一種多指標(biāo)綜合評價和決策的新方法

王積建

（浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 溫州 325027）

一種多指標(biāo)綜合評價和決策的新方法

王積建

（浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 溫州 325027）

在多指標(biāo)綜合評價和決策問題中，文章通過引入負(fù)理想距離這一因素，解決了當(dāng)兩個方案在相似系數(shù)和正理想距離都相等時不能評判的問題.所建立的綜合評價函數(shù)既兼顧了相似系數(shù)、負(fù)理想距離和正理想距離這三個因素，又進(jìn)行了無量綱化處理而具備了直接可加性，使得評價結(jié)果更全面、更科學(xué)、更合理、更可靠。

綜合評價；相似系數(shù)；理想解

0 引言

多指標(biāo)綜合評價是實(shí)踐中經(jīng)常采用的一種決策方法，任何一種綜合評價模型都可以表示為Z=f(R,W)的形式，于是關(guān)于綜合評價方法的研究大致可以歸結(jié)為4個方向：

（1）數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化方法的研究，即R的確定方法，以及數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化方法對評價結(jié)果的影響研究[1]；

（2）權(quán)重的確定方法研究，即W的確定方法有主觀權(quán)重、客觀權(quán)重和組合權(quán)重；

（3）綜合評價函數(shù)的選取,即 f的確定方法.有線性加權(quán)法，模糊優(yōu)選法[2]等；

（4）多方法評價結(jié)論的非一致性研究[3～6]，以及由此引出的組合評價法[7～13]。

本文從改進(jìn)綜合評價函數(shù) f的角度進(jìn)行探討。

文獻(xiàn)[14]提出了多指標(biāo)評價的TOPSIS方法，即

其中，di+表示方案Ai到正理想方案A+的距離，di-表示方案Ai到負(fù)理想方案A-的距離，fi越大表示方案Ai越優(yōu).這種評價函數(shù)有明顯的缺陷。

文獻(xiàn)[15]提出多指標(biāo)評價函數(shù)為：

其中，Di表示方案Ai到正理想方案A+的投影，fi越大表示方案Ai越優(yōu)。文獻(xiàn)[16]指出，這種評價函數(shù)也有明顯的缺陷，如圖2所示，由于D1=D2，所以無法判定A1與A2的優(yōu)劣，建議將多指標(biāo)評價函數(shù)改進(jìn)為

fi越大表示方案Ai越優(yōu)。文獻(xiàn)[17]指出，這種評價函數(shù)也有明顯的缺陷，即在圖3的情況下，由 D1＞D2,d1+=d2+而評判A1優(yōu)于A2是錯誤的，建議將多指標(biāo)評價函數(shù)改進(jìn)為：

其中，ri表示方案Ai與正理想方案A+的相似系數(shù)（即向量Ai和A+的夾角余弦值），fi越大表示方案Ai越優(yōu)。

筆者認(rèn)為，（4）式同樣有缺陷。首先，當(dāng) r1=r2,d1+=d2+時，將無法判定A1與A2的優(yōu)劣；其次，由于ri測度的是方案Ai與正理想方案A+在方向上的差異性，而di測度的是方案Ai與正理想方案A+在距離上的差異性。由于方向和距離是相互獨(dú)立的，所以ri和di在數(shù)量上缺乏可比性，因而不具備直接可加性。

基于以上分析，筆者認(rèn)為，首先，應(yīng)該將方向測度和距離測度進(jìn)行無量綱化處理，即將ri和di分別進(jìn)行無量綱化處理，然后再相加；其次，為了解決在r1=r2,d1+=d2+時無法評判的問題，需要引入負(fù)理想方案A-，并設(shè)di-表示方案Ai到負(fù)理想方案A-的距離，di-越大表示方案Ai越優(yōu)。由于d1-＞d2-，所以應(yīng)該判定A1優(yōu)于A2，于是我們建議將多指標(biāo)評價函數(shù)改進(jìn)為：

1 基本原理

問題描述：設(shè)有m個方案A1,A2,...,Am，每個方案有n個指標(biāo)C1,C2,...,Cn；xij為方案Ai在指標(biāo)Cj下的值；i=1,2,...,m; j=1,2,...,n；xij＞0。于是初始化決策矩陣為X=(xij)m×n?，F(xiàn)對m個方案A1,A2,...,Am進(jìn)行綜合評價并排序。

第1步，將X=(xij)m×n矩陣進(jìn)行一致化、無量綱化處理，得標(biāo)準(zhǔn)化矩陣：

區(qū)間型指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化公式為

所有指標(biāo)值 xij經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后轉(zhuǎn)化為效益型，且rij∈[0 , 1]內(nèi)。

第2步，確定權(quán)向量w=(w1,w2,...,wn)。權(quán)重分為主觀權(quán)重、客觀權(quán)重、主客觀組合權(quán)重，主觀權(quán)重有專家打分法、層次分析法等；客觀權(quán)重有標(biāo)準(zhǔn)差法、離差最大化法等。

第3步，確定正理想方案A+和負(fù)理想方案A-。令

第9步，根據(jù)貼近度的大小對所有方案的優(yōu)劣進(jìn)行排序，貼近度越大方案越優(yōu)。

定義1稱方案Ai到正理想方案A+的距離為方案Ai的正理想距離；稱方案Ai到負(fù)理想方案A-的距離為方案Ai的負(fù)理想距離。

定義2稱方案Ai與正理想方案A+的向量夾角余弦值為方案Ai的相似系數(shù)。

2 實(shí)例

我們?nèi)?009年全國31個省、市、自治區(qū)規(guī)模以上工業(yè)企業(yè)主要經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)數(shù)據(jù)，對這些省、市、自治區(qū)的規(guī)模以上工業(yè)企業(yè)主要經(jīng)濟(jì)效益進(jìn)行綜合評價并排序。原始數(shù)據(jù)如表1所示[18]。

C1——總資產(chǎn)貢獻(xiàn)率（單位：%）；

C2——資產(chǎn)負(fù)債率（單位：%）；

C3——流動資產(chǎn)周轉(zhuǎn)次數(shù)（單位：次/年）；

C4——工業(yè)成本費(fèi)用利用率（單位：%）；

本研究通過觀察右胸導(dǎo)聯(lián)(V3R、V4R、V5R)心電圖，發(fā)現(xiàn)V3R、V4R、V5R導(dǎo)聯(lián)的R波振幅比率在兩組之間比較，差異均有統(tǒng)計學(xué)意義，且根據(jù)V3R導(dǎo)聯(lián)R波振幅比率的心電圖算法，其ROC曲線下面積較大；以V3R導(dǎo)聯(lián)R波振幅比率≥0.41鑒別LVOT起源的敏感性為81.4%，特異性為83.3%。研究證實(shí)，右胸導(dǎo)聯(lián)心電圖對室早左右室起源的鑒別具有一定的臨床價值，且V3R導(dǎo)聯(lián)R波振幅比率的診斷價值較高。

C5——產(chǎn)品銷售率（單位：%）；

其中，C2為成本型指標(biāo)，其余都是效益型指標(biāo)。

使用公式（7）、（8）對表1數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，得標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)如表2所示。

表1 2009年我國31個省市區(qū)規(guī)模以上工業(yè)企業(yè)主要經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)

取偏好系數(shù)α=0.5，計算結(jié)果和排序結(jié)果如表3所示。

為了將本文結(jié)果與文獻(xiàn)[17]結(jié)果進(jìn)行比較，將文獻(xiàn)[17]的計算結(jié)果也放在表3的第8、9、10、11列.下面進(jìn)行比較分析：

（1）在文獻(xiàn)[17]方法中，相似系數(shù)的總和是27.1534，正理想距離的總和是8.567，相似系數(shù)總和是正理想距離總和的3倍多，因此相似系數(shù)和正理想距離這兩個變量具有顯著的不可忽略的數(shù)量級差異，如果把它們直接相加作為公式（4）的分母，就會出現(xiàn)“大數(shù)吃小數(shù)”的現(xiàn)象，相當(dāng)于夸大了相似系數(shù)的作用而削弱了正理想距離的作用，評價結(jié)果就會傾向于方向的一致性而忽視距離的一致性，評價結(jié)果必然出現(xiàn)偏差。

表2 2009年我國31個省市區(qū)規(guī)模以上工業(yè)企業(yè)主要經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化值

（2）兩種評價方法的排序結(jié)果在6個省市區(qū)上是一致的，分別是第1、4、20、23、25、31名，這說明兩種方法在最優(yōu)方案和最劣方案的評價上是一致的。

（3）兩種評價方法的排序結(jié)果在其余的25個省市區(qū)上有差異，有些差異還很大，說明兩種方法具有顯著的差異，不可互相代替。

（4）差異最大的是西藏，其次是吉林、湖北、廣東和云南.以西藏來說，在本文方法中，西藏排名于云南之前，而在文獻(xiàn)[17]的方法中卻相反.西藏在指標(biāo)C2、C4、C5上的標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)值分別大于云南，而且這三個指標(biāo)的權(quán)重之和為0.5984，大于其余指標(biāo)的權(quán)重之和，所以西藏排名于云南之前是合理的。

在本文方法中，吉林排名于廣東之前，而在文獻(xiàn)[17]的方法中卻相反.吉林在指標(biāo)C1、C2、C3上的標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)值分別大于廣東，而且這三個指標(biāo)的權(quán)重之和為0.5540，大于其余指標(biāo)的權(quán)重之和，所以吉林排名于廣東之前是合理的。

在本文方法中，湖北排名于湖南之后，而在文獻(xiàn)[17]的方法中卻相反.湖北在指標(biāo)C1、C3、C5上的標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)值分別小于湖南，而且這三個指標(biāo)的權(quán)重之和為0.6074，大于其余指標(biāo)的權(quán)重之和，所以湖北排名于湖南之后是合理的。

表3 2009年我國31個省市區(qū)規(guī)模以上工業(yè)企業(yè)主要經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)綜合評價及排序

3 結(jié)束語

本文在多指標(biāo)綜合評價和決策問題中，在評價函數(shù)中引入了負(fù)理想距離這一因素，解決了當(dāng)兩個方案在相似系數(shù)和正理想距離都相等時不能評判的問題，所建立的綜合評價函數(shù)兼顧了相似系數(shù)、負(fù)理想距離和正理想距離這三個因素，使得評價結(jié)果更全面、更可靠；同時，將相似系數(shù)、負(fù)理想距離和正理想距離進(jìn)行了無量綱化處理，使得評價函數(shù)更合理、更科學(xué)。

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C81；F224

A

1002-6487（2012）24-0032-04

王積建（1966-），男，甘肅景泰人，碩士，副教授，研究方向：數(shù)學(xué)建模。

（責(zé)任編輯/亦 民）