飽和土中圓柱形襯砌對(duì)瞬態(tài)彈性波的散射①

王 瀅，高 盟，2，高廣運(yùn)，張先林

（1．同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092；2．山東科技大學(xué) 山東省土木工程防災(zāi)減災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島 266510；3．上海市規(guī)劃和國土資源局，上海 200003）

0 前言

地下隧道、各類埋置的運(yùn)輸管道、地下石油儲(chǔ)運(yùn)設(shè)施等重要工程常常會(huì)受到彈性波的作用，波與結(jié)構(gòu)間的動(dòng)力相互作用將影響到這些地下工程的安全。因此該類地下結(jié)構(gòu)在彈性波作用下的動(dòng)力響應(yīng)研究日益受到重視。

通常，這類問題分為兩類：穩(wěn)態(tài)問題和瞬態(tài)問題。眾多學(xué)者對(duì)穩(wěn)態(tài)彈性波入射下地下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了研究。如Pao和 Mow［1］采用波函數(shù)展開法開創(chuàng)性地研究了無限空間中洞室在彈性波入射下的動(dòng)應(yīng)力集中；Lee和 Trifunac［2－4］，Luco等［5］和Davis等［6］運(yùn)用復(fù)變函數(shù)法給出了半空間中無殼洞室對(duì)P和SV波散射問題的解析解；Karinski等［7］分析了全空間飽和介質(zhì)中帶有襯砌的洞室在平面波作用下的動(dòng)應(yīng)力集中；劉殿魁等［8］研究界面上的圓形襯砌結(jié)構(gòu)對(duì)平面SH波散射與動(dòng)應(yīng)力集中，給出了關(guān)于圓形襯砌結(jié)構(gòu)界面上動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的數(shù)值結(jié)果，并討論了圓形襯砌結(jié)構(gòu)界面的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的影響因素；周香蓮等［9］運(yùn)用復(fù)變函數(shù)法研究了飽和土中的圓形襯砌結(jié)構(gòu)對(duì)彈性波的散射和動(dòng)應(yīng)力集中，得到飽和土的位移、應(yīng)力和孔壓的表達(dá)及襯砌結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)力表達(dá)，對(duì)波數(shù)及襯砌結(jié)構(gòu)厚度等參數(shù)進(jìn)行了分析。劉干斌等［10］給出了全空間中半滲透圓柱形殼結(jié)構(gòu)對(duì)平面P波散射的解析解；丁光亞等［11］在Biot波動(dòng)理論的基礎(chǔ)上，引入更符合工程實(shí)際的半透水邊界條件，給出了半空間均質(zhì)飽和土中半滲透圓柱形殼結(jié)構(gòu)對(duì)平面P波散射的級(jí)數(shù)解。

然而，關(guān)于地下結(jié)構(gòu)對(duì)彈性波的散射問題的研究主要集中于穩(wěn)態(tài)彈性波，對(duì)于瞬態(tài)彈性波則少有涉及。Baron［12］首先研究了彈性介質(zhì)中圓柱形殼體對(duì)瞬態(tài)壓力波的散射；Yoshihara等［13］和Paul等［14］求解了平面彈性波與圓柱形襯砌的瞬態(tài)相互作用問題；Garnet等［15］研究了彈性均勻介質(zhì)中任意厚度圓形襯砌的瞬態(tài)反應(yīng)；Peralta［16］給出了瞬態(tài)彈性波散射問題的解答的近似求解方法；Kobayashi和Nishimura［17］應(yīng)用邊界積分方程法研究了二維瞬態(tài)波的散射；Pao等［18］運(yùn)用廣義射線法討論了柱體的瞬態(tài)波散射。上述研究主要限于彈性地基的情況，有關(guān)飽和地基中彈性波與襯砌的瞬態(tài)相互作用問題，國內(nèi)外還未見有文獻(xiàn)報(bào)道。

針對(duì)現(xiàn)有研究的不足，本文運(yùn)用Laplace變換和波函數(shù)展開法，求解單位階躍彈性波入射條件下飽和土中圓柱形襯砌的動(dòng)力響應(yīng)解答。利用La－place逆變換的數(shù)值方法，給出問題的數(shù)值解，并分析襯砌結(jié)構(gòu)的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的波型特性和材料剪切模量、襯砌厚度對(duì)動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的影響。

1 飽和土中波場的求解

考慮一個(gè)沿x正向傳播的單位階躍入射波擾動(dòng)，如圖1所示。入射波可以表示為

式中，φ0為入射波幅值；H［t－（x＋a1）／cp］為單位階躍函數(shù)，其中t＝0是入射波首先到達(dá)x＝－a1的時(shí)間；cp為入射波波速；a1為圓柱形襯砌外半徑；a2為圓柱形襯砌內(nèi)半徑；a2－a1＝h為襯砌厚度。

圖1 計(jì)算模型Fig．1 Analysis model．

對(duì)式（1）進(jìn)行Laplace變換得

為計(jì)算方便，將式（2）改寫成級(jí)數(shù)的形式：

式中，p為拉普拉斯變換參數(shù)；In（·）為第一類變形的Bessel函數(shù)；β＝p／cp；當(dāng)n＝0時(shí)on＝1，當(dāng)n≥1時(shí)on＝2。

1．1 散射波場的求解

入射波遇到襯砌結(jié)構(gòu)后，在飽和土中產(chǎn)生一個(gè)向外傳播的散射波場。

在動(dòng)力荷載作用下，以直角坐標(biāo)表示，土體的本構(gòu)關(guān)系為［19］

滲流連續(xù)方程為

式中，σij為土體的總應(yīng)力；εij、e分別為土骨架的應(yīng)變和體積應(yīng)變；σf為孔壓；A、N為土骨架的Lame常數(shù)；δij為Kronecker符號(hào)；?為單位體積中流體量的改變量；α和M為Biot參數(shù)。

土骨架和流體的運(yùn)動(dòng)方程為

式中，ui、wi分別為土骨架位移和流體相對(duì)于土骨架的位移；ρ、ρf分別為土體總密度及流體密度，ρ＝（1－n）ρs＋ρf，ρs為土骨架固體材料密度；n為土體的孔隙率；η為孔隙流體的動(dòng)力粘滯系數(shù)；kd為動(dòng)力滲透系數(shù)。

式中，eijk為直角坐標(biāo)系下的置換張量。

將式（9）和式（10）代入式（7）和式（8）可得

式中 ▽2＝?／?x2＋?／?y2，p為拉普拉斯變換參數(shù)。

由式（13）可得

由式（14）可得

式中，

將式（22）進(jìn)一步分解可得

式（23）和式（24）為修正的 Helmholtz方程，根據(jù)分離變量法，可得其通解為

同理，由式（15）～式（17）可得

式中，上標(biāo)s表示散射波；Kn（·）為第二類變形的Bessel函數(shù)。

將式（27）、（28）代入式（13）的第（1）式和第（2）式可得

式中，an、bn、cn、dn、en為待定系數(shù)。

1．2 飽和土中的總波場

飽和土中總波場由入射波場和散射波場構(gòu)成，即

在極坐標(biāo)系下，飽和土體中勢函數(shù)與位移、應(yīng)力和孔壓的關(guān)系為

2 襯砌結(jié)構(gòu)波場的求解

將襯砌結(jié)構(gòu)視為彈性均勻介質(zhì)，則襯砌結(jié)構(gòu)存在兩種體波：壓縮波和剪切波。在直角坐標(biāo)系下，襯砌結(jié)構(gòu)的控制方程可表示為

式中，ρ1為襯砌結(jié)構(gòu)的密度；A1，N1為襯砌結(jié)構(gòu)的Lamé常數(shù)。

引入兩個(gè)襯砌結(jié)構(gòu)的勢函數(shù)φ、ψ，則襯砌結(jié)構(gòu)位移ui可表示為

將式（43）代入式（42）可得

極坐標(biāo)系下，式（45）的解答可表示為

式中fn，gn，mn，nn為待定系數(shù)。

根據(jù)襯砌結(jié)構(gòu)的幾何方程、本構(gòu)關(guān)系及平衡方程可得由式（46）表示的位移、應(yīng)力表達(dá)式：

3 邊界條件

在襯砌結(jié)構(gòu)的外邊界上，即r＝a1處，根據(jù)飽和土與襯砌結(jié)構(gòu)結(jié)合部分的連續(xù)性條件可得

式中，下標(biāo)Ⅰ、Ⅱ分別表示襯砌結(jié)構(gòu)與飽和土的變量。

由于襯砌結(jié)構(gòu)不透水，接觸面上流體相對(duì)于土骨架的法向位移為零：

由上述條件可得

式中系數(shù)見附錄。至此，待定系數(shù)an，bn，cn，dn，en，fn，gn，mn，nn已完全確定。

4 時(shí)域解

以上推導(dǎo)了彈性土中圓柱形孔洞內(nèi)源問題頻域解，為在物理空間獲得時(shí)域解，只須對(duì)以上各式施以Laplace逆變換。直接進(jìn)行Laplace逆變換得到解析解是困難的，而必須借助于數(shù)值方法。本文采用Durbin［20］的Laplace數(shù)值逆變換的方法。該方法可表示為

NSUM的值由以下的收斂準(zhǔn)則確定：

式中：T為所求的時(shí)間間隔；通常ε＝10－6～10－10，aT＝5～10，T＝20，NSUM＝50～5 000就可以得到精度較高的結(jié)果。本文取aT＝10，NSUM＝50。

5 數(shù)值結(jié)果與參數(shù)分析

定義動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)σ＊為飽和土體與襯砌結(jié)構(gòu)結(jié)合面或襯砌結(jié)構(gòu)內(nèi)邊界上的切應(yīng)力與入射應(yīng)力的最大幅值的比值，即

飽和土介質(zhì)參數(shù)取值：土體的孔隙率n＝0．40；土骨架密度ρs＝2 500kg／m3，流體密度ρf＝1 000 kg／m3；土體剪切模量G＝1．0×107Pa；土體泊松比μ＝0．4；流體動(dòng)力粘滯系數(shù)η＝1．0×10－2Pa·s，kd＝1×10－7m2；Biot參數(shù)α＝0．999；M＝1．0×108Pa。

襯砌結(jié)構(gòu)的計(jì)算參數(shù)如下：內(nèi)半徑a2＝3 000 mm，外半徑a1＝3 300mm，即襯砌厚度h＝300 mm；襯砌材料密度ρL＝2 800kg／m3；襯砌材料的泊松比μL＝0．2；襯砌材料的剪切模量GL＝2．0×108Pa。

5．1 動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的波型和綜合特性

由式（46a）、式（46b）及式（50）可得

可以明顯的看到，式（62）所表示的瞬態(tài)應(yīng)力可以看作是各個(gè)波型，即n＝0，1，2，…時(shí)的反應(yīng)所產(chǎn)生的應(yīng)力的總和。

圖2 波型隨階次n的變化Fig．2 Variation of the wave type with order n．

圖2給出了θ＝π／2時(shí)，n＝1，2，3，4，5，6，7時(shí)應(yīng)力的波型。由圖可知，除n＝1外，所有波型的影響主要都是來自“早期”。如果對(duì)時(shí)間t進(jìn)行無量綱化處理，即τ＝cst／a1，則發(fā)現(xiàn)所有波型的主要貢獻(xiàn)均來自τ＜1。隨著n的階次的增大，波型呈現(xiàn)出明顯的衰減趨勢，當(dāng)n＞7時(shí)，波型基本趨近于水平狀態(tài)。

圖3 迎波面和背波面波型特性Fig．3 Chracteristics of front and back wave surface．

圖3給出了θ＝π／4，θ＝π／2，θ＝3π／4，θ＝π，θ＝5π／4時(shí)的波型。顯然最先到達(dá)襯砌周邊的波是在θ＝π處，此時(shí)τ＝0。到達(dá)θ＝π／2的時(shí)間是τ＝1，因此迎波面的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)最大。

5．2 剪切模量對(duì)動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的影響

圖4 剪切模量對(duì)襯砌動(dòng)應(yīng)力集中的影響Fig．4 The influence of shear modulus on dynamic stress concentration factor on the lining．

保持其它參數(shù)不變，分別計(jì)算：（1）土體剪切模量G＝1．0×107Pa，襯砌剪切模量GL＝2．0×108Pa；（2）土體剪切模量G＝2．0×108Pa，襯砌剪切模量GL＝1．0×108Pa兩種情況下襯砌結(jié)構(gòu)的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)。圖4給出了θ＝π／2時(shí)兩種情況下動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的波型。從圖中可以看出，當(dāng)G＜GL，即土體較襯砌結(jié)構(gòu)軟時(shí)，動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)較大；而當(dāng)G＞GL，即土體較襯砌結(jié)構(gòu)硬時(shí)，動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)顯著減小。

5．3 襯砌厚度對(duì)動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的影響

保持其它參數(shù)不變，分別取h＝200mm、250 mm、300mm。圖5為不同襯砌厚度動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)波型。由圖可知，襯砌厚度越大，動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)越小。顯然增大襯砌厚度是減小動(dòng)應(yīng)力集中的有效手段。

圖5 襯砌厚度對(duì)襯砌動(dòng)應(yīng)力集中的影響Fig．5 Influence of lining＇s thickness on dynamic stress concentratio．

6 結(jié)論

采用Laplace變換和波函數(shù)展開法，求解了單位階躍彈性波入射條件下，飽和土中圓柱形襯砌的動(dòng)力響應(yīng)解答，研究了襯砌結(jié)構(gòu)的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的波型特性及材料剪切模量和襯砌厚度對(duì)動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的影響，結(jié)論如下：

（1）襯砌結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)應(yīng)力可以看作是各個(gè)波型，即n＝0，1，2，…時(shí)的反應(yīng)所產(chǎn)生的應(yīng)力的總和，除n＝1外，所有波型的影響主要都是來自τ＜1。隨著n的階次的增大，波型呈現(xiàn)出明顯的衰減趨勢。迎波面的動(dòng)應(yīng)力集中最顯著。

（2）當(dāng)G＜GL，即土體較襯砌結(jié)構(gòu)軟時(shí)，動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)較大；而當(dāng)G＞GL，即圍巖較襯砌結(jié)構(gòu)硬時(shí)，動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)顯著減小。

（3）襯砌厚度越大，動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)越小，增大襯砌厚度是減小動(dòng)應(yīng)力集中的有效手段。

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附錄