隨機最優(yōu)控制下矩形薄板受面內(nèi)隨機參數(shù)激勵的首次穿越研究

葛 根，王洪禮，許 佳

(1.天津工業(yè)大學(xué) 機械學(xué)院，天津 300160;2.天津大學(xué) 機械學(xué)院工程力學(xué)系，天津 300072)

近來越來越多的學(xué)者對各種邊界條件的矩形薄板的非線性振動特性進行了大量的研究［1－5］，發(fā)現(xiàn)了豐富的非線性動力學(xué)現(xiàn)象，如分岔，混沌等。這些文獻一般都是使用確定性非線性系統(tǒng)理論進行研究的，而事實上，薄板在實際情況中往往受到隨機激勵的作用。葛根等［6－7］研究了矩形薄板在摩擦邊界和四邊簡支邊界在面內(nèi)高斯白噪聲激勵時，一階模態(tài)和二階模態(tài)的隨機穩(wěn)定性和隨機Hopf分岔和問題。但是對矩形薄板在隨機激勵下的可靠性問題(即系統(tǒng)能量首次穿越安全域邊界問題)，及對如何對系統(tǒng)施加反饋控制來增加系統(tǒng)安全性的策略問題都尚未研究。

本文在文獻［6－7］基礎(chǔ)上建立了四邊簡支的矩形薄板在受面內(nèi)含高斯白噪聲信號激勵下時，受控制力作用的二階隨機參數(shù)激勵模型，并用擬不可積Hamilton系統(tǒng)隨機平均法把受控薄板振動系統(tǒng)廣義能量表示為一維Itǒ擴散過程。隨后根據(jù)隨機動態(tài)規(guī)劃方法，得到了系統(tǒng)的最優(yōu)反饋控制策略，并進一步得到了受控系統(tǒng)的條件可靠性函數(shù)滿足BK(Backward Kolmogorov)方程，設(shè)定邊界條件和初值及終值條件后，用蒙特卡羅數(shù)值模擬驗證了理論分析。

1 受控薄板隨機振動模型的建立

圖1 矩形薄板振動模型及坐標(biāo)Fig.1 The model of a rectangular thin plate and the coordinate system

如圖1所示薄板，矩形薄板長寬分別為a和b，厚度為h，在x=0，x=a，y=0，y=b四邊簡支。在板中面建立如圖1所示的坐標(biāo)，設(shè) u，v，w 分別為 x，y，z方向的位移。在x=0，x=a兩邊受面內(nèi)激勵p(t)，為絕對剛硬梁傳來的板中面內(nèi)的分布載荷，其形式為:p(t)=p0+p'ζ(t)，其中，p0為均布載荷，ζ(t)為 0 均值，強度為2D的高斯白噪聲，p'為噪聲的幅值。G(x，y)為外加控制力，形式滿足:

該薄板可認為是柔性大撓度板，參考文獻［2］可建立板的橫向振動方程為:

板的簡支邊的位移邊界條件可表示為:

滿足位移邊界條件式(4)的板的二階模態(tài)為:

根據(jù)Galerkin變分法，可求得離散后薄板的常微分形式的運動方程:

其中參數(shù)變化形式為:

為研究系統(tǒng)(7)在隨機激勵下系統(tǒng)能量的變化，設(shè)系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)(廣義能量)為:

其中:

系統(tǒng)(7)可寫為It?方程:

其中:B(t)是標(biāo)準(zhǔn)Weiner過程。

“?”表示It?意義下乘積。

該Hamilton系統(tǒng)不存在與H(t)獨立對合的首次積分，該系統(tǒng)為一個擬不可積Hamilton系統(tǒng)。根據(jù)擬不可積Hamilton系統(tǒng)的定義及性質(zhì)，可知系統(tǒng)式(7)依概率收斂到一維It?擴散過程:

其中，m(H)和σ(H)分別是未受控系統(tǒng)的It?隨機過程的漂移系數(shù)與擴散系數(shù)。

使用擬不可積 Hamilton系統(tǒng)的隨機平均法［8］，得到:

這里R是方程(17)的根。

2 系統(tǒng)的隨機最優(yōu)控制

系統(tǒng)的最優(yōu)控制一般是指通過反饋控制使原來不穩(wěn)定的隨機動力學(xué)系統(tǒng)變得穩(wěn)定，或以此來提高系統(tǒng)的穩(wěn)定度。在半無限長時間上的隨機穩(wěn)定化是一種具有待定成本函數(shù)的遍歷控制方法。最優(yōu)控制的目標(biāo)常用一個泛函的極小或極大來表示，該泛函稱為成本泛函或性能指標(biāo)。對隨機最優(yōu)控制，受控系統(tǒng)的狀態(tài)與控制皆為隨機過程，該泛函為隨機變量，因此性能指標(biāo)取為該泛函的數(shù)學(xué)期望。

隨機動態(tài)規(guī)劃方法就是對給定的隨機最優(yōu)控制問題，建立并求解隨機動態(tài)規(guī)劃方程，確定最優(yōu)控制，然后求解最優(yōu)狀態(tài)。可定義值函數(shù):

U為控制力受到的約束，“sup”是“supremum”的縮寫，T為終止時間。值函數(shù)V(t，H)就是使隨機受控系統(tǒng)的條件可靠性函數(shù)取最大。根據(jù)動態(tài)規(guī)劃原理［9－10］，可導(dǎo)出V(t，H)所滿足的隨機動態(tài)規(guī)劃方程:

方程(19)的邊界條件為:

方程(19)的終值條件為:

式(19)～式(21)組成了受反饋控制的擬不可積Hamilton系統(tǒng)的可靠性問題，構(gòu)成了一個以最大可靠性為目標(biāo)的非線性隨機最優(yōu)控制策略。以擬Hamilton系統(tǒng)的隨機平均法及隨機動態(tài)規(guī)劃原理為基礎(chǔ)，從而可求出最優(yōu)控制形式。

假設(shè)控制力有界，滿足－ bi≤ui≤bi，(i=1，2)。則方程(19)中的 ui(?H/?pi)(?V/?H)在時取最大且每項為正。所以，最優(yōu)控制力可以寫為:

由于值函數(shù)V(t，H)都是H的遞減函數(shù)，即:?V/?H ＜0，因此，式(22)可簡化為:

其中:

考慮當(dāng)H→0時，忽略高階小量可得:

3 系統(tǒng)首次穿越分析

隨機振動系統(tǒng)的可靠性可用許多指標(biāo)來度量，包括可靠性函數(shù)、首次穿越損壞的概率密度函數(shù)和首次穿越時間的均值等。其中可靠性函數(shù)定義為系統(tǒng)在時間區(qū)間［0，t］內(nèi)無損壞地工作的概率［11］。

圖2 系統(tǒng)能量安全域示意圖Fig.2 Safe domain of H

假設(shè)系統(tǒng)在狀態(tài)空間中的安全域為一開域 Ω =［0，Γ )，其中Γ是Ω的平滑邊界。引入可靠性函數(shù)}其中P表示條件概率。

得到受控系統(tǒng)的可靠性函數(shù)滿足的BK(Backward Kolmogorov)方程

方程(11)的初始條件為:

方程(11)的邊界條件為:

Γe為系統(tǒng)廣義能量的安全界限值。

首次穿越的條件概率為:

假設(shè)系統(tǒng)首次穿越安全域邊界的時間為T，則首次穿越時間T滿足的條件概率密度為:

對于邊界是奇異邊界的 Hamilton系統(tǒng)來說，式(31)的邊界條件由擴散系數(shù)α，漂移系數(shù)β和特征標(biāo)值c來決定，由參考文獻［7］可知 H=0在特征標(biāo)值cl＜1時為吸引自然邊界。

則對于左邊界H=0為進入邊界來說，對應(yīng)的BK方程的邊界條件為:

由于可靠性函數(shù)、首次穿越損壞的概率密度函數(shù)所滿足的方程均為偏微分方程，一般情況下無法得到精確解，只能求得數(shù)值解，這里我們采用有限差分法來求得方程的數(shù)值解。

4 數(shù)值結(jié)果

首先我們研究隨機激勵噪聲強度對未受控系統(tǒng)的條件可靠性函數(shù)和首次穿越概率密度函數(shù)的影響。取=0.5，ω22=0.5，f1=0.5，f2=1.35。安全域邊界 Hc=1。用(—…－·－)表示分析結(jié)果;用(■●★)表示數(shù)值結(jié)果。

我們從圖3可以看出:當(dāng)隨機激勵強度D從0.5增加到0.8時，系統(tǒng)狀態(tài)的可靠性函數(shù)下降會隨著噪聲加強變得越來越快。此現(xiàn)象說明了隨機噪聲的強度對此時系統(tǒng)可靠性函數(shù)的影響，從圖4可以看出，首次穿越時間概率密度的峰值會隨著噪聲強度的增大而升高，對應(yīng)的峰值時間也會提前。

為研究結(jié)構(gòu)參數(shù)中比較有代表性的剛度系數(shù)ω21，ω22變化對系統(tǒng)可靠性的影響。取噪聲強度D=0.5，其他參數(shù)保持不變。圖5顯示了當(dāng)剛度系數(shù)從0.5上升到1.0時，系統(tǒng)的可靠性函數(shù)隨時間下降明顯變慢。說明增加矩形薄板的剛度對保障振動安全有顯著作用。

然后，我們研究系統(tǒng)在受控情況下系統(tǒng)的首次穿越情況隨著控制力幅值變化的情況。

圖6 系統(tǒng)可靠性函數(shù)隨控制力幅值變化圖Fig.6 Reliability function of system(24)

圖6顯示出隨著控制力幅值的變化，從b1=0(表示未受控系統(tǒng))上升到b1=0.2和b1=0.8時，系統(tǒng)的可靠性函數(shù)隨時間的降低變得緩慢，這說明對系統(tǒng)施加反饋控制是增加系統(tǒng)安全性的有效措施。

以上的分析表明:隨機系統(tǒng)在穩(wěn)定性條件被破壞后與確定性系統(tǒng)一樣都會發(fā)生損壞，而隨機系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為與確定性系統(tǒng)的動力學(xué)現(xiàn)象有所不同。隨機系統(tǒng)由于受到隨機因素的作用，當(dāng)滿足一定的條件時，系統(tǒng)發(fā)生破壞是以一定的可能性(概率形式)來反映的。這說明即使?jié)M足一定的條件，系統(tǒng)也并不是一定會發(fā)生系統(tǒng)能量超越安全域邊界的情況，發(fā)生的概率反映了發(fā)生損壞的可能性的大小，可見隨機系統(tǒng)的復(fù)雜性。同時，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時，系統(tǒng)發(fā)生破壞的概率也會發(fā)生相應(yīng)的變化，我們可以根據(jù)實際的需要，通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)自身參數(shù)，或者對系統(tǒng)加以反饋控制，從而降低產(chǎn)生首次穿越的概率，加強系統(tǒng)的可靠性。

5 結(jié)論

本文的主要工作為:

(1)首先建立了四邊簡支矩形薄板的受面內(nèi)隨機激勵的受控隨機動力學(xué)模型;

(2)擬不可積Hamilton系統(tǒng)隨機平均法被用于將系統(tǒng)能量(Hamilton函數(shù))的變化過程簡化為一個一維擴散過程。隨后以使受控系統(tǒng)的可靠性最大為目標(biāo)函數(shù)得到了隨機反饋控制策略;

(3)最后以受控可靠性函數(shù)滿足的BK方程和首次穿越條件概率密度方程的數(shù)值模擬得出噪聲強度、系統(tǒng)剛度系數(shù)對系統(tǒng)可靠性的影響，從而驗證了控制策略的有效性。

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