高速列車作用下簡支梁車橋耦合振動隨機響應分析

李小珍，朱 艷，強士中

(西南交通大學 土木學院，成都 610031)

車輛－橋梁耦合分析始于19世紀40年代，至今已有150多年的歷史了。從最初的移動荷載分析模型到輪軌密貼模型再到現在的允許輪軌分離即車輛－線路－橋梁模型，所得到車輛和橋梁的響應只是一個或者多個樣本值，車橋耦合運動實質上是一個隨機過程，由于涉及多學科的交叉，加之隨機振動理論建立至今只有60多年的歷史，因此運用隨機理論對耦合系統進行的研究十分有限。從上世紀60年代起，各國的學者開始使用移動隨機荷載模型進行車橋耦合隨機振動分析［1］，至今該模型仍被許多學者采用［2～3］，但是移動荷載分析模型無法考慮車輛的隨機性以及車輛橋梁的相互作用。目前，Monte-Carlo法、協方差分析法、演變隨機響應法以及虛擬激勵法等均被應用到車橋系統的隨機分析中［4～7］。其中虛擬激勵法由于其精確、高效的優勢，被應用于抗風、抗震、車橋耦合等多個方面［8～11］。對于平穩激勵問題，虛擬激勵法可將隨機響應轉化為穩態簡諧響應分析，對于演變非平穩隨機激勵問題，虛擬激勵法可將其響應分析轉化為瞬態時程分析。

本文采用虛擬激勵法對空間車橋耦合系統的隨機性進行分析，以三跨簡支梁為例，討論橋梁、車輛在不同車速下隨機響應的變化規律。

1 車橋系統非平穩隨機響應

1.1 系統響應的均值

車輛－橋梁空間耦合系統運動方程可寫成:

式中，M，C，K分別為系統的質量、阻尼和剛度矩陣

F1(t)為車輛重力引起的確定性荷載項

Fi(t)(i=2～4)為由軌道高低、方向和左右軌高差不平順引起的隨機荷載項

運動方程(1)的解用杜哈米積分表示為:

耦合系統響應的均值為:

假設軌道不平順為零均值平穩過程，式(3)可化為:

由式(4)可知，系統響應的均值是由確定性荷載項引起的。

1.2 構造車橋系統的虛擬荷載

響應的方差矩陣［12］為:

假設隨機荷載項表示為:

式中α(t)為表示輪對位置的矩陣，fi=［fi1(t)fi2(t)… fin(t)］T是由輪軌接觸點處軌道方向不平順(i=2)、高低不平順(i=3)和左右軌高差不平順(i=4)組成的向量，具體表達式可以寫成:

其中，xwi為第i個輪對的局部位置;v為車輛的行駛速度;t為車輛的行駛時間;ti為第i個輪對的行駛時間間隔，得到響應的方差矩陣為:

式中:

I(ω，t)=∫0tH(t－ τ)α(τ)Qeiωτdτ，I(ω，t)可看作由激勵 α(τ)Qeiωτ引起的響應，因此構造虛擬激勵:

由虛擬激勵得到的響應為:

式(7)和式(11)相吻合，從而證明了虛擬激勵構造的正確性。

2 車橋耦合系統計算模型

2.1 模型的建立

將車輛和橋梁看成兩個子系統，分別建立車輛和橋梁系統的模型。

車輛系統空間模型，獨立自由度總數為15，分別為車體和前后兩個轉向架的橫擺、浮沉、側滾、點頭和搖頭［13］，即:

其中下標c代表車體，t1和t2代表前后兩個轉向架。w1～w4分別代表4個輪對。lc為車輛定距之半，lt為車輛軸距之半。

車輛系統運動方程可寫成矩陣的形式:

式中:Mv，Cv，kv分別為車輛系統的質量、阻尼和剛度矩陣，Fv為車輛系統受到的車橋系統相互作用力。

橋梁系統模型采用空間梁單元形式，每個單元節點有6個自由度，分別為沿著x，y，z軸的平移和繞著x，y，z軸的轉動。橋梁系統的運動方程可寫成矩陣的形式:

式中，Mb，Cb，Kb分別為橋梁系統的質量、阻尼和剛度矩陣。Fb為橋梁系統受到的車橋系統相互作用力。ub=(xb，yb，zb，θxb，θyb，θzb)T。

2.2 車橋系統運動方程的求解

采用分離迭代法［14］求解系統運動方程。將車輛和橋梁看成兩個相對獨立的子系統，分別建立二者的運動方程，如式(12)和(13)所示，并通過位移協調條件和力的平衡條件將兩個子系統聯系起來，通過迭代過程來滿足協調條件與平衡關系。對子系統的分離求解采用Newmark－β直接積分法。

3 虛擬激勵法的驗證

本節以德國ICE3動車通過單跨32 m簡支梁(墩高15 m)為例，檢驗虛擬激勵法的正確性。32 m簡支梁彈性模量E=3×1010N/m2，泊松比為0.2，密度為ρ =3.64 ×103kg/m3，剛度為 Ixx=35.4 m4，Iyy=9 m4，Izz=70.158 m4，面積為 7.5 m2。阻尼比為 0.02，車輛速度為220 km/h，軌道不平順的波長范圍為1～80 m，計算頻率的范圍為0.3～60 Hz，頻率增量為0.3 Hz。采用德國低干擾譜［15］。將使用本文提出的方法得到的計算結果與使用Monte Carlo法計算得到的結果進行對比，在Monte Carlo法中，采用三角級數法模擬軌道不平順的樣本。

采用Monte Carlo法計算時，分別選取500、5 000、10 000和20 000個樣本進行比較。圖1～圖4為橋梁響應的均值和標準差比較，圖5、圖6為車體加速度的均值和標準差比較，圖7、圖8為動車首輪對受到的輪軌力的均值和標準差比較。

由圖1和圖2比較可以看到，橋梁橫向位移的標準差除以相同時刻下均值的比值均比橋梁垂向位移的標準差除以相同時刻下均值的比值大，說明跨中橫向位移的隨機性較其垂向位移的隨機性要大。

同理，由圖3和圖4比較可以發現橋梁跨中橫向加速度的隨機性較其垂向加速度的隨機性要大。

由圖5和圖6可以看到，車體加速度的標準差比其均值要大，說明車體加速度的隨機性比較大。

由圖7和圖8可以看到，動車首輪對受到的橫向輪軌力的標準差比其均值要大，而垂向輪軌力的標準差比其均值要小100倍左右，說明動車首輪對受到的橫向輪軌力的隨機性較大。

由圖1～4可以看到，采用Monte－Carlo法模擬時，橋梁跨中響應的均值和標準差計算結果對于樣本點數為500、5000、10 000和20 000區別并不大。

由圖5和圖8可以看出，動車車體橫向加速度以及動車首輪對受到的橫向輪軌力的均值和標準差離散性很大，采用Monte-Carlo法模擬時，均值和標準差結果只有在樣本點數為20 000時才和由確定性荷載引起的均值以及使用虛擬激勵法得到的標準差結果相吻合。

由圖6和圖7可以看出，動車車體垂向加速度以及動車首輪對受到的垂向輪軌力的均值和標準差的離散型較橫向要小，采用Monte-Carlo法模擬時，均值和標準差結果在樣本點數為5 000時和由確定性荷載引起的均值以及使用虛擬激勵法得到的標準差結果相吻合。

圖1～圖8驗證了本文方法的合理性。

4 數值算例

以一列車通過3跨簡支梁為例，討論車橋系統空間隨機動力特性。簡支梁截面特性同第3節程序驗證中的單跨簡支梁截面特性，計算車輛采用德國ICE3高速列車，車輛編組為1動+2拖+1動，采用德國低干擾譜［15］，線路偏心2.5 m，車輛上橋前先以與橋上相同的線路條件行駛100m，待車輛振動趨于穩定后進入橋跨結構。出橋后車輛再行駛50 m。

由第1節的推導可知耦合系統在確定性荷載作用下得到的響應為均值，在虛擬激勵作用下得到響應的自功率譜密度，經過積分可以得到其均方差。假設軌道不平順為高斯平穩隨機過程，線性系統下的響應也應該滿足高斯分布。根據三倍標準差原理可以確定車橋系統隨機響應的最大值和最小值。選取車速為100 km/h、150 km/h、180 km/h、200 km/h、220 km/h、250 km/h、300 km/h、320 km/h 和350 km/h，計算這9 種車速下車橋系統響應的最大、最小值，將其絕對值的最大值作為響應的代表值，分析車橋響應隨車速變化的規律。計算頻率范圍為 0.3－97.2 Hz，頻率增量為0.3 Hz。

圖9～圖10為橋梁跨中響應曲線，圖11～圖12為第一輛動車響應曲線，圖13為第一輛動車的首輪對受到的輪軌力曲線。

由圖9可以看到橋梁跨中橫向和垂向位移的絕對值并不是隨車速的提高而單調增加的，在車速為320 km/h時響應達到最大值。車速為100～180 km/h時，橫向位移的絕對值反而隨著車速的提高而減少。車速為150～200 km/h以及320～350 km/h時，垂向位移的絕對值隨著車速的提高而減少，在其他速度范圍內，隨車速的提高而單調增加。

由圖10可以看到，橋梁跨中橫向和垂向加速度的絕對值均在車速為320 km/h時達到最大值。橫向加速度的絕對值在車速為180～200 km/h以及250～320 km/h時，隨著車速的提高而單調增加，其余車速范圍內，橫向加速度的絕對值隨著車速的提高反而減少。對于跨中垂向加速度的絕對值而言，在車速為100～150 km/h以及200～320 km/h時，響應隨著車速的增加而增加，在其余車速范圍內，響應隨車速的增加而減少。

由圖11～圖13可以看到，車體響應的絕對值以及動車首輪對受到的輪軌力的絕對值均是隨著車速的提高而增加。

5 結論

本文采用虛擬激勵法對空間車橋耦合系統的隨機性進行分析，根據三倍標準差原理得到車橋響應的最大、最小值，并取其絕對值的最大值做為響應的代表值，以三跨簡支梁為例，討論橋梁、車輛在不同車速下隨機響應的變化規律。得到結論如下:

(1)橋梁跨中橫向響應、車體加速度以及橫向輪軌力的隨機性較大，做為車橋系統的主要激勵之一的軌道不平順是一隨機過程，是其主要影響因素;

(2)橋梁跨中響應的絕對值并不是簡單得隨著車速的提高而單調增加;

(3)車體響應的絕對值以及動車首輪對受到的輪軌力的絕對值均是隨著車速的提高而單調增加的。

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