參數(shù)假設(shè)檢驗中的若干基本問題研究

楊桂元，劉德志

（安徽財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

參數(shù)假設(shè)檢驗中的若干基本問題研究

楊桂元，劉德志

（安徽財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

文章對參數(shù)統(tǒng)計檢驗中的基本原理、勢函數(shù)與兩類錯誤、檢驗的 p值和單邊檢驗的假設(shè)與拒絕域等若干基本問題進行了研究，并分析了它們之間的關(guān)系，闡明了參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗的關(guān)系，揭示了參數(shù)統(tǒng)計推斷的本質(zhì)。

參數(shù)統(tǒng)計檢驗；兩類錯誤；勢函數(shù)；p值；拒絕域

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)的不斷發(fā)展,數(shù)理統(tǒng)計的應(yīng)用更加廣泛。而統(tǒng)計假設(shè)檢驗問題在統(tǒng)計推斷中占有很重要的地位。人們常常假設(shè)總體為正態(tài)分布,在正態(tài)總體下衍生出了統(tǒng)計學(xué)的三大分布——t分布、F分布和χ2分布,產(chǎn)生了與此相關(guān)的抽樣分布，并且研究了正態(tài)總體期望和方差的各種統(tǒng)計推斷問題。區(qū)間估計和假設(shè)檢驗是統(tǒng)計推斷中的重要內(nèi)容，是兩個不同的統(tǒng)計概念，但它們又有著密切的聯(lián)系，在某種意義下是同一問題的兩個方面。這兩種統(tǒng)計推斷方法都是通過對具體問題的隨機抽樣所得到的樣本觀察值，用數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的方法進行統(tǒng)計分析并做出判斷。深刻理解參數(shù)假設(shè)檢驗中的若干基本問題，了解統(tǒng)計推斷中參數(shù)的假設(shè)檢驗與區(qū)間估計之間的關(guān)系、不同類型的假設(shè)檢驗適用范圍及應(yīng)注意的問題，對正確的掌握和應(yīng)用統(tǒng)計推斷方法是極為重要的。然而這部分內(nèi)容不易理解，從而初學(xué)者和實際應(yīng)用的工作者在解決具體問題時會遇到一些困難。本文將就此問題展開討論。

1 假設(shè)檢驗的定義與基本原理

在假設(shè)檢驗中，常把一個被檢驗的假設(shè)稱為原假設(shè)或者零假設(shè)，用H0表示。通常將不應(yīng)輕易加以否定的假設(shè)作為原假設(shè)，當(dāng)H0被拒絕時而接受的假設(shè)稱為備擇假設(shè)，用H1表示，它們常常成對出現(xiàn)。

由樣本(x1,x2,…,xn)對假設(shè)進行推斷總是通過一個恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量T(x1,x2,…,xn)完成的，該統(tǒng)計量T(x1,x2,…,xn)稱為檢驗統(tǒng)計量。使原假設(shè)被拒絕的樣本觀測值所在區(qū)域稱為拒絕域，一般它是樣本空間Ω的子集，并用W表示，Wˉ稱為接受域；統(tǒng)計量T(x1,x2,…,xn)的拒絕域記為T(W)。

假設(shè)檢驗的基本原理是小概率事件原理，即：概率很小的事件在一次試驗中實際上是不可能發(fā)生的；基本方法是“反證法”，若小概率事件發(fā)生則拒絕原假設(shè)H0從而接受備擇假設(shè)H1，否則接受原假設(shè)H0。

2 假設(shè)檢驗的兩類錯誤

對于給出的拒絕域W，由于抽樣的隨機性，我們做出的判斷不可能絕對正確，它可能會犯兩類錯誤。

第一類錯誤：當(dāng)H0為真時，但(x1,x2,…,xn)∈W ，從而拒絕H0。這種錯誤稱為第一類錯誤，又稱為“棄真錯誤”，其發(fā)生的概率通常記為α，即

就是假設(shè)檢驗的顯著性水平。

第二類錯誤：在H0不真時，但(x1,x2,…,xn)∈Wˉ，從而接受H0。這種錯誤稱為第二類錯誤，又稱為“納偽錯誤”或你“取偽錯誤”，其發(fā)生的概率通常記為β，即

定義1設(shè)檢驗問題 H0:θ∈Θ0vs H1:θ∈Θ1的拒絕域為W，則樣本觀測值(x1,x2,…,xn)落入拒絕域W內(nèi)的概率稱為該檢驗的勢函數(shù)，即

其中，Θ0,Θ1是參數(shù)空間兩個互不相交的子集。

由兩類錯誤的概率α、β與勢函數(shù)的意義，可知它們之間的關(guān)系為：

由此可以看出，當(dāng)α減小時，c也減小，而c的減小必導(dǎo)致β的增大；當(dāng)β減小時，c會增大，而c的增大必導(dǎo)致α的增大。故得到兩類錯誤的關(guān)系：

（1）在樣本容量n一定時，α與β不能同時減小，α的減小必導(dǎo)致β的增大；β的減小必導(dǎo)致α的增大。

（2）要使α與β同時減小，則只有加大樣本容量n，但又增加了檢驗的成本這在有些情況下又是不現(xiàn)實的。一般情況下控制α，使β盡量小。

定義2對檢驗問題 H0:θ∈Θ0vs H1:θ∈Θ1，如果一個檢驗滿足對任意的θ∈Θ0，都有

則稱該檢驗是顯著性水平為α的顯著性檢驗，簡稱水平為α的檢驗。

可見，顯著性水平α就是用來控制犯第一類錯誤的概率的。最常見的選擇是α=0.05，有時也選擇α=0.1或α=0.01。

3 檢驗的p-值

假設(shè)檢驗的結(jié)論通常是簡單的，在給定的顯著水平α下，不是拒絕原假設(shè)就是接受原假設(shè)。然而有時也會出現(xiàn)這樣的情況：在一個較大的顯著水平下得到拒絕原假設(shè)的結(jié)論，而在一個較小的顯著水平下卻得到相反的結(jié)論。檢驗的 p-值是一個非常重要的概念，許多統(tǒng)計應(yīng)用軟件（如Excel、SPSS、EViews等）檢驗的輸出結(jié)果都有檢驗的p-值(p-value)，可以根據(jù) p-值和任意給定的顯著性水平α直接作出接受或拒絕原假設(shè)H0的結(jié)論。

定義3在一個假設(shè)檢驗問題中，利用樣本觀測值能夠做出拒絕原假設(shè)的最小顯著性水平稱為檢驗的p值。

引進檢驗的p值的概念有明顯的好處：首先，它比較客觀，避免了事先確定顯著水平；其次，由檢驗的p值與人們心目中顯著性水平α進行比較可以很容易做出檢驗的結(jié)論：

（1）如果α≥p，則在顯著性水平α下拒絕H0；

（2）如果α＜p，則在顯著性水平α下應(yīng)保留H0。

設(shè)T為檢驗統(tǒng)計量，T0為由檢驗統(tǒng)計量得到的觀察值，針對原假設(shè)和備擇假設(shè)由T0為臨界值確定的拒絕域為W0，檢驗的 p值為：

對于正態(tài)總體參數(shù)的u檢驗和t檢驗等對稱的情形有：

其他檢驗的p值可以類似推出。

4 單側(cè)檢驗的設(shè)定與拒絕域的確定

對于參數(shù)的單側(cè)檢驗比較難于掌握的是原假設(shè)的設(shè)定和拒絕域的確定。單側(cè)檢驗原假設(shè)H0的設(shè)定應(yīng)遵從以下原則：

（1）H0不能輕易被否定；（2）等號包含在原假設(shè)H0內(nèi)；（3）根據(jù)問題的背景來設(shè)定原假設(shè)。

由于原假設(shè)H0中參數(shù)的設(shè)定不是一個常數(shù)，而是一個范圍。在H0成立的條件下，檢驗統(tǒng)計量在拒絕域內(nèi)取值的概率只能通過不等式來確定，由此可以得到拒絕域是概率不超過α的更小概率得事件。

根據(jù)以下兩種單邊檢驗情況具體討論：

①σ已知時的u檢驗

其中，tα(n-1)和 t1-α(n-1)=-tα(n-1)分別表示自由度為n-1的t分布的α和1-α的上側(cè)分位數(shù)。

另外，單個正態(tài)總體方差的檢驗，兩個正態(tài)總體均值差和方差比的檢驗都符合以上的結(jié)論，即拒絕域是概率不超過α的小概率事件。

5 區(qū)間估計與假設(shè)檢驗之間的關(guān)系

其他的各種情況同理，此不贅述。

[1]茆詩松，程依明等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]楊桂元.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：電子科技大學(xué)出版社，2004.

O212

A

1002-6487（2012）24-0013-02

安徽省高等學(xué)校人文社科基金重點項目；安徽財經(jīng)大學(xué)教學(xué)研究項目（ACJYZD201213）

楊桂元（1957-），男，安徽蕭縣人，教授，研究方向：數(shù)量經(jīng)濟學(xué)。

劉德志（1982-），男，山東濟寧人，講師，碩士，研究方向：隨機分析。

（責(zé)任編輯/亦 民）