三層供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)運作的一個雙向折扣模型

徐 鑫

（安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230039）

三層供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)運作的一個雙向折扣模型

徐 鑫

（安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230039）

文章在前人研究的基礎(chǔ)上，將需求看成是彈性的，并結(jié)合Khouja的多重折扣的研究，構(gòu)建了一個三層供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)運作的雙向折扣模型，即：既考慮銷售商提供給客戶一個折扣外，同時也將供貨商提供給銷售商的折扣納入考慮之中；對于剩余產(chǎn)品的處理，將以一個低于成本的價格進行出售，針對上述情況構(gòu)建使得總利潤函數(shù)達到最大的數(shù)學(xué)建模，并通過模型求解得出雙向折扣模型下的最優(yōu)的初始訂價和最優(yōu)的折扣價格。最后給出一個算例對所構(gòu)建模型進行了分析。

訂購量；彈性需求；供應(yīng)鏈；雙向折扣

0 引言

當(dāng)前市場銷售易的產(chǎn)品，大多都是為了刺激顧客購買、降低自身的庫存壓力，提高自己懂得利潤，所以在此目的下確定最優(yōu)的訂價策略和最優(yōu)的折扣價格是一個值得研究的課題。目前，考慮采用價格折扣和數(shù)量折扣來協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈的相關(guān)文章很多，文獻[1]提出一個臨時性折扣下的最優(yōu)經(jīng)濟訂購批量的庫存模型。文獻[2]在不允許缺貨的情況下，考慮總量折扣及超過部分才享有數(shù)量折扣的兩種情況下最優(yōu)經(jīng)濟批量的確定問題。文獻[3]推導(dǎo)了具有多次折扣的報童問題，并說明了零售商若實行多次的折扣會比只使用單一的折扣得到比較高的期望利潤。文獻[4]建構(gòu)了多項產(chǎn)品在儲存及預(yù)算的雙重限制下多次折扣的報童問題，并發(fā)展出一套算法來解決此問題。文獻[5]針對單一周期的庫存模型，在商品價格隨季節(jié)變動時，以價格為基礎(chǔ)建構(gòu)庫存模式，并進行相應(yīng)參數(shù)的靈敏度分析。文獻[6]探討在線性需求函數(shù)且考慮多重折扣下之報童模式最佳化問題。

上述文獻大從多數(shù)量折扣或價格折扣的角度對庫存模型進行研究，但沒有從買賣雙方的聯(lián)合成本方向?qū)齑鎲栴}進行研究。

從文獻的分析我們可以看出，在對供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題的研究中有些學(xué)者以價格折扣或數(shù)量折扣為主進行模型的建立和研究，也有些學(xué)者是從買賣雙方的聯(lián)合成本方向進行考慮構(gòu)建庫存協(xié)調(diào)模型，但我們發(fā)現(xiàn)同時考慮供貨商與銷售商一體化的庫存文獻卻不多見。因此，本研究以此方向作為本文的研究主體，在給定訂購量與初始訂價的情形下，使用折扣價格及折扣數(shù)量為協(xié)調(diào)手段進行模型構(gòu)建，并尋找最優(yōu)的折扣次數(shù)和訂購批量使得總利潤達到最大化。

1 符號約定和假設(shè)

1.1 符號約定

P0：初始訂價；

Pi：第i次的折扣價格(i=1,2)；

K：每次折扣的固定成本；

di：第i次折扣價格的區(qū)間(i=1,2,3)；

p：單位產(chǎn)品的成本價格；

Π：總利潤函數(shù)；

P ：價格，它是需求的函數(shù)，即 P=α+βe-λx（λ為彈性系數(shù)）；

Xi：各價格點處的銷售量(i=0,…,n)；

Xi,j：各價格點處的市場的銷售量(j=0,…,n)；

Q：訂購量；

I：成本回收比例系數(shù)（0＜I＜1）。

1.2 假設(shè)

（1）價格和需求的關(guān)系看成是彈性的；

（2）所銷售的產(chǎn)品是沒有變質(zhì)的情況；

（3）初始訂價由銷售商依價格需求函數(shù)決定；

（4）每次的價格折扣都有固定成本的支出。

2 模型建立及求解

2.1 銷售商在銷售過程中針對下游顧客的折扣模型及求解

由圖1發(fā)現(xiàn)，銷售商銷售該商品的初始訂價為P0，若銷售數(shù)量達到 X0=λ-1[lnβ-ln(a+d1+d2+d3)]，則進行第一次折扣，第一次折扣訂價為P1；若銷售數(shù)量達到X1=λ-1?[lnβ-ln(a+d2+d3)]，則進行第二次折扣，第二次折扣定價為 P2；并于最后將數(shù)量 X2=λ-1[lnβln(a+d3)]全部售完。

圖1 銷售商價格需求函數(shù)

因此，如何決定初始訂價P0、第一次折扣價格P1以及第二次折扣價格P2是使得總利潤達到最大化的關(guān)鍵所在；而確定P0、P1以及P2的實質(zhì)在于確定出每次折扣的折扣區(qū)間值，即d1、d2和d3?？偫麧櫤瘮?shù)由上述假設(shè)和條件可知為如下形式，即：

為了使得總利潤達到最大，也就是是使得（1）式的結(jié)果達到最大，即：

由式(8)可知，β為d3的函數(shù)，因此求解最優(yōu)的d3值時，可運用如下的數(shù)值分析算法進行求解。

（1）設(shè)定各項參數(shù)之初值。

（2）建立數(shù)學(xué)表達式

（3）設(shè)d3=0為起始值，代入公式(9)，求得 f(d3)值。

（4）令 d3=d3+ Δ x ，代入公式(9)，計算 f(d3)值，若f(d3)＞0，則重復(fù)執(zhí)行該步驟。

（5）若 f(d3)＜0，則執(zhí)行步驟（6）。

（7）顯示最終結(jié)果 d3=d3－ Δ x ，將 d3代入式(6)、(7)得到d1、d2值并結(jié)束。

在給定β下，求解符合要求之近似解d3，再代回公式(6)、公式(7)得到 d1、d2。

定理Π(d1,d2,d3)為嚴格凹函數(shù)，且在d1、d2、d3處取得極大值（證明略） 。

2.2 銷售商針對上游供應(yīng)商供貨過程中的折扣模型及求解

上游供貨商對銷售商所提供的折扣為如圖2所示。

圖2 銷售商針對供應(yīng)商提供的進貨折扣

依據(jù)銷售商所制定的折扣價格以及不同的訂購量所導(dǎo)致的購買單價不同，我們可以得到不同進貨成本下的總利潤函數(shù)為：

其中I（0＜I＜1）值為成本回收比例系數(shù)，其涵義為：剩余部份以低于成本價銷售。

為求得使得總利潤達到最大的最大值和最優(yōu)訂購批量，其求解過程如下：

（1）計算各個折扣成本下之最優(yōu)訂購量X2,j；

（2）找出折扣最大、且為折扣范圍內(nèi)的最優(yōu)訂購批量：

同理當(dāng)折扣大于Cj+1，可針對各個折扣成本做探討，則公式(14)可以一般式表示之，如公式(14)所示。

因此，在0＜I＜1的條件下，我們可知：

（1）若I≥Ij?+1，則需要取得更大的折扣，接著只需比較下一個邊界點之后的總利潤值 Max{Π(Qj+k|Cj+k),k=1,2,...,n-j}即可發(fā)現(xiàn)總利潤最大值。

3 算例

表1 相關(guān)參數(shù)值

根據(jù)表1和圖3由(9)式運用Matlab軟件求解最優(yōu)d3值為 d3=59；代入(6)式、(7)式，得 d2=76、d1=94。

可知總利潤為Π(59,76,94)=10668.56。

另外得知初始訂價 P0=469，若銷售數(shù)量達到X0=33，則進行第一次折扣，第一次折扣訂價P1=375，若銷售數(shù)量達到X1=71.7，則進行第二次折扣，第二次折扣訂價 P2=299 。 X2=λ-1?[lnPd-ln(a+d3)]=121.2 為最優(yōu)訂購量，此時總利潤10668.56元為最大值。

依據(jù)上述方法求得各進貨成本下之總利潤、最優(yōu)訂購批量與臨界訂購批量并結(jié)合所選的0＜I＜1的值加以分析，見表2。

表2 在0＜I＜1情況下不同折扣所對應(yīng)的最優(yōu)解

若I≥0.66，要取得更大的折扣，則可獲得總利潤最大值；若I＜0.66，不需要取得更大的折扣。

4 結(jié)論

本文研究以Khouja的文章為參考依據(jù)，將價格需求函數(shù)改為彈性性模型，進行具雙向折扣之最優(yōu)訂購量及最優(yōu)訂價策略分析，并給出了相應(yīng)的算例分析。本文考慮三個價格，后續(xù)研究可針對更多重之折扣問題加以分析。可以將進貨折扣過程中的折扣點的設(shè)計考慮成決策變量進行進一步的模型構(gòu)建。

[1]Tersine,R.J.，R.L.Price,Temporary Price Discd Materials Manage?ment[J].Journal of Purchasing Production and Inventory Management,1981（,15）.

[2]Tersine,R.J.，R.A.Toelle.Lot Size Determination with Quantity Dis?counts[J].Production and Inventory Management,1985,26（3）.

[3]Khouja,M.The Newsboy Problem under Progressive Multiple Dis?counts[J].European Journal of Operational Research,1995,84（2）.

[4]Khouja,M.，A.Mehrez.A Multi-Product Constrainted Newsboy Prob?lem with Progressive Multiple Discounts[J].Computers Industrial Engi?neering,1996,30（1）.

[5]Urban,T.L.，R.C.Baker.Optimal Ordering and Pricing Policies in a Single-period Environment with Multivariate Demand and Markdowns[J].European Journal of Operational Research,1997,(103).

[6]Khouja,M.Optimal Ordering,Discounting,and Pricing in the Sin?gle-period Problem[J].International Journal of Production Economics,2000,(65).

F270.5

A

1002-6487（2012）24-0057-03

國家自然科學(xué)基金資助項目(70571001)；安徽省優(yōu)秀青年科技資助項目(08040106835)；安徽省教育廳資助項目(KJ2011Z018)；安徽省自然科學(xué)基金資助項目(070416245)

徐 鑫（1979-），男，安徽巢湖人，碩士，講師，研究方向：運籌與決策、方程和控制理論。

（責(zé)任編輯/亦 民）