四邊簡支條件下正交各向異性蜂窩夾層板的固有特性分析

王盛春，鄧兆祥，沈衛東，王 攀，曹友強

(1.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400030;2.重慶通信學院 軍用特種電源軍隊重點實驗室，重慶 400035)

蜂窩夾層作為一種特殊的復合材料結構，具有高比剛度、高比強度、性能可設計等優點，在航天、航空、高速交通運輸工具和現代結構工程等許多領域廣泛應用，如制造飛行器表面蒙皮、客機機艙地板、高速列車車廂、汽車門板等。研究蜂窩夾層板的彎曲振動特性具有十分重要的意義。在過去幾十年間，國內外學者運用解析方法和數值方法從各種角度對蜂窩夾層板的振動特性進行研究。文獻［1－3］運用經典疊層板理論研究了復合材料夾層結構的振動問題。Monforton［4］和Zhou HB等［5］分別用有限元和樣條有限點法研究了正交各向異性夾層板的彎曲和振動問題。Raville等［6］通過實驗測定了夾層板的固有頻率。文獻［7］給出了包含兩個未知函數的各向同性夾層板的自由振動方程及四邊簡支矩形夾層板的固有頻率精確解。石亦平等［8］研究了面板、膠層及蜂窩芯各項參數對蜂窩夾層板固有頻率的影響，但在理論推導中將厚度較大的夾層板等效為符合Kirchhoff直法線假定的實心薄板，未考慮蜂窩芯層彎曲變形的影響。李永強等［9］應用三階剪切板理論研究了蜂窩夾層板板厚、芯層厚度及胞元角度對夾層板固有頻率的影響，但在設計參數對固有頻率影響機制的物理解釋上顯得有些不足。Gibson等［10］給出了蜂窩芯層的等效參數公式，但由于未考慮胞元壁板的伸縮變形，限制了其在蜂窩夾層結構分析中的應用。富明慧等［11］對Gibson公式進行了修正。

從以上分析可知，雖然進行了諸多研究，然而由于涉及的控制方程非常復雜，現有關于蜂窩夾層板固有頻率的準確解主要是各向同性材料的夾層板殼，而且蜂窩夾層板各項設計參數對其振動特性的影響問題，現有研究成果仍不能滿足工程實踐的需要。本文給出了一種將正交各向異性蜂窩夾層板的控制方程組化為僅含一個位移函數的單一方程的方法，從而獲得了在四邊簡支邊界條件下其自由振動固有頻率的精確解，并對夾層板的各項設計參數對其固有頻率的影響進行了深入細致的討論，進而篩選出了夾層板固有頻率的主要影響參數。該研究結果對蜂窩夾層板的結構設計和工程應用具有指導意義。

1 夾層板自由彎曲振動控制方程

圖1為一塊由對稱上、下面板和蜂窩芯所組成的正交各向異性矩形蜂窩夾層板，邊長為a和b，夾層板總厚度為H，芯層厚度為h，面板厚度為t。坐標平面x－y與夾層板中面在同一水平面內，且材料主軸與x軸和y軸方向一致。圖2為夾層板芯層的六邊形蜂格結構。

圖1 正交各向異性蜂窩夾層板Fig.1 Schematic of the geometry of rectangular orthotropic honeycomb sandwich panel

圖2 芯層的六邊形蜂格結構Fig.2 Schematic of the regular hexagon cell of the honeycomb core

根據Reissner-Mindlin的夾層板剪切理論和蜂窩芯層的“反平面”理論［2］，提出以下基本假定:

(1)面板厚度與整個夾層板厚度相比很小，可做薄膜處理，即面板只承受面內力 σx，σy，τxy，且沿其厚度均勻分布。

(2)蜂窩芯層材質較軟，僅能抵抗橫向剪切變形，且其橫向剪切應力τxz，τyz沿蜂窩芯層厚度方向不變，忽略芯層中平行于x－y平面的應力分量，即在芯層中σx=σy=τxy=0。

(3)彎曲前垂直于夾層板中面的法線彎曲變形后依然保持直線，但不垂直于夾層板中面，直法線假設僅適用于薄面板。

(4)沿夾層板厚度方向無正應變，即在面板和芯層中σz=0。

1.1 夾層板自由振動控制方程組

考慮材料主軸與x軸和y軸一致的情況，對于上、下面板厚度和材料均相同的情況，有:

式中，Mx、My和Mxy為夾層板的內力矩，Qxz、Qyz為夾層板的橫向剪切力，w為夾層板的橫向撓度，ψx，ψy分別為變形前垂直于夾層板中面xoy的直線段在x－z平面及y－z平面內的轉角，Dij(i，j=11，12，22，66)為夾層板的彎曲剛度，C13、C23為芯層的剪切剛度，C13=G13h(1+t/h)2，C23=G23h(1+t/h)2，其中G13、G23分別為芯層在x－z和y－z平面內的剪切模量。

由于只關心夾層板的自由彎曲振動，故面內慣性力可忽略不計，由此得平衡方程:

式中ρ為夾層板的面密度，w為夾層板在橫向載荷作用下的撓度。

將式(1)和式(2)代入式(3)－式(5)，得到正交各向異性蜂窩夾層板的橫向自由彎曲振動控制方程組:

在上述控制方程組中含有3個廣義位移w，ψx和ψy，求解方程組非常困難。下面將通過引入位移函數ω，用來表示3個廣義位移，從而將控制方程組簡化為僅含有位移函數ω的單一方程。

1.2 單一位移函數控制方程的推導

方程組(6)的前兩式合并寫成如下形式:

其中:

引入位移函數ω，并令:

則有:

即:

結合式(6)和式(8)－式(11)，廣義位移w，ψx和ψy用位移函數ω表示為:

將式(12)代入方程組(6)的第一式，則可得僅含有位移函數ω的正交各向異性蜂窩夾層板自由彎曲振動控制方程:

2 四邊簡支蜂窩夾層板的固有頻率

根據式(13)可導出任意邊界條件下的固有頻率，為簡單起見，此處只討論四邊簡支邊界條件，即:

由式(12)，位移函數ω滿足邊界條件:

顯然，滿足上述邊界條件的控制方程的解具有如下形式

式中Ω為夾層板的固有頻率，km=mπ/a，kn=nπ/b。

將式(16)代入控制方程(13)中，可得:

對于確定的模態序數(m，n)，由式(17)即可得到夾層板的固有頻率Ω。

3 數值結果和討論

3.1 模型驗證

為檢驗本文方法的精確程度，取與文獻［12］相同的夾層板材料參數(如表1)。將式(17)的固有頻率計算結果與具有相同結構和材料參數夾層板固有頻率的實驗值與有限元法、樣條有限點法及高階剪切理論的計算結果進行比較，結果見表2。

表1 夾層板材料參數Tab.1 Mechanical and geometrical properties of the panel

從表2可知，用本文方法計算得到的正交各向異性蜂窩夾層板固有頻率與數值結果和實驗結果具有很好的一致性，說明該方法是正確的。

表2 正交各向異性蜂窩夾層板固有頻率比較Tab.2 Natural frequencies of the orthotropic honeycomb sandwich panel

3.2 夾層板設計參數對固有頻率的影響

將蜂窩夾層板看作由上面板、芯層和下面板組成的三層層合板，層合板為正交各向異性，每一層的應力－應變關系滿足廣義胡克定律:

平面剛度矩陣［Q］各元素為:

芯層的等效彈性參數按修正后的Gibson公式計算［11］:

式中Es為蜂窩材料的楊氏模量，d為蜂格壁厚，l為蜂格邊長。

層合板的彎曲剛度可用下式計算:

夾層板的等效密度為

3.2.1 面板厚度與夾層板厚度比t/H對夾層板固有頻率的影響

取蜂窩夾層板的邊長a=b=1.0 m，蜂格為正六邊形蜂窩結構，蜂格邊長l=1.833×10－3m，蜂格壁厚d=2.54×10－5m，面板材料為硬質鋁，面板彈性參數為E=69.0 GPa，泊松比 μ =0.33，面板密度 ρf=2 700 kg/m。由于各階固有頻率的變化是成比例的，分析結果適用于每一階固有頻率。不失一般性，此處僅研究面板、芯層各項結構和材料設計參數對夾層板第一階固有頻率的影響。

圖3所示為t/H值在［0.05，0.15］區間內變化時對不同厚度夾層板固有頻率的影響關系曲線。芯層厚度h隨著t和H的變化做相應的調整。

圖3 面板厚度對蜂窩夾層板固有頻率的影響關系曲線Fig.3 Effects of thickness ratio of face sheet and core on natural frequency

由圖3和式(21)可知，t增大雖然引起夾層板質量增加且面板彎曲剛度有增大的趨勢，但在夾層板厚度H不變的情況下面板厚度增大引起芯層厚度h減小，此時芯層作為上下面板間隔對夾層板整體彎曲剛度增強作用減弱，由此導致夾層板整體彎曲剛度降低。在上述兩種作用的共同調控下，夾層板固有頻率隨面板與夾層板厚度比的增大呈略微下降的趨勢。

3.2.2 面板縱向楊氏模量對夾層板固有頻率的影響

蜂窩夾層板的邊長、蜂格尺寸及彈性參數同3.2.1。圖4 為t/H=0.10，面板縱向楊氏模量在 40 ～200 GPa范圍內變化時對不同厚度夾層板固有頻率的影響關系曲線。

圖4 面板彈性參數對蜂窩夾層板固有頻率影響關系曲線Fig.4 Effects of Young’s modulus of face sheets on natural frequency

由圖4和式(20)可知，在t/H保持不變的條件下，面板縱向楊氏模量E(1.3)1的增加引起夾層板整體彎曲剛度的增加，因此不同厚度的夾層板固有頻率圴呈逐漸上升的變化趨勢，且上升的速度隨夾層板厚度的增加而加大。

3.2.3 蜂格參數對夾層板固有頻率的影響

蜂窩夾層板的邊長及彈性參數同3.2.1。圖5(a)、圖5(b)分別為t/H=0.10，蜂格壁厚d在 1.0 ×10－5m －10.0 ×10－5m(l取固定值)、蜂格邊長l在2.0×10－3m －20.0 ×10－3m(d取固定值)范圍內變化時對不同厚度夾層板固有頻率的影響關系曲線。

圖5 蜂格參數對蜂窩夾層板固有頻率影響關系曲線Fig.5 Effects of cell parameters of honeycomb core on natural frequency

由圖5(a)和式(19)－式(21)可知，當夾層板厚度較小(H≤0.02 m)時，蜂格壁厚d的增加引起芯層楊氏模量的增加進而增大了夾層板的彎曲剛度，但同時d的增加引起夾層板等效密度的增加，這兩種作用的交互作用使夾層板固有頻率隨d的增加呈略微下降的變化趨勢;當夾層板厚度較大(H=0.05 m)、d很小(d＜3×10－5m)時，d對夾層板彎曲剛度的增強作用較為明顯，而對等效密度的減小作用較為微弱，此時固有頻率隨d的增加先上升再下降的變化趨勢。

由圖5(b)可知，蜂格邊長l的增加會同時造成芯層楊氏模量、夾層板整體彎曲剛度和等效密度的降低，而對夾層板整體彎曲剛度的調控作用更加明顯，因此夾層板固有頻率隨l的增加呈略微下降的變化趨勢;當夾層板厚度較大(H=0.05 m)、l很小(l＜5 ×10－3m)時，增大l對夾層板整體彎曲剛度的減弱作用更為顯著，此時固有頻率隨l增加的下降速度較大。

3.2.4 蜂窩材料楊氏模量對夾層板固有頻率的影響

蜂窩夾層板的邊長、蜂格尺寸及彈性參數同3.2.1。圖6為蜂窩材料楊氏模量在40～200 GPa范圍內變化時對不同厚度夾層板固有頻率的影響關系曲線。

圖6 蜂窩材料彈性參數對蜂窩夾層板固有頻率的影響關系曲線Fig.6 Effects of Young’s modulus of core material on natural frequency

由圖6和式(19)、式(20)可知，蜂窩材料楊氏模量Es對芯層楊氏模量和夾層板整體彎曲剛度的貢獻很小，因此不同厚度夾層板固有頻率隨Es的增加均沒有明顯的變化，可見蜂窩材料楊氏模量對夾層板固有頻率基本沒有影響。

4 結論

針對正交各向異性蜂窩夾層板的彎曲振動問題，應用Reissner-Mindlin夾層板剪切理論，在考慮橫向剪切變形的基礎上，給出了一種將夾層板彎曲控制方程組化為僅含一個位移函數的單一方程的方法，獲得了四邊簡支矩形夾層板固有頻率的精確解，并對面板和芯層各項設計參數對夾層板固有頻率的影響進行了分析，結論如下:

(1)用本文方法計算得到的理論結果與數值結果和實驗結果的一致性很好，證明了此方法的正確性，這為進一步研究蜂窩夾層板結構的聲振特性奠定了基礎。

(2)面板厚度增加引起面板彎曲剛度增大，但同時減弱了芯層厚度對夾層板整體彎曲剛度的貢獻，夾層板固有頻率隨面板與夾層板厚度比增大呈略微下降的趨勢;面板縱向楊氏模量對夾層板彎曲剛度有正貢獻，不同厚度的夾層板固有頻率圴呈逐漸上升的變化趨勢，上升速度隨夾層板厚度的增加而加大。

(3)增大蜂格壁厚和蜂格邊長在增強夾層板整體彎曲剛度的同時會降低夾層板的等效密度，夾層板固有頻率隨d和l的增加呈略微下降的變化趨勢;但當夾層板厚度較大、d很小時，d對夾層板彎曲剛度的增強作用較為明顯，固有頻率隨d的增加先上升再下降，而當夾層板厚度較大、l很小時，增大l對夾層板整體彎曲剛度的減弱作用更為顯著，固有頻率隨l增加的下降速度較大。

(4)蜂窩材料楊氏模量Es對夾層板整體彎曲剛度的貢獻很小，不同厚度夾層板固有頻率隨Es的增加均沒有明顯變化，蜂窩材料楊氏模量不是夾層板固有頻率的主要影響因素。

［1］Allen H G.Analysis and design of structural sandwich panels［M］.London:Pergamon Press，1966.

［2］Vinson J R.The behavior of sandwich structures of isotropic and composite materials［M］. Lancaster:Technomic Publishing，1999.

［3］Wang C M. Vibration frequenciesofsimply-supported polygonal sandwich plates via kirchhoff solutions［J］.Journal of Sound and Vibration，1996，190(2):250 －255.

［4］ Monforton G R，Schmit L A J.Finite element analysis of sandwich plates and cylindrical shells with laminate faces［J］.In:Proceedings of the 2nd conference on matrix methods in structural mechanics，Wright-Patterson Air Force Base，Ohio，1969:573－616.

［5］Zhou H B，Li G Y.Free vibration analysis of sandwich plates with laminated faces using spline finite point method［J］.Composite Structure，1996，2:257 －263.

［6］ Raville M E，Veng E S.Determination of natural frequencies of vibration of a sandwich plate［J］.Exp Mech，1967，7:490－493.

［7］中國科學院力學研究所.夾層板殼的彎曲、穩定和振動［M］.北京:中國科學出版社，1977.

［8］石亦平，韓 蘭，劉群利，等.蜂窩夾層板自由振動參數影響分析及實驗研究［J］.工程力學(增刊)，1999:635－641.

［9］李永強，金志強，王 薇，等.四邊簡支條件下對稱蜂窩夾層板的彎曲振動分析［J］.機械工程學報，2008，44(5):165－169.

［10］Gibson L J，Ashby M F，Schajer G S.The mechanics of twodimension cellular materials［J］.Proc R SocA382，1982;25－42.

［11］富明慧，尹久仁.蜂窩芯層的等效彈性參數［J］.力學學報，1999，31(1):113－118.

［12］ Rao M K，Desai Y M.Analytical solutions for vibrations of laminated and sandwich plates using mixed theory.Composite Structure，2004，63:361 －373.

［13］ Wang T A.Vladimir sokolinsky，shankar rajaram，steven r.Nutt.consistenthigher-orderfree vibration analysis of composite sandwich plates［J］.Composite Structure，2008，82:609－621.