SMA 纖維復合材料變截面板簧固有頻率特性研究

徐曉明，任勇生，杜向紅

(山東科技大學 機械電子工程學院，青島 266510)

懸架是現代汽車的重要總成之一，起著連接車輪與車架并傳遞其一切力與力矩，緩和不平路面對車身的沖擊載荷，衰減車身振動的作用，保證汽車平順的行駛。半主動懸架減振器的阻尼和彈性元件的剛度可以根據路面情況進行調節，通過實時調節懸架系統的阻尼和剛度，可以改變減振器的阻尼系數和系統的固有頻率，降低和避免車輛的共振。半主動懸架相比被動懸架，增加了自動調節裝置，通過合適的控制策略調節懸架的阻尼和剛度以更好的適應路面的變化;相比主動懸架，又是一種無源控制，作動器能耗低，結構簡單，價格低廉，而且控制品質接近主動懸架。因此，發展半主動懸架，特別是基于智能材料的半主動懸架系統的研究與開發，具有重要的理論價值與實際意義［1］。

目前智能材料在汽車半主動懸架可調減振系統中的應用研究，絕大多數采用電、磁流變液為工作介質，來調節減振器的阻尼系數，而以調節彈性元件可控環節的剛度和固有頻率的研究報道卻相當少見。事實上，電、磁流變半主動懸架還存在性能穩定性、維護等方面的缺陷。

迄今為止，SMA智能材料在復合材料梁、板類結構的固有頻率調節方面的應用研究，已經獲得了很大的進展。將SMA纖維埋入復合材料，設計變截面板簧半主動懸架，在理論與實踐方面，存在一定的可行性。李磊等［2］建立了具有預應變的SMA纖維復合材料等截面板簧的分析模型，導出了板簧剛度的數學表達式，并且通過數值計算得到板簧的剛度隨溫度的升高、SMA纖維體積分數、鋪層方式等參數的變化曲線。徐曉明等［3］建立了具有預應變的SMA纖維復合材料變截面板簧的分析模型，用瑞利－里茲法推導出板簧剛度的表達式，通過計算得到變截面板簧的剛度隨溫度的升高與降低、SMA纖維體積百分數、基體材料鋪層角等參數的變化曲線。上述研究都是關于形狀記憶合金復合材料板簧模型的靜力學分析，而板簧作為汽車懸架的組成部分，還需要進一步研究其振動特性。王洪禮等［4］對帶有SMA智能材料的剛度可調汽車半主動懸架進行隨機振動的可靠性分析，其中的SMA以螺旋彈簧的形式出現，著重研究半主動懸架車輛隨機振動以及控制策略而不涉及彈簧本身動力性能的研究。固有頻率是結構的重要動力特性之一，確定和計算固有頻率是結構動力分析的一個重要任務。為避免共振，應當使激勵頻率與梁的固有頻率盡量分開。在結構振動中，相對更容易發生的低階固有振動，由于其破壞板簧所需的能量越小，是更容易使板簧受到破壞的振型［5］。因此，板簧的固有頻率，尤其是低階固有頻率的設計與計算，在理論與實際中顯得尤為重要。

本文根據Brinson提出的SMA本構關系理論，結合復合材料的層合理論，建立SMA纖維復合材料變截面板簧的自由振動分析模型，應用瑞利－里茲數值近似計算方法，計算和分析了板簧固有頻率在一個完整的升溫－降溫過程的變化規律，以及基體材料纖維鋪層角度、SMA纖維含量和SMA/環氧鋪層位置的影響，揭示了SMA纖維復合材料變截面板簧的固有頻率調節機理。

1 SMA完全約束回復的Brinson一維本構關系理論

SMA材料具有“智能”特性，它既有傳感功能(感知和接收應力、應變、電、熱等信號)，又具有驅動功能(對激勵產生響應)［6］。使具有初始殘余變形并完全約束的SMA升溫，會產生很大的形狀回復力。這個SMA完全約束回復應力可以由Brinson模型描述如下［7］，模型中涉及符號的意義如表1所示。

表1 本構方程中的術語Tab.1 The terminology of constitutive equation

當 Aσs≤T ≤Aσf時，溫度誘發馬氏體向奧氏體的相變:

升溫和降溫的相變動力學方程分別為:

彈性模量與相變張量分別為:

2 嵌入SMA纖維的復合材料變截面板簧

2.1 具有SMA纖維的各向異性層合梁的本構方程

SMA纖維混雜各向異性層合梁的本構方程為［8］:

其中，e0，κ分別表示中面應變矢量和曲率矢量，NΔT，MΔT分別為基體材料熱膨脹產生的力和力矩，Nr，Mr分別為SMA纖維回復時產生的力和力矩。拉伸剛度、耦合剛度和彎曲剛度矩陣A，B和D分別為:

其中:b表示板簧的寬度，h=h(x)為板簧在軸向x處的厚度。若板簧關于中面對稱，則Bij為0，彎曲剛度11=D11，否則 Bij不為零，彎曲剛度［9］Q是單層復合材料經轉軸變換后的剛度矩陣。Nr、NΔT表述如下［2，8］:

2.2 單層纖維復合材料的剛度矩陣

利用剛度系數與工程常數的關系［9］:

對于基體本身就是纖維增強復合材料的情形，有［8］:

其中，下標m，s分別表示復合材料基體與SMA纖維。E，G，υ分別表示楊氏模量，剪切模量和泊松比，Vs和Vm分別為形狀記憶合金與基體材料的體積比含量，Vs+Vm=1。

2.3 轉軸變換

轉軸變換矩陣為［9］:

其中，n=cosθ，m=sinθ，θ為單層材料主方向與板簧軸向的夾角。利用下面的方程可以把單層纖維復合材料的剛度矩陣變換為以板簧軸向為參考坐標方向的層合材料的剛度矩陣:

通過轉軸變換將復合材料每一層的各參量轉換到以板簧軸向為參考的坐標系上，極大地方便了后續的推導與計算。

2.4 溫度對復合材料基體的影響

式(12)的NΔT由基體材料熱膨脹產生的力，表述如下:

其中，α1，α2為基體材料的熱膨脹系數。

3 利用瑞利—里茲法求板簧的固有頻率

對于板簧，其位移邊界條件為:w(0)=w(L)=0。

其變形［10］表示為:

其中，a1，a2，…，aN為待定系數，顯然，式(19)滿足板簧的邊界條件。

下面根據假定的位移函數計算板簧自由振動的總勢能Π=U+V。

其中，U為彎曲應變能，V為SMA纖維回復力與基體材料熱膨脹產生的勢能［11－12］。板簧的動能為［13］:

其中ρ為軸向坐標x處的板簧密度［14］:

使能量為極小:

將前兩項合并為廣義剛度矩陣K，第三項為質量矩陣M，則上述方程可以寫成下式的特征值問題:

求解方程(27)便可得到形狀記憶合金變截面板簧的固有頻率ω。

4 計算結果及結論分析

4.1 基本參數

表2為SMA纖維與基體材料的參數，板簧結構尺寸如圖1所示［15］，共鋪設20層，每層厚度1 mm。其中上面等截面部分為12層，下面變截面部分為8層，SMA纖維復合材料沿板簧軸向鋪設于等截面部分，并且與石墨/環氧隔層鋪設，即［θ/00/－θ］;石墨/環氧基體以［θ/－θ］的方式鋪設其余各層。

根據板簧形狀在x方向的對稱性，取一半進行計算。對于(18)式彎曲應變能U中11的求解，要用到第(10)、(11)式，其中式(11)的h是隨x而變化的，如圖2所示，板簧厚度表達式為:

4.2 板簧固有頻率隨溫度的變化規律

圖2所示為Vs=0.5，θ=45°，位移方程取5項時板簧前三階固有頻率隨溫度變化的曲線。由于T＜和T＞時SMA沒有發生相變，所以各階固有頻率隨溫度的變化不大;在奧氏體相變≤T≤和馬氏體相變≤T≤時，回復應力隨溫度急劇變化，板簧的前三階固有頻率隨溫度的變化也非常明顯。

圖2 板簧前三階固有頻率隨溫度的變化曲線(N=5)Fig.2 The first three natural frequencies curves of the leaf spring at different temperature(N=5)

為提高計算精度，同時驗證板簧固有頻率隨(19)式截取項數增加的收斂性，在位移表達式(19)中，取不同項數計算并進行比較，結果如圖3所示。由圖3可知，隨著項數N的增大，板簧的固有頻率－溫度曲線之間越來越接近，說明固有頻率－溫度曲線隨N的增加具有收斂性?？紤]到運算速度，在后面的計算中取N=5。

表2 材料參數表［16］Tab.2 The properties of materials［16］

圖3 瑞利－里茲法的收斂性Fig.3 Convergence of Rayleigh-Ritz method

4.3 板簧固有頻率隨鋪層角的變化規律

圖4～圖6表示當SMA纖維體積含量較高的情況下(Vs=0.5)，溫度分別為 30℃，60℃，80℃ (相變過程三個階段的代表溫度)時，升溫過程與降溫過程固有頻率隨鋪層角度變化的曲線。板簧前三階固有頻率分別隨基體材料鋪層角在［0°，90°］區間的逐漸增大而減小，但變化幅度不大。圖7～圖9為SMA纖維體積含量較低的情況下(Vs=0.001)，溫度為 30℃，60℃，80℃時固有頻率隨基體材料鋪層角的變化曲線，可見當SMA纖維含量較低時，鋪層角對板簧固有頻率的影響比較明顯，這與板簧的材料組分的彈性模量相對大小有關。當SMA纖維含量較大時，沿著板簧軸向鋪設的SMA纖維的影響占據主導地位，因此改變基體中普通纖維的鋪層角對板簧固有頻率影響不大;當SMA纖維含量降低時，其影響減弱，此時基體材料對板簧固有頻率的影響占據主導地位，普通纖維的鋪層角對板簧固有頻率的作用較為明顯。值得注意的是減少SMA纖維含量，板簧的剛度隨之減小，固有頻率也隨之降低，如圖7～圖9所示。另外，T＜Aσf，同溫同含量的情況下，降溫過程的各階固有頻率始終比升溫過程的大，這是因為同溫度條件下SMA的受限回復應力在降溫過程比升溫過程大的緣故。

圖4 30℃升溫與降溫過程的固有頻率隨鋪層角的變化曲線比較(Vs=0.5)Fig.4 The natural frequencies change with ply angle during heating and cooling processes at 30℃ respectively(Vs=0.5)

圖5 60℃升溫與降溫過程的固有頻率隨鋪層角的變化曲線比較(Vs=0.5)Fig.5 The natural frequencies change with ply angle during heating and cooling processes at 60℃ respectively(Vs=0.5)

圖6 80℃升溫與降溫過程的固有頻率隨鋪層角的變化曲線比較(Vs=0.5)Fig.6 The natural frequencies change with ply angle during heating and cooling processes at 80℃ respectively(Vs=0.5)

圖7 30℃升溫與降溫過程的固有頻率隨鋪層角的變化曲線比較(Vs=0.001)Fig.7 The natural frequencies change with ply angle during heating and cooling processes at 30℃ respectively(Vs=0.001)

圖8 60℃升溫與降溫過程的固有頻率隨鋪層角的變化曲線比較(Vs=0.001)Fig.8 The natural frequencies change with ply angle during heating and cooling processes at 60℃ respectively(Vs=0.001)

圖9 80℃升溫與降溫過程的固有頻率隨鋪層角的變化曲線比較(Vs=0.001)Fig.9 The natural frequencies change with ply angle during heating and cooling processes at 80℃ respectively(Vs=0.001)

4.4 板簧固有頻率隨SMA纖維含量的變化規律

圖10～圖12表示鋪層角為45°時，不同的SMA纖維體積含量情況下的前三階固有頻率與溫度的關系曲線。分別取 SMA 纖維含量為0.1，0.3，0.5，可見 SMA纖維含量越大，板簧的固有頻率越高，在SMA相變過程的溫度范圍內所表現的固有頻率變化幅度也越大。另外，在升溫過程 T＜44.3℃和 T＞75.3℃，降溫過程的T＞49.5℃時，隨體積含量的增加，SMA產生的形狀回復力相比基體材料產生的熱膨脹力也越來越大，因此在這個溫度范圍內，固有頻率－溫度曲線隨SMA纖維體積含量的變大而呈現“上翹”的現象。

圖10 不同SMA纖維含量情況下的第一階固有頻率隨溫度變化曲線的比較Fig.10 The contrast of the first natural frequency-temperature curves with different SMA fiber contents

圖11 不同SMA纖維含量情況下的第二階固有頻率隨溫度變化曲線的比較Fig.11 The contrast of the second natural frequency-temperature curves with different SMA fiber contents

圖12 不同SMA纖維含量情況下的第三階固有頻率隨溫度變化曲線的比較Fig.12 The contrast of the third natural frequency-temperature curves with different SMA fiber contents

4.5 板簧固有頻率與鋪層方式的關系探討

表3 不同鋪層方式下的固有頻率Tab.3 Natural frequency in different lay up conditions

表3是當SMA體積分數取0.5，鋪層角度為45°，溫度取值為60℃時，分別在升溫階段和降溫階段的三種典型鋪層方式下的板簧前三階固有頻率對比。

其中:

鋪層方式1:

石墨/環氧層與SMA纖維復合材料層交替鋪設于板簧等截面部分的12層，如圖1所示。

鋪層方式2:

鋪層方式3:

由表中數據可知，鋪層方式1的固有頻率最大，其次是鋪層方式3，再次是鋪層方式2。原因是SMA纖維含量按照上述順序逐步減少，所產生的形狀回復力也依次減少，因此板簧的固有頻率也隨之依次減小。

5 結論

基于SMA的完全受限回復本構理論，復合材料結構力學理論和瑞利－里茲能量法，建立了嵌入SMA纖維的復合材料變截面板簧的力學模型，通過數值計算得到了板簧前三階固有頻率隨溫度的升高和降低的變化規律，以及給定溫度下鋪層方式和SMA纖維含量對固有頻率的影響。主要結論如下:

(1)板簧的固有頻率隨溫度的變化而變化，尤其是在SMA相變的過程中，固有頻率變化更明顯。可以通過改變板簧的溫度，實現對其固有頻率的有效調節。

(2)SMA纖維含量對板簧固有頻率有重要的影響。增加SMA纖維含量可以顯著提高板簧的各階固有頻率。

(3)鋪層角對板簧固有頻率的影響與SMA纖維含量有著密切的關系。當SMA纖維含量較低時，鋪層角對板簧固有頻率的影響較為明顯;而當SMA纖維含量較高時，鋪層角對板簧固有頻率的影響不大。

(4)改變鋪層方式能夠顯著地改變SMA纖維復合材料板簧的固有頻率，從而影響對板簧固有頻率的調節效果。

本文研究結果對基于SMA智能材料的半主動懸架板簧的動態設計、動力性能評估以及半主動振動控制具有一定的參考價值。

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