基于懲罰最小二乘估計的長期用電量半參數預測模型

邵 臻，王曉佳，高 飛，劉輝舟，楊 露

（合肥工業大學a.管理學院;b.過程優化與智能決策教育部重點實驗室，合肥 230009）

基于懲罰最小二乘估計的長期用電量半參數預測模型

邵 臻，王曉佳，高 飛，劉輝舟，楊 露

（合肥工業大學a.管理學院;b.過程優化與智能決策教育部重點實驗室，合肥 230009）

文章針對懲罰最小二乘估計的高精度特性，構建了基于懲罰最小二乘估計的半參數回歸模型。并將指數平滑思想融入模型，對模型的誤差序列進行趨勢外推與大幅度外延預測。實證結果表明了所提方法的有效性。

半參數模型；懲罰最小二乘估計；指數平滑；電量預測

0 前言

目前，長期負荷預測領域的研究方法主要包括參數理論與非參數理論等[1～3]。狀態空間、回歸分析、神經網絡、灰色理論、支持向量機和最優組合預測方法等,基本上都屬于參數統計法的范疇,因變量對自變量有較強的依賴關系,當假設函數模型成立時,預測精度較高,當假設函數不成立時,預測模型的擬合情況和預測精度都不理想。非參數理論降低了自變量對因變量的限制,有較大的適應性,但也可能會失去歷史資料所提供的信息,降低模型的解釋能力。

傳統的參數回歸操作簡便，可以外延，適于預測，但難以精確擬合復雜的曲線；非參數回歸形式靈活，可以精確擬合復雜曲線曲面，但難以進行大幅度外延預測。半參數模型最早由Stone于1977年提出，它有線性主部，可以把握大勢走向，適于外延預測；還有非參數部分，可以作局部調整，使數據較精確地擬合。半參數模型引入了非參數,克服了傳統偏差函數模型的局限性,使得數學模型與客觀實際更為接近,在數值上能夠分別求出參數、非參數(模型誤差)和偶然誤差,是一種非常理想的數據處理方法。本文擬對傳統半參數模型進一步改進，改進后的半參數模型將指數平滑法融入模型并結合懲罰最小二乘估計法進行參數估計，目前在電力負荷預測領域半參數模型的應用尚不多見，將其運用于電力負荷預測領域，將改善傳統方法諸如無法適應較大幅度外延預測要求、預測精度偏低等不足之處。

1 模型構建

1.1 半參數模型

半參數模型一般形式為：

其中yi是因變量；xi是參數部分自變量；Tj是非參部分自變量；β是回歸系數,即待求參數；g為定義于實數集上的未知函數;ε是隨機誤差，E(ε)=0，E(ε2)=σ2。xiβ反映了負荷預測可知的部分規律，把握因變量y變化的趨勢走向，為參數部分；g(Ti)+εi反映了負荷預測的不確定因素的影響，為非參數部分。

1.2 懲罰最小二乘法則

半參數回歸模型的估計方法很多，常見的有兩階段法、核函數法、樣條法、最近鄰法等等[4,5]。本文為了達到既可以排除隨機誤差項產生的噪音，同時又使得解具有一定的光滑性，從而有利于數據擬合以及外延預測的目的，采用基于懲罰最小二乘估計的半參數回歸模型。

懲罰最小二乘準則函數為[6]：

當λ→0時,g(t)趨近于觀測量的三次樣條內插。當λ→∞時,g(t)趨近于觀測量的線形回歸。可證明懲罰最小二乘原理的懲罰項可以表達為(Fessler,1991)：

其中，Q與T是 n×(n-2)和 (n-2)×(n-2)的矩陣。令 hi=ti+1-ti，i=1,2,…,n-1。

Q中元素滿足：

最終可以得到迭代求解方程，令

由式(6)、式(7)可計算 g?和 B?,觀測值的估計為：

1.3 基于三次指數平滑法的誤差修正

對于模型(10)我們還無法直接進行外推預測，對于誤差時間序列項g?我們需要作進一步處理。由函數逼近論可知，對于足夠光滑的函數我們可以用多項式函數去逼近。

設誤差序列項{g?n}具有二次多項式趨勢，在二次指數平滑序列的基礎上，再做三次指數平滑序列：

2 模型求解

2.1 光滑參數λ的確定

光滑參數λ的取值對參數,特別是對懲罰項估值的影響很大,其取值好壞將直接影響到實際擬合效果。當平滑參數值λ選取較大時，λ的取值對數據平滑問題來說是十分關鍵的。

目前在平滑參數的選取準則很多[7]。一些是基于再抽樣方法，例如CV，GCV準則等等；而另一些是基于模型復雜度懲罰方法，例如基于AIC，BIC準則的選擇方法。雖然幾類方法的形式不同，本質上都是為了尋找合適的參數，使得模型具有較優的預測性能和泛化性能。

(1)交叉核實準則

交叉核實(cross-validation，CV)，其基本思想是：選取λ所得的擬合曲線，用此曲線進行預測，使所有預測點的均方誤差最小。在應用時，常常將(xi，yi)模擬為預測點(即去掉此點)，而依據剩下的n-1個點進行估計，再將(xi，yi)代入所擬合的曲線，得到此點的值，記為Y?i。于是我們定義交叉核為：

其中，hii(λ)為帽子矩陣 H(λ)中的元素，使 CV(λ)值最小的λ即為所求值。

(2)廣義交叉核實準則

廣義交叉核實法(Generalized Cross-Validation,GCV)是Leave-one out cross-validation方法的近似，我們定義廣義交叉核為：

2.2 模型預測

本文采用循環預測法進行負荷預測[8,9],其基本思想是：對每一次的負荷預測值進行循環使用。對于半參數回歸模型，當預測yn+1時，利用三次指數平滑預測技術對g?(n+1)進行估計,得到負荷預測值 y?n+1 ，將負荷預測值y?n+1添加到原負荷樣本(y1,y2,…,yn)中組成新負荷樣本(y1,y2,...,yn,y?n+1)，再采用前述半參數估計方法進行等間隔的下一步預測，如此循環直至得到所需的p步預測值。

3 算例分析

3.1 自變量的選取

影響電力負荷消耗的因素很多，例如經濟增長水平、經濟發展階段、經濟結構特性以及生產生活水平等等諸多影響和制約因素。具體選取了全社會固定資產投資總額、國內生產總值、人均國內生產總值、工業增加值、社會消費品零售總額、人口數量、商品零售價格指數、工業總產值等因素。計算自變量、因變量之間的相關程度，并去除與因變量相關程度較小的影響因素。

表1 自變量、因變量間的相關系數

通過灰色關聯度理論，計算出諸多影響因素(自變量)與因變量之間的灰色關聯度，對于所選取的8個影響因素其灰色關聯度依次為：0.9088，0.7243，0.6201，0.8762 ，0.9298，0.6495，0.9418，0.6082。綜合相關系數和灰色關聯度理論選取全社會固定資產投資總額、工業增加值、社會消費品零售總額3個影響因素并進行單位根檢驗，自變量與3個影響因素在5%的置信水平下可以認為不存在單位根，因此選取上述3個因素建模。

3.2 算例分析

本文收集了1985～2009年江蘇省年度全社會用電量及其影響因素的資料。電量單位為億kWh，人口單位為萬人，產業值單位為億元。影響年用電量(自變量)的因子有GDP，全社會固定資產投資總額，工業增加值，社會消費品零售總額，總人口數。用1985～1999年資料建模，2000～2009年資料進行檢驗。

對于光滑參數λ的選取，本文采用廣義交叉核實法(Generalized Cross-Validation,GCV)。通過GCV法迭代選取，最終選擇λ=0.43時達到較好的逼近精度和預測效果。

表2 擬合和檢驗結果

表3 擬合和檢驗結果

通過表2預測結果的對比不難發現，基于懲罰最小二乘估計的半參數模型在參數擬合階段表現出了很高的精度。通過對原始數據良好的擬合，從而反映原始數據的變化趨勢，同時結合三次指數平滑法進行趨勢外推，從而進行預測。由表3可知基于懲罰最小二乘估計法的誤差指標是比較令人滿意的。基于懲罰最小二乘估計的半參數模型進行用電負荷預測具有較高的預測精度和實用性，半參數模型相較于傳統用電負荷預測模型具有更高的預測精度。

4 結束語

比較計算結果可以看到：在進行較大幅度全社會用電量需求外延預測時,半參數回歸法估計的平均擬合誤差遠遠小于灰色GM(1,1)、多元線性回歸等傳統方法。說明半參數模型對電力需求預測估計精度較高。通過數值的擬合計算結果顯示,擬合估計值也比較接近真實值。也再次證明半參數模型對電量需求預測估計的優越性。

文中主要考慮經濟增長水平、經濟發展階段、經濟結構特性以及生產生活水平等等諸多影響和制約因素,然而實際中用電負荷的需求還受到其它因素的影響,如自然因素等。在今后的研究中,應進一步分析各種因素對用電負荷的影響,建立更精確的預測模型。同時半參數預測模型的擬合步長和預測步長的選取也是值得進一步研究的問題。

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F224

A

1002-6487（2012）24-0026-03

國家自然科學基金資助項目（71071045；70801024）

邵 臻(1986-)，男，江蘇宿遷人，碩士研究生，研究方向：預測、決策科學與技術。

王曉佳(1982-)，男，安徽蚌埠人，博士研究生，研究方向：預測、決策科學與技術。

高 飛(1986-)，女，河北滄州人，碩士研究生，研究方向：決策科學與技術。

（責任編輯/亦 民）