多級串聯非比例阻尼隔震結構地震響應分析①

杜永峰，張尚榮，李 慧

（1．防震減災研究所，蘭州理工大學，甘肅 蘭州 730050；2．西部土木工程防災減災教育部工程研究中心，蘭州理工大學，甘肅 蘭州 730050）

0 引言

由于隔震體系的隔震層與本體結構的阻尼性能有很大差異，結構整體呈現出非比例阻尼的特性。上個世紀50年代以來，國內外學者對非比例阻尼體系作了很多研究：Kelly［1］采用實振型分解法求解了雙自由度基礎隔震模型相對位移的近似小參數解；汪夢甫［2］采用虛擬激勵法得到非比例阻尼線性體系隨機地震響應計算的一般實數解析解答；周君求和彭躍社［3］采用矩陣攝動法得到非比例阻尼振動系統的近似解析解；筆者［4］采用分區瑞利阻尼模型，將實振型分解法應用于一般多自由度隔震結構體系的動力響應分析。

隨著隔震技術的不斷深入研究和快速發展，隔震層的位置已不再局限于基礎頂面，本次修訂的建筑抗震設計規范（GB50011－2010）［5］對隔震層位置也做了擴展，由“建筑物基礎與上部結構之間”"改為“建筑物基礎、底部或下部與上部結構之間”，這類層間隔震模式將整個隔震結構體系分成上部結構、隔震層、下部結構。若各子結構阻尼性能都不同，對于層間剪切型結構就構成了多級串聯非比例阻尼模型，如圖1所示。鑒于分區瑞利阻尼模型的物理意義直觀，便于工程應用［6－7］，本文引用該模型并將這種阻尼矩陣表達形式推廣至多級串聯非比例阻尼模型，采用狀態空間法對其進行地震響應分析。

圖1 （GB50011－2010）隔震結構計算簡化模型Fig．1 The simplified calculation model of（GB50011－2010）Isolated structure．

1 多級串聯非比例阻尼隔震結構動力分析

1．1 多級串聯非比例阻尼隔震結構運動方程

多級串聯非比例阻尼體系在形式上仍與常見剪切型結構體系類似，其運動方程為

其中，［M］、［C］、［K］分別是系統的質量、阻尼、剛度矩陣；｛u｝、｛˙u｝、｛¨u｝分別是質點相對于地面的位移、速度、加速度向量；為地震地面加速度。

與一般常見結構不同的是阻尼矩陣［C］，具有多級串聯非比例阻尼特性的結構。引用分區瑞利阻尼模型，將阻尼矩陣表達為

式中，［C0］代表瑞利阻尼矩陣；［Cr］為體現非比例阻尼的余項阻尼矩陣：

式中，al，bl，ai，bi，a，b分別是下部子結構、隔震層和上部子結構的瑞利阻尼比例系數，其值可由下式求得［6］：

式中，ξl、ξeq、ξ分別為下部子結構、隔震層和上部子結構的阻尼比。ω1和ωj分別為對系統動力響應有顯著貢獻的低階和高階圓頻率。

式中，mj＋1和kj＋1分別是隔震層的質量和剛度；［Ml］和k1，k2，…kj分別是下部子結構的質量矩陣和層間剛度；［Mu］和kj＋2，…，kn分別是上部子結構的質量矩陣和層間剛度。

1．2 多級串聯非比例阻尼隔震結構分析方法

為求解式（1）～（5）所表達的多級串聯非比例阻尼隔震結構的動力響應，在狀態空間法中，運動方程（1）可表示為

式中

其中，｛δ｝＝［1 1…1］T；［I］為單位矩陣。根據需要給出表達式（8）、（9）中的各個分量，得出結構相對位移、速度或加速度響應。

2 算例分析

2．1 算例參數

算例1：選用筆者承擔的一地下1層、地上10層鋼筋混凝土框剪結構，結構參數如表1所示。隔震層位于地下室頂部，隔震參數如表2所示。

算例2：將算例1中結構形式改造為基礎隔震結構，上部結構及隔震層參數與算例1相同，用作對比算例。

該建筑位于Ⅷ度（0．2g）設防烈度區，二類場地土，根據規范要求，選取符合場地要求的七條地震波，其中包括EI－Centro波、TAR＿TARZ波、Nor＿90＿w波、Taft021波、ANA＿00＿w波、蘭州波、唐山波，計算結果取其最大平均值。

表1 結構參數（X向）

表2 隔震層剛度和質量（X向）

2．2 算例時程分析

（1）對算例1參數代入本文算法模型（8）～（12）進行時程分析，與采用MATLAB編制的 Wilson－θ法的結果進行對比；結果顯示本文算法所得結構的位移、速度、加速度響應與Wilson－θ法結果一致，其中罕遇地震下結構地下室位移時程曲線如圖2所示，其結果吻合較好，表明本文所用分析程序合理，可用于隔震結構彈性分析。

（2）隔震層參數相同時，分析結果如圖3、4所示。算例1所得隔震層最大位移、最大層剪力比均大于相應的算例2的結果。這表明對帶有地下室或大底盤之類的隔震結構，不能套用現有基礎隔震體系的某些方法，若采用基礎隔震模型進行動力分析，其結果存在誤差。

圖2 EI－centro波（400gal）作用下地下室位移時程曲線Fig．2 Displacement time－history curve of basement under EI－centro wave（400gal）．

為模擬算例1的動力分析結果趨近于算例2的動力分析結果，現假定算例1中地下室的剛度和質量同比例增大。在此假定下，比較分析結構響應隨地下室剛度增加的變化趨勢。整體結構最大層剪力比、隔震層最大位移隨地下室剛度和質量的增加變化趨勢分別如圖5、圖6所示。由于在本算例分析中的阻尼采用分區瑞利阻尼，而阻尼矩陣與剛度和質量相關，在分析過程中發現，當剛度增大20%以后層剪力比發散。考慮到一般結構阻尼變化很小，故在剛度增大20%時，保持阻尼矩陣不變，剛度和質量同比例增加，層剪力比系數與隔震層最大位移逐漸減小。當剛度和質量同時增大4～6倍時，層剪力比系數與隔震層最大位移趨近于算例2所得對應值，如表3、表4中剛度、質量增幅為400%、600%時的對應值所示。

圖3 多遇地震下最大平均層剪力比Fig．3 Maximum average layer shear ration under frequency earthquake．

圖4 罕遇地震下最大平均位移 （m）Fig．4 Maximum average displacement under rear earthquake．

表3 基礎隔震計算結果

圖5 最大層剪力比隨地下室剛度、質量變化Fig．5 Maximum layer shear ration changes with the basement stiffness and quality．

圖6 隔震層最大位移隨地下室剛度、質量變化Fig．6 Maximum displacement of isolation layer changes with the basement stiffness and quality．

表4 串聯隔震結構響應隨地下室剛度、質量增幅變化表

3 結論

本文對建筑抗震設計規范（GB50011－2010）修訂的多級串聯非比例阻尼隔震結構計算模型進行理論研究，并對其作了隔震性能分析，通過分析得出如下結論：

（1）本文推導的多級串聯非比例阻尼矩陣物理意義明確。運用本文推導的阻尼矩陣進行動力分析較實用，對工程設計計算具有指導意義。

（2）隨著下部結構剛度的增加，結構的層剪力和隔震層位移動力響應峰值均趨向于基礎隔震結構的對應值，當下部結構為一層，且層間剛度大于上部結構底層層間剛度4～6倍時，可以近似按基礎隔震結構進行動力分析。

［1］ J M Kelly．The role of damping in seismic isolation［J］．Earthquake Engineering and Structure Dynamic，1999，28（1）：3220－3221．

［2］ 汪夢甫．非比例阻尼線性體系平穩隨機地震響應計算的虛擬激勵法［J］．計算力學學報，2008，25（1）：94－99．

［3］ 周君求，彭躍社．求解弱非比例阻尼系統實模態解的阻尼矩陣攝動法［J］．動力學與控制學報，2008，6（5）：322－326．

［4］ 杜永峰，李慧，B F Spencer，等．非比例阻尼隔震結構地震響應的實振型分解法［J］．工程力學，2003，20（4）：24－32．

［5］ 中華人民共和國行業標準．GB50011－2010建筑抗震設計規范［S］．北京：中國建筑工業出版社，2010．

［6］ 杜永峰，趙國藩．隔震結構中非經典阻尼影響及最佳阻尼比分析［J］．地震工程與工程振動，2000，20（3）：100－108．

［7］ Yongfeng Du，Hui Li，Billie F，et al．Effect of non－proportional damping on seisimic isolation［J］．Journal of structural control，2002，9：205－236．

［8］ 周福霖．工程結構減震控制［M］．北京：地震出版社，1997．

［9］ 李春鋒，杜永峰，李慧．阻尼連體結構地震響應影響參數研究［J］．西北地震學報，2012，34（1）：33－38．

［10］ Clough R W，Penzien J．Dynamics of structures 2nd ed［M］．New York：McGraw－Hill，1993．