單閉室復合材料薄壁梁的結構阻尼

任勇生，杜向紅，孫雙雙，騰祥萌

(1.山東科技大學 機械電子工程學院，山東 青島 266510;2.青島科技大學，山東 青島 266061)

為了最大限度地提高發電功率，降低發電成本，現代風力發電機復合材料葉片的尺寸不斷增加。但是，隨著葉片尺寸的增加，葉片的剛度明顯降低。在周圍風場的作用下，不可避免地存在著葉片氣動力、慣性力和彈性力間的耦合，進而可能誘發葉片模態之間的耦合振動，導致葉片發生氣彈不穩定－顫振。近來，有關風力機葉片顫振抑制方法的研究與探索，已經成為現代大型風力機結構動力學研究的一個重要科學問題，日益受到風能工程領域的關注與重視［1－3］。

葉片顫振抑制可以采用主動與被動的方法。目前由于主動顫振抑制存在附加控制系統重量與能耗問題，特別是主動控制系統花費過大，勢必增加風力發電的成本，因此被動控制方法開始受到關注［2－3］。研究表明，被動阻尼在改善柔性結構的動力學特性，包括實施有效振動控制、提高疲勞壽命和改善氣動彈性穩定性等方面，已經顯示出較強的實用性。氣彈阻尼作為氣動阻尼和結構阻尼的總和，是衡量與控制葉片是否發生顫振的一個基本指標。樹脂基纖維復合材料結構由于高分子材料內部晶體的內摩擦以及纖維/基體間的中間相阻尼，展示出高結構阻尼特性。此外，復合材料阻尼還能夠通過提高組分阻尼、纖維混雜以及設置阻尼層進行調整，以獲得理想的被動阻尼效果。復合材料結構阻尼的預測，離不開先進復合材料阻尼理論的指導。近年來，宏/細觀阻尼分析理論在復合材料殼、板和實心梁的阻尼研究和設計以及復合材料結構的被動振動控制中，得到了廣泛的應用［4］，然而對風力機葉片這種復合材料結構阻尼特性的研究，至今尚不多見。風力機葉片具有閉合截面復合材料薄壁梁的結構特點，這種典型的復合材料結構形式不僅在風力機葉片上采用，在飛機固定機翼和直升機旋翼上也被廣泛使用。因此，建立閉合截面復合材料薄壁梁的結構阻尼分析模型，對于評價此類典型復合材料結構的阻尼耗散能力并且據此進行精確結構阻尼設計，以便于建立相應的被動顫振抑制有效方法，具有理論研究價值和工程實用性。

Suresh等［5］在不考慮復合材料薄壁箱形梁的結構特點以及截面翹曲變形情況下，采用經典的層合薄板有限單元法進行結構離散，復合材料的阻尼機理采用彈性－黏彈性對應原理(復模量法)進行描述，分析了邊界條件和鋪層角對固有頻率和結構阻尼的影響。Saravanos等［6］從空心截面復合材料薄壁梁的幾何特性變形特征出發，基于Rehfied薄殼位移場方程［7］，提出了一個管狀層合復合材料梁的三維有限元阻尼分析模型，其中，復合材料阻尼通過耗散能進行度量，不計薄壁梁拉－剪耦合、拉－扭耦合和彎－扭彈性耦合的作用，得到三種規則截面梁阻尼分析結果。Chortis等［8］在Saravanos等［6］工作的基礎上進一步研究了復合材料彈性耦合的影響，采用有限元方法計算了單/雙閉室兩種翼型截面的復合材料薄壁梁的模態阻尼，并對照實驗結果進行了驗證。Ramkumar等［9］分別采用三維梁和層合薄板兩種有限元模型，研究薄壁復合材料箱形梁的阻尼特性。結構建模同樣也是基于Rehfied薄壁梁理論，而復合材料阻尼的描述則采用復模量法并且不考慮薄壁梁扭轉翹曲的影響。由于上述阻尼模型所依據的Rehfield薄壁梁理論非漸進準確，難以保證橫截面剛度特性計算結果一致精確性［10］。

由此可以看到，目前關于閉合截面復合材料薄壁梁的阻尼預測模型，僅限于有限元分析模型。事實上，作為一種數值近似方法，有限元離散在復雜結構的力學建模已經得到廣泛的應用，但是由于計算成本較高，對于此類結構的阻尼預測，缺乏實用性。基于連續分布參數復合材料薄壁梁的結構阻尼研究，通常涉及高維偏微分方程組的求解，一般難以得到問題的精確解。而振型模態法利用結構的低階模態實現復合材料薄壁梁的模型降階，能夠極大地減少計算量，是復合材料結構阻尼研究中經常采用的一種有效近似方法。

本文提出一個彎扭耦合復合材料單閉室薄壁梁的結構阻尼分析模型，薄壁梁采用VAM［10］進行結構力學建模，基于Hamilton原理導出復合材料薄壁梁的自由振動模型，將位移按廣義坐標進行模態展開，采用Galerkin法求解振動分析模型。在導出復合材料薄壁梁的應變能和耗散能表達式的基礎上，根據最大應變能理論，對薄壁復合材料箱形梁和一般翼型截面梁的模態阻尼性能進行數值近似計算，并且將本文模型阻尼預測結果與已有的有限元計算結果進行了對比，揭示了纖維鋪層角、薄壁梁長寬比和截面寬高比對阻尼性能的影響。

1 分析模型

1.1 位移場和應變場

本文采用VAM［10］導出各向異性單閉室薄壁截面梁的位移場和二維截面分析模型。圖1表示一細長的單閉室復合材料薄壁梁，長度為L，厚度h，中面曲率半徑 r，d表示最大橫截面尺寸。假定 d?L，h?d，h?r，坐標ζ沿中面法線方向度量，滿足－h/2≤ζ≤h/2。(x，y，z)表示薄壁梁整體坐標系;(x，s，ζ)表示薄壁梁局部坐標系，s沿截面中線(即，薄壁梁的中面與橫截面的交線)切向，ξ沿截面中線外法線方向。

薄壁梁上的任意點沿坐標系(x，y，z)的三個坐標軸方向的位移分量為［10－11］:

其中，截面翹曲函數g(s，x)由位移場的連續性、環向力為零以及定常剪力的條件決定。

與位移場(1)相對應的二階近似應變場為:

圖1 單閉室復合材料薄壁梁Fig.1 One-cell composite thin-walled beam

1.2 復合材料薄壁梁的應變能密度

復合材料薄壁梁的應變能密度:

復合材料單層的應力應變本構方程為:

其中，［Qij］是縮減的正軸平面應力剛度矩陣，其各元素為:

采用坐標變換:

其中:

將式(4)、式(6)代入式(3)，得:

對式(8)沿厚度積分，可得:

其中:

hk、hk－1分別為第k層的上、下表面坐標，N為總層數。

假設薄壁梁的環向應力很小，可以忽略不計，則有:

由式(9)、式(11)，得:

將式(12)代入式(9)消去γ22，得:

其中:

復合材料薄壁梁的應變能為:

利用應變－位移關系(2)，得位移/扭轉角表示應變能為:

其中，{δ}T={U'1φ'U″3U″2}，K 為復合材料薄壁梁橫截面的4×4對稱剛度矩陣，矩陣元素表達式見文獻［11］。

1.3 復合材料薄壁梁的耗散能密度

復合材料薄壁梁的耗散(阻尼)應變能密度:

其中，阻尼(損耗因子)矩陣［ψ］為下列對角矩陣:

由式(17)積分得:

其中:

類似地，利用式(12)對式(19)進行簡化，得:

復合材料薄壁梁的耗散能為:

其中，C為復合材料薄壁梁橫截面的4×4阻尼矩陣，其矩陣元素表達式類似于剛度矩陣K，只需要將A(s)，B(s)，C(s)替換為 Ad(s)，Bd(s)，Cd(s)即可得到。

一般來說，矩陣(18)中的元素ψi是材料內部應力幅值的函數，但是在理想的線性阻尼分析的框架下，可以近似地認為ψi與應力幅值無關，于是遲滯環的形狀為橢圓形，ψi具有定常的特性。

1.4 復合材料薄壁梁的自由振動方程及其求解

為了導出復合材料薄壁梁的運動方程，利用Ham-ilton原理:

其中，動能T可由下式確定:

ρ為材料密度，V表示變形后的葉片上任意一點的速度矢量，它與變形葉片任意一點的位置矢量:r=(x+u1)i+(y+u2)j+(z+u3)k之間滿足關系:表示對時間t求偏導。

由Hamilton方程(24)，導出復合材料薄壁梁的無阻尼自由振動模型如下［12］:

由Galerkin法，得:

由方程(29)可以導出復合材料薄壁梁的特征方程:

其中，{Xm}是復合材料薄壁梁的模態矢量。

1.5 結構阻尼

復合材料薄壁梁的模態阻尼比可以定義為每個振動周期內的耗散(阻尼)能與最大應變能之比:

2 結果與討論

為了檢驗本文建立的復合材料薄壁梁阻尼模型及其近似計算方法的正確性，表1、表2給出在兩種CUS構型，即沿薄壁梁截面的周線的鋪層方式分別為［0］16和［90］16，復合材料箱型截面薄壁懸臂梁的模態阻尼和固有頻率計算結果，并且與文獻［6］的3D剪切梁阻尼有限元結果進行了比較，結構的幾何參數和材料參數均取自文獻［6］。可以看出，二者符合得很好。

在單閉室復合材料薄壁梁阻尼數值計算中，分別考慮CUS和CAS兩種構型，對應于CUS截面鋪層方式為:上、下、左、右壁面均采用鋪層方式［θ］6;對應于CAS截面鋪層方式為:上壁 ［θ］6，下壁［－ θ］6，左壁和右壁［θ/－θ］3。選取梁的幾何尺寸為:截面寬度a=0.024 21 m，長度 L=0.762 m，單層厚度 0.000 127 m，鋪層數為6層。箱形復合材料懸臂梁結構如圖2所示，復合材料性能參數如表3所示。

表1 復合材料箱形梁的模態頻率和阻尼，L/a=14.36，a/b=5，［0］16Tab.1 Modal frequency and damping of cantilever composite box beam:L/a=14.36，a/b=5，［0］16

表2 復合材料箱形梁的模態頻率和阻尼，L/a=14.36，a/b=5，［90］16.Tab.2 Modal frequency and damping of cantilever composite box beam:L/a=14.36，a/b=5，［90］16

圖2 復合材料箱形截面懸臂梁Fig.2 Cantilever box-section composite beam

表3 復合材料性能參數Tab.3 Mechanical properties of composite material

圖3 不同橫截面寬高比的CAS薄壁梁的第一階彎曲為主模態阻尼隨鋪層角變化曲線Fig.3 The first bending-dominated modal damping of CAS beam vs.ply angle for various section aspect ratio a/b

圖4 不同橫截面寬高比的CAS薄壁梁的第一階扭轉為主模態阻尼隨鋪層角變化曲線Fig.4 The first twisting-dominated modal damping of CASbeam vs.ply angle forvarious section aspect ratio a/b

圖3表示CAS構型箱形復合材料薄壁懸臂梁的第一階彎曲為主模態阻尼隨鋪層角的變化曲線，其中也顯示出橫截面寬高比a/b的影響。結果表明，彎曲為主模態阻尼隨著鋪層角的增加呈現先增加后減少的變化趨勢，最大阻尼發生在鋪層角θ為40°附近，在鋪層角90°的阻尼大約是0°阻尼值的3倍左右。增加橫截面寬高比a/b，可以在一定的鋪層角范圍內提高薄壁梁的阻尼。圖4表示CAS構型箱形復合材料薄壁懸臂梁的第一階扭轉為主模態阻尼隨鋪層角的變化曲線。顯然，扭轉為主模態阻尼隨著鋪層角的變化趨勢，與彎曲為主模態阻尼是相反的，最小阻尼發生在30°～40°之間，鋪層角90°的阻尼大和0°阻尼值是相同的。鋪層角在30°～90°之間，增加橫截面寬高比a/b可以提高阻尼值。

圖5 不同橫截面寬高比的CUS薄壁梁的第一階揮舞彎曲模態阻尼隨鋪層角變化曲線Fig.5 The first flap bending modal damping of CUS beam vs.ply angle for various section aspect ratio a/b

圖5表示CUS構型箱形復合材料薄壁懸臂梁的第一階揮舞彎曲模態阻尼隨鋪層角的變化曲線，結果表明，阻尼隨鋪層角的變化規律與CAS的結果(見圖3)是類似的。但所不同的是，此時橫截面寬高比a/b的變化對阻尼沒有影響。圖6表示CUS構型箱形復合材料薄壁懸臂梁的扭轉－揮舞彎曲耦合模態阻尼隨鋪層角的變化曲線，阻尼隨鋪層角的變化與CAS情形下

圖6 不同橫截面寬高比的CUS薄壁梁的第一階扭轉－揮舞耦合模態阻尼隨鋪層角變化曲線Fig.6 The first twisting-flap bending modal damping of CUS beam vs.ply angle for various section aspect ratio a/b

圖7表示一個具有風力機葉片翼型特征的復合材料薄壁截面輪廓線，它是根據文獻［13］的翼型曲線的計算公式畫出的。設翼型的弦長取0.024－21 m，截面最大高度自動生成，沿整個翼型輪廓線的鋪層方式取［θ］6。梁長為0.762 m，復合材料性能參數取自表 3。圖8給出具有圖7翼型截面的單閉室復合材料薄壁懸臂梁的前四階模態阻尼隨鋪層角變化曲線，結果表明第一、二階揮舞和第一階擺振的模態阻尼(η1，η2，η3)隨鋪層角的變化曲線是重合的，其變化規律與箱型截面梁的情形(圖5)是相似的;第一階扭轉－揮舞耦合模態阻尼η4隨鋪層角的變化曲線與箱型截面梁的情形(圖6)也是相似的。

3 結論

本文基于最大應變能理論，綜合采用VAM法和Hamilton原理并且借助于Galerkin法，建立了彎扭耦合復合材料單閉室薄壁梁的結構阻尼分析模型。研究結果表明，采用本文建立的解析模型及其近似計算方法所獲得的薄壁箱形懸臂梁的模態阻尼與固有振動頻率數值近似解，與已有文獻的有限元解相當一致。針對CAS和CUS構型單閉室薄壁箱形梁和一般翼型截面梁模態阻尼的分析結果表明:

(1)根據本文模型能夠對單閉室薄壁復合材料梁的結構阻尼性能進行參數分析，以確定影響薄壁梁阻尼性能的主要因素，為進一步改善或提高薄壁梁的阻尼耗散性能，提供有用的信息。

(2)纖維鋪層角對薄壁梁的結構阻尼能夠產生明顯的影響。對于彎曲為主模態來說，相應的阻尼最大值出現在40°鋪層角附近;對于扭轉為主模態，相應的阻尼最小值出現在30°～50°鋪層角附近，并且上述兩種情形下阻尼隨纖維鋪層角的變化規律是相反的。

(3)橫截面寬高比a/b的增加，將會在某些鋪層角范圍內提高CAS箱形梁的模態阻尼;而對于CUS箱形梁的而言，a/b的作用則與此相反。相比之下，a/b對扭轉為主模態(CAS)或扭轉－揮舞耦合(CUS)模態阻尼的影響更明顯。

［1］ Barlas T K，Van Kuik G A M.Review of state of the art in smart rotor control research for wind turbines［J］.Progress in Aerospace Sciences，2010，46(1):1－27.

［2］ Hansen M H.Aeroelastic instability problems for wind turbines［J］.Wind Energy，2007，10:551－577.

［3］ Chaviaropoulos P K，Politis E S，Lekou D J，etal.Enhancing the damping of wind turbine rotor blades，the DAMBLADE Project［J］.Wind Energy，2006，9:163－177.

［4］ 任勇生，劉立厚.纖維增強復合材料結構阻尼研究進展［J］.力學與實踐，2004，26(1):9－16.

［5］ Suresh R，Malhotra S K.Vibration and damping analysis of thin-walled box beams［J］.Journal of Sound and Vibration，1998，215(2):201－210.

［6］ Saravanos D A，Varelis D，Plagianakos T S，et al.A shear beam finite element for the damping analysis of tubular laminated composite beams［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，291:802－823.

［7］ Rehfield R W.Design analysis methodology for composite rotor blades［C］.Proceedings of the Seventh DoD/NASA Conference on Fibrous Composites in Structural Design.Denver，CO，Grant NAG－2－238，1985.

［8］ Chortis D I，Chrysochoidis N A，Saravanos D A.Damped structural dynamics models of large wind-turbine blades including material and structural damping［J］.Journal of Physics:Conference Series，2007，75:1－11.

［9］ Ramkumar K，Ganesan N，Kannan R.Global and local behaviour based composite damping studies on thin-walled box structure［J］.European Journal of Mechanics A/Solids，2010，29:253－265.

［10］ Berdichevsky V L，Armanios E，Badir A M.Theory of anisotropic thin-walled closed-cross-section beams［J］.Composites Engineering，1992，2(5－7):411－432.

［11］ Armanios E A，Badir A M.Free vibration analysis of anisotropic thin-walled closed-section beams［J］.AIAA J，1995，33(10):1905－1910.

［12］ 任勇生，杜向紅，楊樹蓮.風力機復合材料柔性葉片的顫振分析［J］.振動與沖擊，2011，30(9):64－69，128.

［13］ 王旭東，陳 進，Shen W Z，等.風力機葉片翼型型線集成設計理論研究［J］.中國機械工程，2009，20(2):211－213，228.