無阻力任意擺角下配重復擺振動的數值研究

陳希明，潘娜娜，潘 宇

(重慶郵電大學數理學院，重慶 南岸 400065)

在小角度下從理論和實驗方面研究配重復擺周期的變化規律是復擺研究問題中一項重要內容，在這些方面已經有不少報道［1－4］，其中文獻［1－2］的研究方式較為相近，均從理論分析角度采用配重周期與無配重周期比率的方式，研究了周期隨懸掛點及配重位置變化的規律，得到了較好的結果.在本文中，我們從勻質細桿加一配重的物理模型出發得到了任意擺角下配重復擺運動的微分方程.由于非線性效應，我們無法得到對應的解析解，因此很難了解配重復擺的運動圖像.近年來，對物理問題進行數值研究［5－11］已經成為物理教學研究中普遍采用的方法.在本文中，我們首先對配重位置改變時的配重復擺的運動過程進行數值模擬并從中得到其周期;其次研究懸掛點和配重的位置固定下配重復擺的周期與角振幅的擬合關系，得到任意擺角配重復擺周期的擬合公式.為了驗證該周期公式的正確性，我們比較了該式計算的任意擺角的周期和數值計算的結果.數值求解方法擴展了配重復擺的研究途徑與方法，具有一定的應用價值.

1 模型及運動方程

如圖1所示，忽略空氣與軸的阻力下，配重復擺在繞懸掛點D擺動的過程中始終滿足能量守恒方程:

圖1 配重復擺模型

該式對任意擺角的配重復擺成立.當θ很小時，我們可以利用sinθ≈θ直接由(2)式得到配重復擺的周期T的平方值:

(3)式即為系統的固有周期.此時，配重復擺的周期僅與系統參數有關，即由擺長、配重所在位置、懸掛點位置以及配重與桿的質量比m1m0同時決定.但對于一般情況，我們很難從(2)式獲得解析解，因此通常借助Mathematica等數學軟件數值求解.在保持質量比不變的情況下，我們在本文中通過調節配重在勻質桿上的位置分別對 θ0≤5°，5°＜ θ0≤90°和90°＜ θ0＜180°范圍內的運動過程進行數值模擬，并在固定懸掛點和配重位置的情況下研究配重復擺的周期與擺角的關系.

2 任意擺角下配重復擺運動過程的數值模擬

為簡便起見，我們假設配重復擺懸掛在桿端A點處(即x=0)，并取均質桿長L=2.0m，線密度 λ =1.0 kg·m－1，重力加速度g=9.8m·s－2.在不同的初始條件下，我們利用Mathematica軟件計算方程(2)得到復擺角位移θ(t)～t、角速度和角加速度的關系，如圖2～圖4所示.

利用Mathematica尋找函數全域最大值的方法，我們通過數值計算得到了配重位置改變時的系統周期，并將它與公式計算的結果進行比較，如表1～表3所示.表中的第一列代表不同的配重位置，第二列與第三列分別表示在相應配重位置時利用公式(2)與(3)計算的周期，第四列對應相應的誤差.通過比較，我們發現隨著配重位置從桿端A向桿端B的改變，不同擺角對應的配重復擺周期均增加，并且由于非線性振動，數值周期不僅與系統參數有關，還依賴于初始條件.圖2～圖4充分表明了這種變化與依賴關系，其中圖2顯示了在小角度下配重復擺微振動時各量隨時間的變化關系.當擺角θ0≥5°時的大角度配重復擺運動的詳盡分析，讀者可參閱文獻［12］.

表1 在初始條件θ0=3°，ω0=0下配重位置改變時，數值計算周期與公式計算周期的對應關系

圖2 θ0=3°，ω0=0配重處于桿的不同位置時，位移、角速度及角加速度之間的關系

圖3 θ0=80°，ω0=0配重處于桿的不同位置時，位移、角速度及角加速度之間的關系

圖4 θ0=170°，ω0=0配重處于桿的不同位置時，位移、角速度及角加速度之間的關系

表2 在初始條件θ0=80°，ω0=0下配重位置改變時，數值計算周期與公式計算周期的對應關系

表3 在初始條件θ0=170°，ω0=0下配重位置改變時，數值計算周期與公式計算周期的對應關系

3 周期與角振幅的擬合

該部分我們利用Mathematica軟件對方程(2)進行數值求解來詳細研究配重復擺的周期與角振幅之間的關系.為簡便起見，我們假設復擺繞端點A轉動，并取 L=2.0 m，λ =1.0 kg·m－1，ω0=0.限于篇幅和討論的相似性，我們僅討論質量比m1m0不變且配重位置d=0的這種情況.通過循環語句Do［］使角振幅θ0從0.04 rad到1.6 rad逐漸增大，我們便可以得到不同角振幅對應的周期，最后利用線性擬合函數Fit［］對周期公式進行擬合.

圖5顯示了配重復擺振動周期與角振幅之間的關系，其中粗點表示不同角振幅下周期的計算值，曲線表示相應的擬合曲線.由此可見，兩者吻合很好，且配重復擺的周期隨著角振幅的增加而緩慢增大.

圖5 配重復擺振動周期與角振幅的關系與擬合

我們得到的周期擬合公式為

該式可用來計算任意角振幅下的振動周期.當θ=0時，復擺的周期值為2.218 92 s，它與公式(3)算出的結果相同，這說明周期擬合公式能正確給出小角度下的周期值.為了驗證擬合公式的正確性，我們在表4分別列出了利用公式(2)與公式(4)得到的周期值.其中第二列表示由(2)式數值計算的周期，第三列則是由(4)式擬合的周期.通過對比，我們得出如下結論:1)復擺周期隨著角振幅增大而增大，這是非線性效應影響的結果，增大的幅度從數值上能定量地看出來，比圖5更為直觀和明顯;2)數值周期與擬合周期完全吻合，說明根據擬合公式計算的配重復擺周期具有很高的可靠性.

表4 角振幅逐漸增大下，數值計算周期和擬合公式計算周期的對比

4 結語

以勻質細桿加配重為物理模型，我們得到了配重復擺振動的非線性微分方程與周期的一般表達形式.在保持質量比m1m0=12不變的情況下，通過調節配重在勻質桿上的位置，我們對任意擺角配重復擺運動過程進行了數值模擬，比較了數值周期與公式周期的不同，發現隨著配重位置從桿端A向桿端B的改變，任意擺角配重復擺的周期將增加.同時，我們還研究了懸掛點和配重的位置固定情況下配重復擺的周期與角振幅的擬合關系，得到了任意擺角配重復擺的周期擬合公式.為了驗證該周期公式的正確性，我們利用擬合公式計算了任意擺角的周期，并與數值計算的結果進行了比較，發現根據擬合公式計算的配重復擺周期具有很高的可靠性.本文的研究表明數值求解方法可以擴展配重復擺的研究途徑與方法，具有一定的應用價值.

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