一個新三維自治系統(tǒng)的混沌分析及電路模擬

楊留猛，俞建寧，安新磊，張文娟，宮興榮

(蘭州交通大學數(shù)理與軟件工程學院，蘭州 730070)

在過去的幾十年，混沌系統(tǒng)的構(gòu)造一直被人們所關(guān)注［1－8］。自從1990年P(guān)ecora和Carroll［9］首次采用驅(qū)動－響應(yīng)的方案實現(xiàn)混沌同步，并在電子線路上觀察到混沌同步現(xiàn)象以來，混沌同步就成為人們研究的熱點。文獻［10］根據(jù)混沌同步理論從時間序列中構(gòu)造出了混沌系統(tǒng)模型。文獻［11］研究了2個隨機耦合RBNS混沌系統(tǒng)的同步現(xiàn)象。Miliou等［12］研究了一個滿足混沌同步通信的非線性電子振蕩器。Kuntanapreeda.s［13］根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論和LMI法構(gòu)造了一個使2個相同混沌系統(tǒng)同步的控制器。文獻［14］利用混沌同步理論對Josephson結(jié)進行了有效的控制。

本文首先提出了一個具有復(fù)雜混沌吸引子的非線性混沌自治三維系統(tǒng)，采用線性反饋控制方法，通過混沌系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)確定控制參數(shù)的取值范圍，避免了構(gòu)造Lyapunov函數(shù)所帶來的困難，實現(xiàn)了新系統(tǒng)的同步控制。最后進行了電路實驗，驗證了混沌吸引子的存在性和同步現(xiàn)象。

1 數(shù)學模型

本文構(gòu)造了一個三維自治混沌系統(tǒng):

其中:x=(x，y，z)T∈R3為系統(tǒng)的狀態(tài)變量;a，b，c∈R為參數(shù)。系統(tǒng)(1)中只含有2個非線性項。可以驗證系統(tǒng)(1)和Lorenz系統(tǒng)族中的每一個系統(tǒng)都不具有拓撲等價性，是一個全新的三維自治混沌系統(tǒng)。當參數(shù)a=5，b=4，c=－4時，系統(tǒng)(1)存在一個混沌吸引子，如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)(1)的混沌吸引子

2 線性反饋同步控制及數(shù)值仿真

2.1 線性反饋同步

考慮混沌系統(tǒng):

以系統(tǒng)(2)為主系統(tǒng)，構(gòu)造從系統(tǒng):

采用線性反饋后得控制系統(tǒng):

令E=X－Y，則式(4)可寫為

其中:G=［g1，g2，…，gn］T為 N 維非線性函數(shù)向量;E=［e1，e2，…，en］T為 N 維誤差狀態(tài)向量;K=diag［k1，k2，…，kn］T為線性反饋控制參數(shù)。

定理1 設(shè)k=k1=k2=…=kn，系統(tǒng)(2)的最大Lyapunov指數(shù)為λmax，則當k＞λmax時‖E‖ =0。

本文定義▽V(X)為系統(tǒng)(2)的向量場散度。

由式(4)得

由式(5)得

又因為k=k1=k2=…=kn，所以k＞λmax，定理1得證。

2.2 新系統(tǒng)的數(shù)值仿真

下面構(gòu)造受控系統(tǒng):

其中k為線性耦合系數(shù)。

定義狀態(tài)誤差信號

直接參照定理1來求取滿足同步條件的k值。當a=5，b=4，c=－4時，可以很容易地求出系統(tǒng)(1)的最大Lyapunov指數(shù)λmax=0.5888。當k＞0.5888時，可以實現(xiàn)系統(tǒng)(6)的同步控制。

圖2 k取不同值時系統(tǒng)(6)的同步誤差曲線

3 電路實驗

混沌系統(tǒng)的最直接、最簡單的物理實現(xiàn)是通過電路來完成的，許多混沌系統(tǒng)的動力學行為都是通過電路得到的驗證［15］。基于電子電路設(shè)計原理，設(shè)計了混沌系統(tǒng)(2)在a=5，b=4，c=－4時的電路，如圖3所示。電路中的運算放大器型號為TL084CN，乘法器型號為AD633(增益為0.1)，電源電壓值為12 V，其余電路元件參數(shù)值見圖3。

系統(tǒng)(1)在a=5，b=4，c=－4時的電路方程為

圖3 系統(tǒng)(1)在a=5，b=4，c=－4時的電路

根據(jù)圖3所示的電路進行電路實驗，分別在輸出端口接入示波器，得Multisim10.0仿真相圖，如圖4所示，這與圖1的Matlab數(shù)值仿真結(jié)果一致。

圖4 系統(tǒng)(1)在a=5，b=4，c=－4時的電路實驗相圖

通過加入線性反饋電路也可以得到系統(tǒng)(6)的電路，如圖5所示。

圖5中:R1=R2=R14=R16=R19=R20=R30=R32=100 kΩ;R3=R8=R9=R13=R15=R21=R26=R27=R29=R31=10 kΩ;R4=R10=R22=R28=20 kΩ;R7=R25=25 kΩ;R5=R6=R11=R12=R17=R18=R23=R24=R33=R34=R35=R36=R37=R38=R39=R41=R42=R43=R45=R46=R47=1kΩ;C1=C2=C3=C4=C5=C6=1 μF。

當 R40=R44=877.19 kΩ，R48=175.44 kΩ 時，k=0.57;當 R40=R44=625 kΩ，R48=125 kΩ 時，k=0.8;當 R40=R44=500 kΩ，R48=100 kΩ 時，k=1;當R40=R44=333.33 kΩ，R48=66.67 kΩ 時，k=1.5。當k取不同值時，系統(tǒng)(6)的同步誤差曲線如圖6所示。由此可見，電路實驗與數(shù)值仿真結(jié)果相一致，系統(tǒng)(6)的同步電路是真實存在的。

圖5 系統(tǒng)(6)在a=5，b=4，c=－4時的電路

圖6 系統(tǒng)(6)的同步誤差曲線

4 結(jié)束語

本文首先提出了一個非線性混沌自治三維系統(tǒng)以及線性反饋控制同步的思想，從理論和數(shù)值2方面對線性反饋同步控制進行了分析和仿真。結(jié)果表明，該控制方法具有普適性，可以應(yīng)用于其他的混沌系統(tǒng)的同步控制當中。最后利用電路仿真軟件對新系統(tǒng)的一個吸引子及其同步進行了仿真，達到很好的效果。

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