一種基于濃度的粒子群優化算法

李慶芳，孫合明

(河海大學理學院，南京 210098)

粒子群(PSO)算法起源于對簡單社會系統的模擬。該算法是1995年由美國電氣工程師Eberhard和社會心理學家 Kennedy［1－2］提出的。粒子群算法本質上是一種并行的全局性的隨機搜索算法，具有容易實現、搜索速度快、優化性能好等優點［3－8］。該算法自提出以來，引起了國際上相關領域眾多學者的關注和研究，并被廣泛應用到神經網絡訓練、工業系統優化及控制［9－12］等領域。

作為一種進化算法，粒子群算法也有其缺點［13］。PSO算法是根據全體粒子和自身的搜索經驗向著最優解的方向“飛行”，在進化后期所有的粒子都向“最優點”聚集，趨向同一化，群體的多樣性逐漸喪失，致使算法后期的收斂速度明顯變慢，甚至處于停滯狀態，出現早熟現象。針對PSO算法的這個缺點，本文將免疫算法中基于濃度選擇的概率引到PSO算法中，提出一種改進的粒子群算法。該算法根據濃度的大小對粒子的更新進行有選擇的指導，從而在一定程度上加快了算法的收斂速度，增強了算法的尋優能力，同時對部分粒子進行初始化，增加種群多樣性。實驗結果表明，該算法具有較高的優化性能。

1 標準粒子群優化算法

在粒子群算法中，每個個體稱為一個粒子，代表著解空間中一個潛在的解。例如，在一個D維的目標搜索空間中，每個粒子看成是空間內的一個點。設群體由m個粒子構成，zi=(zi1，zi2，…，zin)為第 i個粒子(i=1，2，…，m)的D維位置矢量。根據事先設定的適應值函數(與要解決的問題有關)計算zi當前的適應值，即可衡量粒子位置的優劣。vi=(vi1，vi2，…，vid，…，viD)為粒子 i的飛行速度，pi=(pi1，pi2，…，pid，…，piD)為粒子i迄今為止搜索到的最優位置，pg=(pg1，pg2，…，pgd，…，pgD)為整個粒子群迄今為止搜索到的最優位置。在每次迭代中，粒子根據式(1)、(2)更新速度和位置:

其中:i=1，2，…，m;d=1，2，…，D;k 是迭代次數;w是慣性權重;r1和r2為[0，1]的隨機數;c1和c2為學習因子。式(1)的第2項是“認知”部分，代表了粒子對自身的學習，第3部分是“社會”部分，代表著粒子間的協作。式(1)表示粒子根據它上一次迭代的速度、當前位置和自身最好經驗與群體最好經驗之間的距離來更新速度，然后粒子根據式(2)飛向新的位置。

2 改進的粒子群優化算法

2.1 粒子群濃度的計算

濃度的概念來自人工免疫算法［14］，這是近幾年才提出來的一種模擬生物免疫系統的隨機優化方法。在求解優化問題時，滿足約束條件的最優解即是抗原，候選解即是抗體，抗體與抗原之間的親和力反映了候選解和最優解得接近程度。為了實現抗體(粒子)的多樣性和避免未成熟收斂，采用抗體生存期望值對抗體濃度進行促進和抑制。在種群更新過程中，總是希望適應度高的粒子被保留下來，但是如果此類粒子過于集中，即濃度過高，則很難保證粒子的多樣性，很容易使算法陷入局部極優，而丟失那些適應度較差但卻保持著較好進化趨勢的粒子。因此采用基于濃度機制的多樣性保持策略。第i個粒子的濃度［15］定義為

由式(3)可以推導出基于粒子濃度的概率選擇公式:

其中xi和f( xi)分別表示第i個粒子及其適應度函數值。由式(4)知，與抗體i相似的抗體越多，抗體i被選中的概率就越小;反之，與抗體i相似度的抗體越少，抗體i被選中的概率就越大。這使得低適應度個體也可以獲得進化的機會。因此，基于抗體濃度的概率選擇公式在理論上保證了抗體的多樣性。

3.2 粒子群的更新策略

當粒子進化到一定程度時，通過引入基于濃度選擇的概率公式，避免粒子群陷入局部最優解。將所有粒子的概率按升序排列，排在前面的粒子濃度較高、概率較小，即在空間上該粒子處于較密集的位置，未避免粒子陷入局部最優。給其賦以較大的慣性權重，擺脫個體最優的影響，按照式(5)更新。

對于濃度較低但概率較大的粒子，根據免疫原理，筆者認為該粒子自身有著很好的進化前景，因此，粒子只受當前自身最優和其自身速度的影響，而忽略粒子的群體最優的作用，速度按照式(6)更新。

為了增加種群的多樣性，對其余濃度處于中間位置的部分粒子重新初始化。

3.3 改進的粒子群算法描述

步驟1 初始化參數，確定種群大小N、最大迭代次數itermax、學習因子c1和c2，待求解的為問題維數D、區間長度。

步驟2 初始化種群，即隨機產生各個粒子的初始位置和速度。

步驟3 根據目標函數評價每個粒子的適應度。

步驟4 對每個粒子，將其適應度與該粒子經過的個體極值比較，若較好，則將該位置作為當前的最好位置pbest，然后再與整個粒子群經歷過的全局極值比較，若較好，則更新gbest。

步驟5 根據速度和位置公式(1)、(2)更新粒子的速度和位置。

步驟6 當種群進化到一定程度時出現停滯，按照式(3)、(4)計算粒子的濃度及概率，并按升序排列:① 選擇排列在前個濃度較低的粒子，按式(5)更新速度;② 選擇排列在后3個濃度較高的粒子，按式(6)更新速度;③ 其余的6個處于中間位置的粒子，重新初始化，隨機賦值。

步驟7 計算更新后的粒子適應度，并更新自身最優解與全局最優位置。

步驟8 判斷是否達到最大迭代次數。重復步驟4～6，最后輸出全局最優解。

4 測試函數及結果

為測試改進的粒子群算法的性能，本文選擇了5個著名的benchmark測試函數對該算法和標準PSO進行對比測試。

F1:著名的Sphere函數，它在xi=0時達到最小值0。

F2:Rosenbrock函數，也叫香蕉函數，一個經典的優化函數，在xi=1處達到全局最小值0。

F3:Rastrigin函數，有很多正弦凸起的局部極小點，在xi=0達到全局最小值0。

F4:Ackley函數，在xi=0時達到全局最小值0。

F5:Griewank函數，在xi=0時達到全局最小值0。

F1是一個連續的簡單單模態函數，通常用來分析算法的執行性能。F2是一個經典復雜優化函數，它的全局最優點位于一個平滑狹長的拋物線形山谷內，由于函數僅僅為優化算法提供了少量信息，使算法很難辨別搜索方向，找到全局最小點的機會微乎其微，因此F2通常用來評價優化算法的執行效率。F3、F4是典型的具有大量局部最優點的復雜多峰函數，易使算法陷入局部最優，而不能得到全局最優解。F5是旋轉不可分離的多峰函數，類似于 Rastrigin 函數［16］。

試驗中 F1、F2、F4、F5的最大進化代數取500，F3的進化代數取1000，維數均取30維，學習因子 c1=c2=1.49445，慣性權重 w 從 0.9 到 0.4線性減少。為方便算法比較，適應值取以10為底的對數。運行結果見圖1～5。

圖1 F1:Sphere函數的適應度曲線

圖2 F2:Rosenbrock函數的適應度曲線

圖3 F3:Rastrigin函數的適應度曲線

圖4 F4:Ackley函數的適應度曲線

圖5 F5:Griewank函數的適應度曲線

從圖1～5的實驗結果可以看出:改進的PSO比標準PSO有著更好的搜索性能;對于較易收斂的F1和F5，改進的PSO算法收斂速度明顯加快，且收斂精度很高;尤其對于比較難于收斂的F3，改進的算法明顯優于標準PSO;相對而言F2、F4雖然收斂速度差一些，但收斂精度要好于標準PSO。

5 結束語

標準粒子群算法由于群體的多樣性在進化后期變差，從而導致收斂后期速度變慢，易陷于局部最優且收斂精度降低。改進的算法借鑒免疫學習中濃度的概念，按基于濃度的選擇概率來指導粒子群的更新，使群體保持了很好的多樣性，有效地避免了算法陷于局部最優。實驗結果表明，該算法的搜索性能優于標準的粒子群算法。

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