變摩擦TMD特性和簡諧激勵控制效果的研究

秦 麗，閆維明，郭聲波

(1.襄樊學(xué)院 建筑工程學(xué)院，湖北 襄樊 441021;2.北京工業(yè)大學(xué) 工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點實驗室，北京 100022)

調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)安裝時不需修改結(jié)構(gòu)，可直接安裝在結(jié)構(gòu)頂層，因其靈活方便，眾多學(xué)者研究了TMD的控制效果和設(shè)計方法［1－2］。常見TMD系統(tǒng)采用粘滯阻尼，是固體在液體中運(yùn)動產(chǎn)生的一種阻尼，構(gòu)造比較復(fù)雜，而且粘滯阻尼系數(shù)在實際制作中有時很難滿足要求。摩擦力可以由重物滑動、結(jié)構(gòu)結(jié)點轉(zhuǎn)動等產(chǎn)生，比較容易實現(xiàn)，而且造價低廉，用于TMD能有效降低其造價。鑒于摩擦TMD的優(yōu)點和潛在的應(yīng)用前景，不少學(xué)者對摩擦TMD的特點和規(guī)律進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［3］采用隨機(jī)線性化方法研究了采用摩擦阻尼器的TMD，結(jié)果證明這種非線性TMD只要正確設(shè)計，其控制效果可以和線性阻尼TMD相媲美。田志昌等［4－5］在被動調(diào)諧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)中采用摩擦耗散能量，以替代粘滯阻尼，討論了這種新系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)問題，并利用數(shù)值仿真說明了新方法的減振效果穩(wěn)定。閆維明等申請了懸吊式摩擦TMD的專利［6］，并將其應(yīng)用于實際工程［7］。但摩擦元件是非線性元件，數(shù)值模擬較為復(fù)雜，與粘滯阻尼器相比，增加了TMD分析的難度;另外，摩擦阻尼器的滯回模型大都類似矩形，存在一個臨界值(起滑力)，當(dāng)荷載超過該值以后，裝置開始滑動，滑動時其剛度變?yōu)?，摩擦力大小不變。由于常摩擦阻尼器滯回模型的特點，常摩擦TMD在外部激勵小時不啟動，在外部激勵大時又不能提供足夠的阻尼，為了最大限度發(fā)揮其控制效果，選擇一個合適的起滑力至關(guān)重要，這必然增加摩擦TMD設(shè)計的復(fù)雜性。

針對常摩擦TMD的缺點，本文提出一種變正壓力式變摩擦裝置，通過改變摩擦面正壓力實現(xiàn)摩擦力隨TMD位移增大而增大。分析了變摩擦單自由度系統(tǒng)的動力特性，變摩擦TMD－主結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，進(jìn)行了變摩擦TMD在簡諧荷載作用下對結(jié)構(gòu)響應(yīng)控制效果的理論分析和實驗研究。

1 變正壓力式變摩擦TMD工作原理

Whiteman和 Ferri［8］研究了具有位移依賴型摩擦阻尼器的懸臂梁在簡諧激勵下的運(yùn)動特性，詳細(xì)分析了系統(tǒng)滑動－靜止的運(yùn)動特征。本文借鑒文獻(xiàn)［8］通過改變摩擦面正壓力來實現(xiàn)改變摩擦力的思想，提出變正壓力式變摩擦TMD，其原理如圖1所示，特點是采用變摩擦裝置代替?zhèn)鹘y(tǒng)TMD中的油阻尼器。變摩擦阻尼器由斜面、摩擦塊、摩擦面、彈簧和滾動軸承組成。摩擦阻尼由摩擦塊和摩擦面之間的摩擦力提供。摩擦塊和TMD質(zhì)量在TMD運(yùn)動方向不能產(chǎn)生相對運(yùn)動，保證摩擦塊在摩擦面上的運(yùn)動與TMD運(yùn)動一致性。在垂直于TMD運(yùn)動方向，摩擦塊和TMD質(zhì)量可以自由地相對運(yùn)動，保證正壓力全部傳到摩擦面上，不會傳到TMD質(zhì)量上。變摩擦裝置彈簧只能在彈簧長度方向伸縮，不能在垂直于彈簧長度方向變形，彈簧一端與摩擦塊相連，另一端連接一個滾動軸承，滾動軸承和斜面接觸。當(dāng)TMD左右運(yùn)動時，帶著摩擦塊、彈簧和軸承一起運(yùn)動，由于軸承和斜面接觸，彈簧壓縮量隨著TMD位移的變化而變化，正壓力也發(fā)生變化，摩擦力自然就會隨位移增大而線性增大。

圖2給出了斜面的受力分析，彈簧對斜面的壓力N=N0+ktztanγ，N0是彈簧的預(yù)壓力，kt為彈簧剛度，z是TMD的位移，γ是斜面的傾角。豎向彈簧力也就是摩擦塊的正壓力。在豎向彈簧壓力的作用下，斜面產(chǎn)生垂直與斜面的反力，此反力會有水平方向的分力，F(xiàn)h=Ntanγ，這個水平分力可以作為TMD的恢復(fù)力，可見這種變摩擦裝置不僅提供摩擦力，還會改變系統(tǒng)的頻率。

2 變摩擦單自由度系統(tǒng)動力特性

2.1 變摩擦單自由度系統(tǒng)動力特性理論推導(dǎo)

為了分析變摩擦TMD的阻尼和剛度特性，先分析變摩擦單自由度系統(tǒng)的動力特性。變正壓力式變摩擦單自由度系統(tǒng)在簡諧激勵下的運(yùn)動方程為:

其中，m，k是單自由度系統(tǒng)質(zhì)量和剛度;N0為彈簧初始壓力，kt為彈簧剛度;γ為斜面的角度;μ是摩擦面的摩擦系數(shù);分別為系統(tǒng)的加速度，速度和位移;F是簡諧激勵。

將式(1)中的非線性項展開成傅里葉級數(shù)，并取第一項，得到以下的近似:

將式(2)、式(3)代入式(1)中，并分別平衡正弦和余弦項，得:

其中:

利用式(4)，并考慮 F2=(fc)2+(fs)2，得:

解式(5)這個一元二次方程，得:

由式(6)可求出變摩擦單自由度系統(tǒng)在幅值不變、頻率變化的簡諧荷載作用下響應(yīng)幅值隨激勵頻率的變化曲線，從而得到系統(tǒng)的頻響特性。變摩擦單自由度系統(tǒng)的響應(yīng)和激勵之間的相位差可以通過下式求出:

為了得到變摩擦系統(tǒng)的等效阻尼比和等效頻率，給出線性阻尼系統(tǒng)諧波平衡公式:

通過比較式(8)和式(4)，可以得到等效頻率和等效阻尼比:

2.2 系統(tǒng)參數(shù)對等效阻尼比和等效剛度的影響

通過算例來分析變摩擦單自由度系統(tǒng)等效阻尼比和等效頻率的變化規(guī)律。

算例1單自由度系統(tǒng)，m=21.5 ton，k=3 013 kN/m，斜面角度:5、10、15、25、35。摩擦面正壓力施壓彈簧剛度 kt:12 500 kN/m、17 500 kN/m、25 000 kN/m。初始預(yù)壓力:25 kN、50 kN、100 kN、150 kN、200 kN。摩擦面摩擦系數(shù)0.1。

圖3給出了N0=100 kN，γ=15°時彈簧剛度對系統(tǒng)等效阻尼和等效剛度的影響，可以看出二者都隨彈簧剛度的增大而增大。從圖中還可以看到等效阻尼比在TMD運(yùn)動幅值很小時隨系統(tǒng)運(yùn)動幅值增大而減小，原因在于，運(yùn)動幅值很小時摩擦力主要由大小不變的預(yù)壓力產(chǎn)生，所以變摩擦系統(tǒng)也體現(xiàn)了常摩擦系統(tǒng)特點，即阻尼比隨運(yùn)動幅值增大而減小。系統(tǒng)達(dá)到一定運(yùn)動幅值后，斜面引起的彈簧壓縮所產(chǎn)生的正壓力遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過預(yù)壓力，此時變摩擦系統(tǒng)體現(xiàn)出了線性阻尼系統(tǒng)的特點，即阻尼比不隨運(yùn)動幅值的改變而改變。

圖4給出了斜面傾角對系統(tǒng)等效阻尼比和等效頻率的影響。可以看到，二者都隨傾角增大而增大。具體地，傾角從5°增大到10°時，等效頻率和等效阻尼比分別增大了8%和82%;10°到15°時，增大了11.7%和36%;15°到 25°時，增大了 30.7% 和 30%;25°到 35°時，增大了33.2%和12%。總的來說，傾角越大，增大傾角對阻尼比的增大效果越不明顯，而對增大頻率的效果越明顯。從圖4中還可以看到，等效頻率和等效阻尼隨斜面傾角的變化曲線幾乎與預(yù)壓力無關(guān)。事實上，代表不同預(yù)壓力的四條曲線幾乎是重合的。這些情況在系統(tǒng)設(shè)計中應(yīng)加以考慮。

圖5給出了kt=22 500 kN/m，傾角為15°時不同預(yù)壓力(N0在50～200 kN變化)下，等效阻尼比和等效剛度隨系統(tǒng)運(yùn)動幅值變化而變化的趨勢。從圖中可以看到，預(yù)壓力只在TMD運(yùn)動幅值很小的時候?qū)Φ刃ё枘岜群偷刃偠扔幸欢ǖ挠绊憽＿€可以看出彈簧預(yù)壓力對等效阻尼比的影響稍大于它對等效頻率的影響。

圖5 彈簧預(yù)壓力對系統(tǒng)等效頻率和阻尼比的影響Fig.5 Influence of pre-pressure on equivalent frequency and damping ratio

2.3 變摩擦單自由度系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性

通過算例研究變摩擦單自由度系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，并和它的等效線性阻尼系統(tǒng)作比較。

算例2單自由度系統(tǒng)，m=21.5 ton，k=1 500 kN/m，kt=17 500 kN/m，N0=0，摩擦系數(shù) μ=0.1，斜面傾角15°。按式(9)和式(10)計算等效頻率 ωe=11.726，等效阻尼比 ξe=0.05，相應(yīng)的經(jīng)典阻尼系統(tǒng)參數(shù)為:me=21.5 ton，ke=ω2e× me=2 956.23 kN，ξe=0.05。

圖6(a)比較了變摩擦單自由度系統(tǒng)和它的等效線性系統(tǒng)在幅值不變(F=21.5 kN)，頻率改變的簡諧激勵作用下，位移響應(yīng)幅值隨激勵頻率的變化曲線。可以看到，變摩擦系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)幅值在共振頻率附近比它的等效線性系統(tǒng)的略大，但二者總體趨勢接近。圖6(b)給出了變摩擦單自由度系統(tǒng)和等效系統(tǒng)相位角余弦隨激勵頻率的變化曲線，可以看到，二者只是稍有差別。

因此在設(shè)計變摩擦系統(tǒng)的參數(shù)時，可以先按經(jīng)典阻尼的理論進(jìn)行計算，然后再在適當(dāng)折減阻尼比的條件下設(shè)計變摩擦系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)。

圖6 變摩擦系統(tǒng)和等效系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性比較Fig.6 Frequency response characteristic of variable friction system and its equivalent linear system

3 結(jié)構(gòu)－變摩擦TMD系統(tǒng)特性

為了簡化非線性項的分析，將TMD相對于主結(jié)構(gòu)的位移y作為未知數(shù)，得到主結(jié)構(gòu)和變摩擦TMD在簡諧激勵下的運(yùn)動方程:

其中，M、C和K分別是主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼系數(shù)和剛度，m和k分別是TMD的質(zhì)量和剛度，μ是摩擦面的摩擦系數(shù)，z1是主結(jié)構(gòu)相對于地面的位移，y是TMD相對于主結(jié)構(gòu)的位移是摩擦面的正壓力tanγ是斜面對正壓力Nv的反力的水平分力;N0是彈簧的預(yù)壓力;γ是斜面傾角，kt是摩擦面上壓緊彈簧的剛度系數(shù)。

引入?yún)?shù):r=m/M，ω21=K/M，ω22=k/m，f=ω2/ω1，p(t)=P(t)/M，Nv0=N0/m，Nh0=N0tan(γ/m)，Nhf=kttan2(γ/m)，Nvf=kttan(γ/m)

式(11)變?yōu)?

令:

其中φ1是TMD相對于主結(jié)構(gòu)的位移y和主結(jié)構(gòu)相對位移z之間的相位差;φ2是TMD相對于主結(jié)構(gòu)的位移y和激勵P之間的相位差。

將式(12)中非線性項展開成傅里葉級數(shù)，并取第一項，得下列近似關(guān)系:

將式(13)和式(14)代入式(12)，通過 cos(ωt)和sin(ωt)兩項系數(shù)的恒等關(guān)系得:

從式(15c)和式(15d)分別將ZcZs用Y表達(dá)，并代入式(15a)和式(15b)，消去ZcZs得:

其中，

由式(16)，并利用關(guān)系(pc)2+(ps)2=P2，解得TMD的運(yùn)動幅值Y:

從式(17)可以得到兩個Y值，但Y是TMD相對于主結(jié)構(gòu)的位移幅值，只能是大于零的，所以只有正的Y值是有意義的。需要注意的是，式(17)中只有根號下的部分大于等于零，才可以得到正的實數(shù)Y。在摩擦力大到一定程度以后，根號下的部分可能出現(xiàn)負(fù)值，在這種情況下，就不能用諧波平衡法求系統(tǒng)的響應(yīng)了，原因就在于諧波平衡法假設(shè)系統(tǒng)的響應(yīng)是簡諧的，而當(dāng)摩擦力相對于主結(jié)構(gòu)的運(yùn)動比較大時，TMD的運(yùn)動就會出現(xiàn)靜止－運(yùn)動現(xiàn)象，不再能用簡諧運(yùn)動來描述，所以無法再利用諧波平衡法求解了。

求出Y后，根據(jù)式(15)可求出剩下的未知數(shù)，從而得到我們關(guān)心的一定激勵頻率和幅值的簡諧激勵作用下主結(jié)構(gòu)位移幅值。

算例3

主結(jié)構(gòu):M=430，K=60 300 kN/m，ξ1=0.02;

TMD:m=21.5，k=1 500 kN/m，kt=17 500 kN/m，N0=0摩擦系數(shù) μ=0.1，斜面傾角 γ=15°。根據(jù)式(9)和式(10)計算得出等效頻率ωe=11.726，等效阻尼比 ξe=0.05

相應(yīng)的經(jīng)典阻尼TMD參數(shù)為:meff=21.5，keff=

圖7給出了無TMD、經(jīng)典阻尼TMD和變摩擦TMD時主結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)曲線的比較，從圖中可以看到，具有變摩擦TMD和經(jīng)典阻尼TMD，主結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)曲線有一定的差別，但二者都能有效減小主結(jié)構(gòu)的頻響曲線峰值。

圖7 主結(jié)構(gòu)頻響曲線的比較Fig.7 Frequency response curve of structure with variable friction TMD，viscous damped TMD and without TMD

4 變摩擦TMD特性的實驗研究

4.1 模型設(shè)計

本試驗著力于原理和性能方面，故采用較為簡單的單自由度主結(jié)構(gòu)，如圖8，主結(jié)構(gòu)剛度由0.045 m×0.004 m×0.5 m高的鋼片提供，主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量由0.6 m×0.7 m×0.01 m鋼板，配重塊和固定TMD的構(gòu)件質(zhì)量組成。本試驗主結(jié)構(gòu)質(zhì)量為75 kg，頻率為2.1 Hz。從自由衰減曲線，利用常規(guī)的阻尼比計算方法可以得到主結(jié)構(gòu)的阻尼為0.073。

圖8 主結(jié)構(gòu)模型和TMD實物圖Fig.8 Picture of structure and friction TMD

變正壓力式變摩擦TMD構(gòu)造如圖8，TMD質(zhì)量通過直線軸承安裝于滑軌之上，采用滑軌是為了有效減小系統(tǒng)的固有摩擦阻尼;TMD剛度由剛度為100 N/m的拉簧提供，通過增加拉簧的數(shù)量來調(diào)節(jié)TMD的剛度。采用拉簧也是為了進(jìn)一步減小系統(tǒng)本身的摩擦阻尼，增大阻尼的可調(diào)節(jié)范圍。TMD質(zhì)量上垂直于滑軌方向TMD運(yùn)動方向安裝另一組導(dǎo)軌，用來安裝提供正壓力的彈簧，當(dāng)TMD質(zhì)量沿滑軌運(yùn)動時，由于斜面的作用，提供摩擦面正壓力的彈簧壓縮量隨TMD的位移增加而增加，從而使摩擦力隨TMD的位移增加而增加。

4.2 簡諧激勵下變摩擦TMD的特性和控制效果

圖9給出了變摩擦TMD的摩擦力－位移滯回曲線，可以看出摩擦力隨位移增大有增大的現(xiàn)象，基本符合變摩擦TMD理論分析結(jié)果。由于本文所進(jìn)行的只是變摩擦TMD的初步原理試驗，模型制作不夠精細(xì)，試驗所得摩擦力－位移滯回曲線并不是嚴(yán)格隨TMD位移增大而線性增大，從圖9可以看到，滯回曲線在第一象限有輕微的波動。為了獲得更為理想的變摩擦效果，需要改進(jìn)試驗?zāi)Ｐ停@些工作會在后續(xù)的研究中逐步開展。圖10給出了有TMD和無TMD結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)加速度響應(yīng)，加上TMD后，結(jié)構(gòu)的加速度由0.55 g變成為0.18 g，體現(xiàn)了變摩擦TMD對簡諧激勵作用下結(jié)構(gòu)控制的有效性。

5 結(jié)論

提出一種變正壓力式變摩擦裝置，并詳細(xì)闡述了這種新型變摩擦裝置的工作原理。采用一階諧波平衡法推導(dǎo)了變摩擦系統(tǒng)的等效阻尼比和等效頻率，分析了變摩擦系統(tǒng)各參數(shù)對其等效阻尼比和等效頻率的影響，通過與經(jīng)典阻尼單自由度系統(tǒng)的比較探討了單自由度變摩擦系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。從理論和試驗兩個方面研究了簡諧激勵下變摩擦TMD對單自由度主結(jié)構(gòu)振動控制的特點。主要得出以下的結(jié)論:

(1)變正壓力式變摩擦TMD，有預(yù)壓力的情況下，運(yùn)動幅值很小時，等效頻率和等效阻尼比隨TMD運(yùn)動幅值增大而減小，當(dāng)TMD達(dá)到一定的運(yùn)動幅值后，等效頻率和等效阻尼比不再隨運(yùn)動幅值的變化而變化。斜面傾角增大，等效阻尼比和等效剛度都增大。傾角越大，增大傾角對阻尼比增大效果越不明顯，而對增大頻率的效果則比較明顯。彈簧預(yù)壓力只在運(yùn)動幅值很小時對等效阻尼比和等效頻率有一定影響。

(2)變摩擦單自由度系統(tǒng)和相應(yīng)的等效經(jīng)典阻尼系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性差別不大，只是峰值有一點差別。設(shè)計變摩擦系統(tǒng)的參數(shù)時，可以先采用粘滯阻尼的理論進(jìn)行，再適當(dāng)考慮阻尼比的折減，設(shè)計變摩擦系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)。

(3)變摩擦TMD－主結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和等效經(jīng)典阻尼TMD－主結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的主結(jié)構(gòu)加速度傳遞函數(shù)差別不大，這說明變摩擦TMD系統(tǒng)具有和經(jīng)典阻尼TMD類似的特性。

(4)變摩擦TMD簡諧激勵控制效果理論和實驗分析表明，變摩擦TMD與經(jīng)典TMD類似，都能有效減小在簡諧激勵下主結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。

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