任 磊，段光爽

(信陽師范學院數學與信息科學學院，河南 信陽 464000)

在Newton的萬有引力理論中［1］，在固定時間，萬有引力加速度向量場(單位質量的力)為-▽u，其中▽u=uxi+uyj+uzk是函數u(x，y，z)的梯度，稱為萬有引力位勢.函數u(x，y，z)服從二階偏微分方程［2－3］

其中:ρ= ρ(x，y，z)為物體在(x，y，z)處的密度，G是萬有引力常數，G≈6.668×10-11m3·s－2·kg-1.方程(1)稱為 Poisson 方程，當 ρ=0時稱為Laplace方程.

1 解的形式和性質

尋求 Laplace方程一個球對稱的解 u(x，y，z)，即u(x，y，z)只依賴于到原點的距離

定理1 在n維空間中，Laplace方程有球對稱解，其解具有如下形式:

從而

于是

解得:

其他維度下類似可證.

特別地，當n=3時，仿照以上手法，可得u(x，y，z)=

若C≠0時，則此解在(0，0，0)無定義.因此，唯一處處有定義的球對稱解是u=K，產生零萬有引力(-▽K=0).當C≠0時，得到定義在不包含(0，0，0)的任意區域D上的解.

取D為某個外部孤立的行星，r＞r0.假設萬有引力加速度的大小▽u=Cr-2等于行星表面的g(于地球而言g≈9.8 m·s-2)，則有或.于是其中，er是由 (0，0，0)指向外部的向量場.當r＜r0時，因為是行星內部ρ＞0，此時公式不可用.從(3)式中可以看到，▽u與r-2成正比，所以從Laplace方程推出了萬有引力反比律.

注(逃逸速度):位勢差u(∞)-u(r0)=gr0是將一單位質量物體從行星表面移動到空間任意遠處所需的能量.因此，不計空氣阻力，單位質量物體的動能作為發射物完全脫離行星所需的動能gr0.換句話說，逃逸速度的大小為對地球而言這個速度大約為11.2 km/s.

2 解的物理應用

一質量為m的行星以極坐標系在(r(t)，θ(t))處的角動量為mr2(其中)，它為某個常數，記為A，作為中心力.因此則行星的動能

其中

假設行星軌道對r至少有兩個相鄰的局部極值，設其為r1和r2(r1＜r2).當n=3時，這個假設是可能的，因為這時有橢圓軌道.

引理1 f(t)必在r1和r2之間的某點r0有嚴格小于E的局部極小.

證明在軌道的極值點處，有˙r=0.因此由(4)得

由于行星在這兩個相鄰的極值點之間運行時，

所以必有

f(r)＜E，r1＜r＜r2.

引理2 n=4時，不存在r0使得f'(r0)=0;除非f(t)≡E=0.

證明 當n=4時，

若存在r0使得f'(r0)=0，則必有

即有f(t)≡E=0.

引理3 n＞4時，存在唯一的正數r0，使f'(r0)=0，且該值是局部最大值.

證明 當n＞4時，

令f'=0，解得

易得當r∈(0，r0)時，f'＞ 0;當r∈(r0，+∞)時，f'＜0.所以該值是局部最大值.

由上述引理可知，當n＞3時，行星軌道對r沒有兩個相鄰局部極值.這時圓形軌道是有可能的，但這樣的軌道是不穩定的，因為非常輕微的碰撞就會使行星偏離運行軌跡，從而有如下結論:

定理2 維數大于3的行星軌道是不穩定的.

［1］李俊杰.基礎偏微分方程［M］.北京:高等教育出版社，2006:22－39.

［2］張潔，祝家麟，張凱.Laplace方程的 Galerkin邊界元解法［J］.重慶大學學報，2003，26(10):39 －41.

［3］馬榮.Laplace方程在靜電場中的意義［J］.商丘師范學院學報，2003，19(2):131 －132.