中，一方面盡可能提高采集信號的信噪比，另一方面采集參數選擇滿足約束關系，從而實現多頻信號高精度檢測。

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