巖石的非線性西原流變模型及其應(yīng)用①

袁 林，高召寧，孟祥瑞

（安徽理工大學(xué) 能源與安全學(xué)院，安徽 淮南 232001）

0 前言

巖石材料流變研究與工程應(yīng)用中，流變特性一般都是通過將簡單模型組合成較復(fù)雜的流變模型來描述。但是，現(xiàn)有的經(jīng)典流變模型都只能描述穩(wěn)態(tài)蠕變，而不能描述加速蠕變階段。現(xiàn)在主要的研究方法是先進(jìn)行室內(nèi)實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合得到擬合函數(shù)，再結(jié)合理論分析提出數(shù)學(xué)模型［1－4］。隨著數(shù)學(xué)理論和計(jì)算機(jī)應(yīng)用的推廣，采用計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬進(jìn)行的相關(guān)研究也逐漸增多［5－6］。將現(xiàn)有模型進(jìn)行改進(jìn)使之能夠描述巖石的蠕變?nèi)^程曲線是個(gè)急需探討的問題，多年來學(xué)者們對這一課題做了相當(dāng)多的研究。總結(jié)當(dāng)前非線性流變模型的研究主要分為三類：將經(jīng)典流變模型中的線性元件用非線性元件代替，從而用于描述巖石的加速蠕變［7－9］；提出新的非線性模型并與經(jīng)典流變模型串并聯(lián)組合成能描述巖石蠕變?nèi)^程的新模型［10－12］；引入損傷力學(xué)、斷裂力學(xué)、內(nèi)時(shí)理論等新的理論構(gòu)造函數(shù)來建立非線性流變新模型［13－15］。

西原模型是一種彈－黏彈－黏塑性流變模型，由于它考慮了材料的塑性，能較好地描述巖石蠕變?nèi)^程中的前兩個(gè)階段，更適合用于描述巖土材料的流變特性，是當(dāng)前常用的流變模型中應(yīng)用較多、也較完善的模型，但是它并不能描述加速蠕變階段。以前的方法大多以屈服強(qiáng)度為依據(jù)來改進(jìn)和組合經(jīng)典模型而建立能描述加速蠕變的新模型，通過加載時(shí)間來考慮蠕變的研究較少且效果不太理想。本文通過引入能反映加速蠕變加載時(shí)間的時(shí)間元件和能描述加速蠕變曲線的非線性黏壺，將之與傳統(tǒng)西原模型進(jìn)行組合，形成一種能同時(shí)描述衰減蠕變、定常蠕變、加速蠕變的新模型。最后結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)利用Matlab軟件作出新模型的擬合曲線，并與實(shí)際試驗(yàn)曲線進(jìn)行對比分析。新模型能更好地描述巖土材料幾種不同應(yīng)力水平下的蠕變曲線，尤其是能描述蠕變?nèi)^程曲線，對非線性流變特性的研究提供了一種新的方法。

1 巖石非線性流變模型的建立

1．1 巖土材料的蠕變曲線

在不同的應(yīng)力水平下巖石的蠕變曲線有三種情況（圖1）［16］：較低應(yīng)力水平時(shí)巖石的蠕變曲線為穩(wěn)態(tài)蠕變，其中又分為初始蠕變后進(jìn)入速率為零的衰減蠕變（曲線①）及初始蠕變后進(jìn)入速率為常數(shù)的定常蠕變（曲線②）。高應(yīng)力水平時(shí)巖石的蠕變曲線為蠕變?nèi)^程曲線（曲線③），它具有初始蠕變、穩(wěn)態(tài)蠕變和加速蠕變幾個(gè)階段。傳統(tǒng)的流變組合模型一般只能描述穩(wěn)態(tài)蠕變，而不能描述巖石材料的加速蠕變。

1．2 西原正夫模型的非線性改進(jìn)

前文已述，巖石材料的蠕變?nèi)^程曲線包括瞬時(shí)變形、衰減蠕變、定常蠕變和加速蠕變。若要用流變模型描述非線性加速蠕變階段，則模型中的某些元件必須進(jìn)行非線性改進(jìn)。

圖1 典型的巖石蠕變曲線Fig．1 Typical creep curves of rock．

大量研究成果表明［3－4］，廣義 Kelvin黏彈模型雖然能夠較好的模擬瞬時(shí)變形和衰減蠕變，但模型的黏彈性參數(shù)并不是像以往認(rèn)為的常數(shù)，而是隨時(shí)間變化的量。許宏發(fā)［17］的研究表明，彈模與時(shí)間成指數(shù)衰減關(guān)系，即

式中：E（t）為彈模，GPa；t為時(shí)間，h；p，q，r為材料參數(shù)。

文獻(xiàn)［4］通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出黏塑模型中的黏壺的黏滯系數(shù)的擬合函數(shù)為

式中：η2（t）為黏滯體參數(shù)，GPa·h；t0為初始時(shí)間，h；η2（t0）為初始黏滯體參數(shù)，GPa·h；a，b為材料參數(shù)。

可見加速蠕變階段黏滯系數(shù)隨時(shí)間呈指數(shù)衰減，當(dāng)黏滯系數(shù)衰減為0時(shí)，巖石破壞。通過對式（2）的簡化和修正，提出一種新型非線性黏壺，它的黏滯系數(shù)如下：

式中：η（t）為黏滯體參數(shù)，GPa·h；A，λ為材料參數(shù)。

本文引入一種時(shí)間開關(guān)體與新非線性黏壺組合成新型黏塑體來描述加速蠕變階段，姑且稱之為TN體，如圖2所示。圖中tb為時(shí)間開關(guān)體的閥值，表示巖石材料加速蠕變的起始時(shí)間，當(dāng)t≥tb時(shí)，并聯(lián)黏壺才發(fā)揮作用。

圖2 新非線性黏塑性模型Fig．2 New nonlinear viscplastic model．

在西原模型的黏塑模型中并聯(lián)上述的TN體組合成一個(gè)能描述巖石非線性蠕變?nèi)^程的新模型，如圖3所示。

圖3 經(jīng)非線性改進(jìn)的西原模型Fig．3 The nonlinear improved Nishihara creep model．

由前面的結(jié)論推出TN體的蠕變方程為

可見，當(dāng)σ≥σs，t≥tb時(shí)，應(yīng)變速率和應(yīng)變加速度都大于零且為單調(diào)遞增函數(shù)，所以新模型可以模擬加速蠕變階段。

1．3 模型的蠕變方程

（1）當(dāng)σ＜σs時(shí)，模型退化為Kelvin－voigt模型，可以描述衰減蠕變，此時(shí)蠕變方程為

（2）當(dāng)σ≥σs，t＜tb時(shí)，模型為傳統(tǒng)西原模型，可以描述穩(wěn)態(tài)蠕變，此時(shí)蠕變方程為

（3）當(dāng)σ≥σs，t≥tb時(shí)，為經(jīng)非線性改進(jìn)的西原模型，可以描述蠕變?nèi)^程曲線，尤其是加速蠕變曲線，此時(shí)蠕變方程為

以上各式中：ε為應(yīng)變，10－3；σ0為初始應(yīng)力水平，MPa；σs為屈服強(qiáng)度，MPa；E1為彈模，GPa；ηi為黏滯體參數(shù)，GPa·h；t為時(shí)間，h；tb為加速蠕變起始時(shí)間，h；p，q，r，A，λ為材料參數(shù)。

2 實(shí)例

2．1 巖石蠕變實(shí)驗(yàn)曲線

天然頁巖單軸壓縮蠕變實(shí)驗(yàn)曲線［18］如圖4所示。從圖中可見，當(dāng)應(yīng)力水平低于屈服強(qiáng)度38MPa時(shí)，只發(fā)生初始蠕變和衰減蠕變；當(dāng)應(yīng)力水平稍高于38MPa時(shí)，則發(fā)生初始蠕變、衰減蠕變和定常蠕變；當(dāng)應(yīng)力水平大于38MPa且加載時(shí)間足夠長時(shí)，巖石發(fā)生初始蠕變、衰減蠕變、定常蠕變和加速蠕變，從而表現(xiàn)為蠕變?nèi)^程曲線。所以，前文所述的新模型能夠描述圖中的蠕變曲線。

圖4 不同應(yīng)力水平下天然頁巖的蠕變曲線Fig．4 Creep curves of natural shale under different stress levels．

2．2 巖石流變參數(shù)的確定及驗(yàn)證

將蠕變試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合而確定流變參數(shù)是普遍適用的方法，其中使用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合從而求得待定參數(shù)的方法應(yīng)用最廣泛［19］。Matlab軟件有用于曲線擬合的內(nèi)建函數(shù)和曲線擬合工具箱，適合用于各種線性或非線性曲線擬合。

本文利用Matlab軟件對新模型進(jìn)行最小二乘曲線擬合，得到各流變參數(shù)的擬合值如表1所示。

從表1中可以看出，新非線性西原模型的擬合曲線與實(shí)際試驗(yàn)曲線的相關(guān)性系數(shù)R2都為0．99左右，說明新模型能較好的模擬巖石的三種蠕變曲線。

表1 非線性西原模型的巖樣蠕變擬合參數(shù)

2．3 經(jīng)改進(jìn)的西原模型的擬合曲線及分析

從新非線性模型的擬合曲線中選取了三種蠕變曲線的代表曲線，如圖5所示。圖中可見，經(jīng)改進(jìn)的非線性西原模型能夠模擬圖1中的三種蠕變曲線，并且擬合精確度高，說明了它的合理性和可行性。

3 結(jié)論

（1）通過理論分析得出，巖石材料的蠕變曲線有三種情況，其中蠕變?nèi)^程曲線包括瞬時(shí)變形、衰減蠕變、定常蠕變和加速蠕變，并說明了必須進(jìn)行模型參數(shù)的非線性改進(jìn)來描述加速蠕變階段的原因。

（2）將黏彈性參數(shù)進(jìn)行了非線性改進(jìn)，得到了一種新非線性黏滯體模型，提出了一種考慮加載時(shí)間的時(shí)間開關(guān)體模型，將上述元件與經(jīng)典西原流變模型進(jìn)行組合形成一種新型的非線性西原模型，通過推導(dǎo)證明新模型能夠模擬巖石的加速蠕變階段。

（3）用Matlab軟件將新模型和實(shí)際試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，得到了新模型的擬合曲線，可知它能較好地描述巖石材料的各種蠕變曲線，尤其是它可以較精確地描述加速蠕變階段，所以新非線性模型比傳統(tǒng)的流變模型更適合描述巖石材料的流變現(xiàn)象。

（4）采用本文方法對改進(jìn)的非線性西原流變模型進(jìn)行非線性擬合，其待定參數(shù)較少，易于操作，擬合程度好，便于推廣應(yīng)用。

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