時標上高階動力方程邊值問題正解的存在性

何紅軍

（鄭州華信學院 基礎教學部，河南 鄭州 451100；許昌實驗小學，河南 許昌 461000）

時標上高階動力方程邊值問題正解的存在性

何紅軍

（鄭州華信學院 基礎教學部，河南 鄭州 451100；許昌實驗小學，河南 許昌 461000）

本文研究了一類時標上高階動力方程m點邊值問題

其中T是時標，aj∈[0,+∞]，ξj∈[0,ρ(T))T是滿足適當條件的常數.利用泛函型錐上壓縮拉伸不動點定理，得到該問題的正解存在性，并且推廣了一些原有的結果.

不動點；錐；格林函數；正解

1 引言和假設

由于動力方程的重要性和深刻性，關于動力方程邊值問題的研究受到廣大學者的關注.例如在文［1］中利用上下解法，得到二階三點邊值問題的正解，在文［2］［3］中使用不動點指數，不動點定理，得到二階m-點邊值問題正解存在性，在文［4］中研究了：

受上面學者研究工作的啟發，本文對如下問題進行了研究：

其中aj>0,ξj∈(0,ρ(T))T，σn-1(0)<ρn-1(ξj)，σn-1(ξj)<ρn-1(T)，λ>0我們做如下基本假設

(H2)f(x)是正函數，a:[0,T]→[0,+∞]且a(t)≠0,t∈[0,T]

2 引理及定理

先考慮

的格林函數，當y(t)=0時，(3)(4)有唯一解為0，則(3)(4)的格林函數存在.

引理1設w≠0則(3)(4)有唯一解

證可以驗證(5)滿足(4)

對(5)兩端△-可微，得

再對上式兩端塄-可微，則u△塄(t)=-y(t)證畢.

引理2設w≠0，則(3)(4)的格林函數為

證 當t∈[0,ξ1]時，根據(5)式

當t∈[ξr-1,ξr]，2≤r≤m-2時，由(5)式

當t∈[ξm-2,T]時，由(5)式

由上可得結論.

引理3設w≠0，則(3)(4)的格林函數滿足：G(t,s)≥G (T,s)，t,s∈[0,T]

引理4設w>0，則關于(3)(4)的格林函數G(t,s)>0，t,s∈[0,T]

證 根據引理3，只須證G(t,s)≥0

當s∈[0,ξ1]時

當s∈[ξi-1,ξi]時

當s∈[ξm-2,T]時

由上可知G(t,s)≥0證畢.

引理5設(H1)成立，則G(t,s)≤G(s,s)其中t,s∈[0,T]

證當t∈[0,T],s∈[0,ξ1],s≤t時，

當t∈[ξr-1,ξr](2≤r≤m);s∈[ξi-1,ξi](r≤i≤m-2),t≤s時

當t∈[0,T],s∈[ξm-2,T],t≤s時,

定理6設(H1)成立，則對固定s∈[0,T]，

證根據引理5可知，||G(·，s)||=G(s,s)

當s∈[0,ξ1]時

當s∈[ξi-1,ξi]，2≤i≤m-2時

由于s∈[ξi-1,ξi]，那么

當s,t∈[ξm-2,T]時

情形1s≤t時

由ξj≤ξm-2≤s≤T,(j≤m-2)則

定理7設(H1)成立，設G1(t,s):=G(t,s)，G j(t,s)=G(τ,s)塄s(2≤j≤n)則Gn(t,s)是（-1）nu(△塄)n(t)=0 t∈[0,T]滿足(2)的格林函數.

證 當n=1時易見成立，假設n=k-1成立，亦即Gk-1(t,s)

設u(△塄)(t)=v(t)那么

由假設

由上可知n=k時成立，證畢.

定理8設(H1)成立，則Gn(t,s)滿足：

（1）0≤Gn(t,s)≤Ln-1||G(·,s)||t,s∈[0,T]

（2）Gn(t,s)≥mnLn-1||G(·,s)||t∈[ξm-2,T]s∈[0,T]

3 錐及泛函型錐拉伸壓縮定理

定義9設E為實B a n a c h空間，若P是E中非空凸閉集且滿足下列條件：

(1)u∈P,λ≥0,則λu∈P(2)u∈P,-u∈P則u=0（其中0為零元）

則稱P為E中一個錐.

規定：α,γ:P→[0,+∞]連續，r,R為正實數.

P(γ,R):={u∈P:γ(u)

P(γ,α,r,R):={u∈P:γ<α(u)且γ(u)

下為泛函型錐拉伸壓縮不動點定理，見［6］

引理10設P為實B a n a c h空間E中的錐，γ為P上非負連續泛函，P(γ,α,r,R)為P上的一個有界非空集全連續且若下列之一成立：

(1)當u∈鄣P(α,r)時α(A u)≤r.

當y∈鄣P(α,r)z∈鄣P(γ,R),λ≥1,μ∈(0,1]時

α(λy)≥λα(y)，γ(μz)≥μγ(z)，α(0)=0.

(2)當u∈鄣P(α,r)時α(A u)≥r.

當y∈鄣P(α,r)z∈鄣P(γ,R),μ≥1,λ∈(0,1]時

α(λy)≤λα(y)，γ(μz)≥μγ(z)，γ(0)=0.

則A至少有一個不動點u*使得r≤α(u*)且γ(u*)≤R

4 主要結果

我們把在[0,T]上左稠密點連續，右稠密點右極限存在泛函全體記為Cld[0,T]，記E=Cld[0,T]E為B a n a c h空間，其中

P:={u∈E:u(t)≥0,坌t∈[0,T]}，P為E中的錐,

定理11設(H1)成立，a∈Clα([0,T],[0,+∞)，若存在0

S t e p 2.若u∈鄣P(α,r)，則u(t)≤r，t∈[0,T].由引理8和(C1)

從而有α(T u)≤r.

S t e p 3.若u∈鄣P(α,r)，則u(t)≥R，t∈[ξm-2,T].由引理8和(C2)

S t e p 4.由γ(A u)≥R及||A u||≥γ(A u)≥R>0，則||A u||≥R>0

根據引理10可知，A至少有一不動點u*，使得r≤α(u*)且γ(u*)≤R.證畢.

在定理11為λ為定常數時(1)(2)存在正解的情形，我們再給出λ在某區間變動時(1)(2)存在正解的情形.設

定理12設(H1)成立，并且，則(1)(2)至少存在一個正解.

證明 只須要求滿足定理11的(C1)(C2)即可

推論 設f滿足超線性，并且有(H1)成立，則對任意λ>0，(1)(2)至少有存在一個正解.

〔1〕Ma R,Multiplicity results for a three-point boundary value problem at resonance,Nonlinear analysis,53(2003): 777-789.

〔2〕Zhang G.,Sun J,positive solutions of m-point boundary problems,J.Math.Anal APPL.,291(2004):406-418.

〔3〕Liu X.,Qiu J,three positive solutions for second-order m-point boundary value problems,APPL.Math.comput, 156(2004):733-742.

〔4〕Anderson D.,Avery R,An even-orderthree-point boundary value problem on time scales,J.Math.anal.APPL.,291(2004):514-525.

〔5〕Anderson D,solutions to second-order three-point problems on time scales,J.Difterence Equations and APPL.,8(2002):673-688.

〔6〕Avery R.,Anderson D,Fixed point theorem of cone expansion and compression of functional type,J.Differ,E-quationsAPPL.8(2002):1073-1083.

〔7〕Ma R,Positive solutions of a nonlinear m-point boundary value problem,computers Math. APPL.,42(2001): 755-765.

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A

1673-260X（2012）10-0003-04